旋度公式高中数学基本初等函数的导数公式及导数运算法则综合测试题(附答

高中数学基本初等函数的导数公式及导数
运算法则综合测试题（附答
选修2-2 1.2.2 第2课时 基本初等函数的导数公式及导
数运算法则
一、选择题
1．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于()
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] D
[解析] y＝[(x＋1)2](x－1)＋(x＋1)2(x－1)
＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，
y|x＝1＝4.
2．若对任意xR，f(x)＝4x3，f(1)＝－1，则f(x)＝()
A．x4 B．x4－2
C．4x3－5 D．x4＋2
[答案] B
[解析] ∵f(x)＝4x3.f(x)＝x4＋c，又f(1)＝－1
1＋c＝－1，c＝－2，f(x)＝x4－2.
3．设函数f(x)＝xm＋ax的导数为 f(x)＝2x＋1，则数列
{1f(n)}(nN*)的前n项和是()
＋1 B.n＋2n＋1
－1 D.n＋1n
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[答案] A
[解析] ∵f(x)＝xm＋ax的导数为f(x)＝2x＋1，
m＝2，a＝1，f(x)＝x2＋x，
即f(n)＝n2＋n＝n(n＋1)，
数列{1f(n)}(nN*)的前n项和为：
Sn＝112＋123＋134＋…＋1n(n＋1)
＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1
＝1－1n＋1＝nn＋1，
故选A.
4．二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f(x)的
图 象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图
象的顶点在()
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] C
[解析] 由题意可设 f(x)＝ax2＋bx，f(x)＝2ax＋b，由于f(x)
的图象是过第一、二、三象限的一条直 线，故2a0，b0，则
f(x)＝ax＋b2a2－b24a，
顶点－b2a，－b24a在第三象限，故选C.
5．函数y＝(2＋x3)2的导数为()
A．6x5＋12x2 B．4＋2x3
C．2(2＋x3)2 D．2(2＋x3)3x
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[答案] A
[解析] ∵y＝(2＋x3)2＝4＋4x3＋x6，
y＝6x5＋12x2.
6．(2019江西 文，4)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f(1)＝2，
则f(－1)＝()
A．－1 B．－2
C．2 D．0
[答案] B
[解析] 本题考查 函数知识，求导运算及整体代换的思想，
f(x)＝4ax3＋2bx，f(－1)＝－4a－2b＝－ (4a＋2b)，f(1)＝4a
＋2b，f(－1)＝－f(1)＝－2
要善于观察，故选B.
7．设函数f(x)＝(1－2x3)10，则f(1)＝()
A．0 B．－1
C．－60 D．60
[答案] D
[解析] ∵f (x)＝10(1－2x3)9(1－2x3)＝10(1－2x3)9(－6x2)
＝－60x2(1 －2x3)9，f(1)＝60.
8．函数y＝sin2x－cos2x的导数是()
A．22cos2x－ B．cos2x－sin2x
C．sin2x＋cos2x D．22cos2x＋4
[答案] A
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[解析] y＝(sin2x－cos2x)＝(sin2x)－(cos2x)
＝2cos2x＋2sin2x＝22cos2x－4.
9．(2019高二潍坊检测)已知 曲线y＝x24－3lnx的一条切线
的斜率为12，则切点的横坐标为()
A．3 B．2
C．1 D.12
[答案] A
[解析] 由f(x)＝x2－3x＝12得x＝3.
10．设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则 曲线y
＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为()
A．－15 B．0
C.15 D．5
[答案] B
[解析] 由题设可知f(x＋5)＝f(x)
f(x＋5)＝f(x)，f(5)＝f(0)
又f(－x)＝f(x)，f(－x)(－1)＝f(x)
即f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0
故f(5)＝f(0)＝0.故应选B.
二、填空题
11．若f(x)＝x，(x)＝1＋sin2x，则f[(x)]＝_____ __，[f(x)]
＝________.
[答案] 2sinx＋4，1＋sin2x
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[解析] f[(x)]＝1＋sin2x＝(sinx＋cosx)2
＝|sinx＋cosx|＝2sinx＋4.
[f(x)]＝1＋sin2x.
12．设函数f(x)＝cos(3x＋)(0＜)，若f(x)＋f(x)是奇函数，则
＝_____ ___.
[答案] 6
[解析] f(x)＝－3sin(3x＋)，
f(x)＋f(x)＝cos(3x＋)－3sin(3x＋)
＝2sin3x＋＋56.
若f(x)＋f(x)为奇函数，则f(0)＋f(0)＝0，
即0＝2sin＋56，＋56＝kZ)．
又∵(0，)，6.
