违约金计算公式组合公式的偏导数证明

龙源期刊网 http:
组合公式的偏导数证明

作者：武国宁 孙娜 刘建军 陈小民

来源：《教育教学论坛》2018年第27期

摘要：本文借助于多元函数求偏导数，从分析的角度给出了组合公式的一个证明。从分析
的角度来证明组 合问题是一个巧妙的想法，对一些问题的求解提供了一种新颖的思路。
关键词：组合公式；偏导数
中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2018）27-0193-02
一、引言
在大学数学课程如概率论，微积分和线性代数等的讲授过程中，我们常遇到以下组合计 数
[1][2]：nn n-n n …n-n -…-n n 。这里nn 表示：从n个不同元素里取n 个元素不同组合的个数。
该组合计数可以看作将带有标号的n个球分为k组，第一组有n 个球，第二组有n 个球，…第
k组有n 个球不同分法的个数。例如含有k个变量n次多项式展开式为：
x +x +…+x = nn n-n n …n-n -…-n n x x …x （1）
又如，k个函数乘积的n阶导数求法为：
f f …f = nn n-n n …n-n -…-n n
f f …f （2）
我们都熟悉以下等式：
nn n-n n …n-n -…-n n = （3）
这个等式是如何计算出来的？
常规的证明方法为排列计数法[1]。简述如下：
我们将带有标号的n个球分为k组，第一组有n 个球，第二组有n 个球，…第k组有n 个
球。假设分法有x种。即设x=nn n-n n …n-n -…-n n ，对于一个给定的分组 ，如果考虑标号，
不同的标号如果认为不同的排列，那么对于给定的一个分组，由于不同标号的排列总共 有n ！
n ！…n ！个新排列。而带有标号的n个球的全排列为n！。这样我们有：
xn ！n ！…n ！=n！ （4）