13．函数y＝(1＋2x2)8的导数为________．
[答案] 32x(1＋2x2)7
[解析] 令u＝1＋2x2，则y＝u8，
yx＝yuux＝8u74x＝8(1＋2x2)74x
＝32x(1＋2x2)7.
14．函数y＝x1＋x2的导数为________．
[答案] (1＋2x2)1＋x21＋x2
[解析] y＝(x1＋x2)＝x1＋x2＋x(1＋x2)＝1 ＋x2＋x21＋x2
＝(1＋2x2)1＋x21＋x2.
三、解答题
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15．求下列函数的导数：
(1)y＝xsin2x；(2)y＝ln(x＋1＋x2)；
(3)y＝ex＋1ex－1；(4)y＝x＋cosxx＋sinx.
[解析] (1)y＝(x)sin2x＋x(sin2x)
＝sin2x＋x2sinx(sinx)＝sin2x＋xsin2x.
(2)y＝1x＋1＋x2(x＋1＋x2)
＝1x＋1＋x2(1＋x1＋x2)＝11＋x2 .
(3)y＝(ex＋1)(ex－1 )－(ex＋1)(ex－1)(ex－1)2＝－2ex(ex－
1)2 .
(4)y＝( x＋cosx)(x＋sinx)－(x＋cosx)(x＋sinx)(x＋sinx)2
＝(1－sinx)(x＋sinx)－(x＋cosx)(1＋cosx)(x＋sinx)2
＝－xcosx－xsinx＋sinx－cosx－1(x＋sinx)2.
16．求下列函数的导数：
(1)y＝cos2(x2－x)； (2)y＝cosxsin3x；
(3)y＝xloga(x2＋x－1)； (4)y＝log2x－1x＋1.
[解析] (1)y＝[cos2(x2－x)]
＝2cos(x2－x)[cos(x2－x)]
＝2cos(x2－x)[－sin(x2－x)](x2－x)
＝2cos(x2－x)[－sin(x2－x)](2x－1)
＝(1－2x)sin2(x2－x)．
(2)y＝(cosxsin3x)＝(cosx)sin3x＋cosx(sin3x)
＝－sinxsin3x＋3cosxcos3x＝3cosxcos3x－sinxsin3x.
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(3)y＝loga(x2＋x－1)＋x1x2＋x－1logae(x2＋ x－1)＝loga(x2
＋x－1)＋2x2＋xx2＋x－1logae.
(4)y＝x ＋1x－1x－1x＋1log2e＝x＋1x－1log2ex＋1－x＋1(x
＋1)2
＝2log2ex2－1.
17．设f(x)＝2sinx1＋x2，如果f(x)＝2(1＋x2)2g(x)，求g(x)．
[解析] ∵f(x)＝2cosx(1＋x2)－2sinx2x(1＋x2)2
＝2(1＋x2)2[(1＋x2)cosx－2xsinx]，
又f(x)＝2(1＋x2)2g(x)．
g(x)＝(1＋x2)cosx－2xsinx.
18．求下列函数的导数：(其中f(x)是可导函数)
(1)y＝f1x；(2)y＝f(x2＋1)．
[解析] (1)解法1：设y＝f(u)，u＝1x，则yx＝yuux＝f(u)－
1x2＝－1x2f1x.
解法2：y＝f1x＝f1x1x＝－1x2f1x.
要练说，得练看。看与说是统一的，看 不准就难以说得好。
练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让
幼儿在观察事物 、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、
理解词义、发展语言。在运用观察法组织活动时，我着眼观
察于观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿
观察能力和语言表达能力的提高。
死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。但随
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着素质教 育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能
力发展的教学方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面 ,老师们又
为提高学生的语文素养煞费苦心。其实,只要应用得当,“死记
硬背”与提高学生素 质并不矛盾。相反,它恰是提高学生语文
水平的重要前提和基础。(2)解法1：设y＝f(u)，u＝ v，v＝
x2＋1，
语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章,还有不少名
家名 篇。如果有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、
精彩段落,对提高学生的水平会大有裨益。现在, 不少语文教
师在分析课文时,把文章解体的支离破碎,总在文章的技巧方
面下功夫。结果教师费 劲,学生头疼。分析完之后,学生收效
甚微,没过几天便忘的一干二净。造成这种事倍功半的尴尬局面的关键就是对文章读的不熟。常言道“书读百遍,其义自见”,
如果有目的、有计划地引导学生反 复阅读课文,或细读、默读、
跳读,或听读、范读、轮读、分角色朗读,学生便可以在读中
自然 领悟文章的思想内容和写作技巧,可以在读中自然加强
语感,增强语言的感受力。久而久之,这种思想内 容、写作技
巧和语感就会自然渗透到学生的语言意识之中,就会在写作
中自觉不自觉地加以运用 、创造和发展。
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