球体计算公式15导数的概念及计算

导数的概念及计算
一、知识概述
导数的概念及其基本运算是本周学习的重点内 容，导数有着丰富的实际背景和广泛
应用，通过对平均变化率的分析入手，层层深入，展现了从平均变化 率到瞬时变化率的
过程，指明了瞬时变化率就是导数，介绍了导数的一般定义．并借助函数图象，运用观
察与直观分析阐明了曲线的切线斜率和导数间的关系．导数的计算主要包括两个方面，
首先是几 个常见函数的导数，然后是基本初等函数的导数公式和导数的运算法则，关键
在于使用这些公式与法则求 简单函数的导数．
二、重难点知识归纳
1．变化率与导数
(1)平均变化率
通常把式子称为函数f(x)从x
1
到x
2
的平均变化率．
令，，
则平均变化率可表示为
(2)导数的概念
一般地，函数y=f(x)在x=x
0
处的瞬时变化率是
则称它为函数y=f(x)在x=x
0
处的导数(derivative)，记作或，即

当x变化时，便是x的一个函数，则称它为f(x)的导函数(derivative funtion)
（简称导数），记作或，则．
(3)注意事项：
弄清“ 函数f(x)在点x
0
处的导数”、“导函数”、“导数”之间的区别与联系，可以从以
下几个方面来认识．
①函数在一点处的导数，就是在该点的函数改变量与自变量的改变量之比的 极限，
它是一个常数，不是变数．
②导函数（导数）是一个特殊的函数，它的引出和定义 始终贯穿着函数思想，对于
每一个确定的值x
0
，都对应着一个确定的导数
就 构成了一个新函数，即导数．
，根据函数的定义，在某一区间内
③函数y=f(x)在点x
0
处的导数
＝
就是导函数在x=x
0< br>处的函数值，即
．这也是求函数在x=x
0
处的导数的方法之一．
(4)导数的几何意义
函数y=f(x)在点x
0
处的导数
率k，即
2．导数的计算
(1)基本初等函数的导数公式
．
就是曲线y=f(x)在点处的切线的斜
①若f(x)=c，则；
②若，则；
③若f(x)sinx，则；
④若f(x)=cosx，则；
⑤若f(x)，则（a>0）;
⑥若f(x)，则；
⑦若f(x)，则（a>0，且a1）；
⑧若f(x)，则.
(2)导数运算法则
①；
②；
③
(3)复合函数的求导法则(难点)

设函数
数
在点x处有导数
或写作
，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导
．
复合函数求导法则：复 合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数乘以
中间变量对自变量的导数，即
三、典 型例题剖析
．
例1．利用导数的定义，求出函数y=x＋的导数，并据此求函数在x=1处的导数．
[解析]
例2．求等边双曲线在点处的切线斜率，并写出切线方程.
[解析] < br>例3．设f(x)是定义在R上的函数，且对任何x
1
，x
2
R都有f (x
1
＋x
2
)=f(x
1
)·f(x
2
).若f(0)
0，.
(1)求f(0)的值；
(2)证明：对任何xR，都有.
[解析]
例4．求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
[解析]
例5．求下列函数的导数：
(1)；
(2);
(3);
(4).
[解析]
例一
解析：利用导数的定义，结合求函数的导数的方法步骤进行计算．

，
从而．
总结：求函数y=f(x)的导数可分如下三步：
(1)求函数的增量；
(2)求函数的增量与自变量的增量的比值;
(3)求极限，得函数．
例二 解：函数f(x)图象上点P处的切线方程的求解步骤：先 求出函数在点
的导数（即过点P的切线的斜率），再用点斜式写出切线方程.
处
，
切线的斜率，
切线方程为y－2=－4(x－)，即4x＋y－4=0.
注：求导数也可以直接用公式，这里只是说明公式的推导过程.
例三 解析：本题主要考查用导数的定义求函数的导数的方法，以及函数极限的运算.
(1)对任意都成立，
令，得f(0)=f
2
(0)．
．
(2)，


对任何xR，都有．
例四 解析：这些函数都是由基本初等函数经过四则运算得到的简单函数，求导时，
可直接利用四则运算法则和 基本初等函数的导数公式求导．
(1)

(2)解法一：



解法二：

．
(3)
．
(4)，
．
例五解析：应用指数、对数函数的 求导公式，结合函数四则运算的求导法则及复合函数
的求导法则进行求导.
(1)

(2) 设，
则．
(3)
(4)方法一：



方法二：


．
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一、选择题
1．若函数f(x)=2x
2
－1的图象上一点（1，1）及邻近一点，则（ ）
A．4 B．4x
C．4＋2 D．4＋2
2．物体运动方程为，则t=5时的瞬时速度为（ ）
A．5 B．25
C．125 D．625
3．设，则曲线y=f(x)在点处的切线（ ）
A．不存在 B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直 D．与x轴斜交
4．曲线在点(1，－1)处的切线方程为（ ）
A．y=3x－4 B．y=－3x＋2
C．y=－4x＋3 D．y=4x－5
5．与直线2x－y＋4=0平行的抛物线y=x
2
的切线方程是（ ）
A．2x－y＋3=0 B．2x－y－3=0
C．2x－y＋1=0 D．2x－y－1=0
6．设f(x)=(2x+5)
6
，在函数中，x
3
的系数是（ ）
A．2000 B．12000
C．24000 D．非以上答案
7．设，则等于（ ）
A．0 B．
C． D．
8．函数y=cos(cosx)的导数为（ ）
A．=[sin(cosx)]sinx B．=－[sin(cosx)]sinx
C．=[cos(sinx)]sinx D．=－cos(sinx)
9．设f(x)＝且，则a的值为（ ）
A．1 B．2
C． D．0
10．则等于（ ）
A． B．
C． D．

重 做

提 示

B 卷

二、填空题
11．若曲线f(x) =－x在点Ｐ处的切线平行于直线3x－y=0，则Ｐ点的坐标是________.
12．设,则不等式的解集为_________．
13．设f(x)=，且，则a=______，b＝______.
14．若曲线与直线y=3x＋1相切，则常数a的值为_________.
[答案]
三、解答题
15．求曲线y=cosx在点A处的切线方程．
[答案]
16．已知曲线，直线，且直线l与曲线C相切于点
求直线l的方程及切点方程．
[答案]
17．直线l与m都是抛物线
求l，m的直线方程．
的切线，l过点P(3，2)且斜率小于１，，
[答案]
18．求下列函数的导数：
(1)；
(2)．
[答案]

第1题答案错误! 正确答案为 C

第2题答案错误! 正确答案为 C

第3题答案错误! 正确答案为 B

第4题答案错误! 正确答案为 B

第5题答案错误! 正确答案为 D

第6题答案错误! 正确答案为 C

第7题答案错误! 正确答案为 C

第8题答案错误! 正确答案为 A

第9题答案错误! 正确答案为 B

第10题答案错误! 正确答案为 D

提示：
1．解析：．
2．解析：．
3．解析：，即切线的斜率为０．
4．解析：本题主要考查导数的几何意义．由题意可知

则过点(1，－1)的切线方程为y＋1=－3(x－1)，即为y=－3x＋2．
，当x=1时，
5．解析：由题意可知
线方程为y－1=2(x－1)，即为2x－y－1=0．
上的点为(1，1)，则所求的切
6．解析：，根据二项式定理，则含有x
3
项为
．
7．解析：，．
8．解析：．
9．解析：，又．
可得，解得a=2．
10．解析：
答案：
11．(1，0)．
12．(－1，3)．
13．a=0，b=－1．
．
14．．
15．解：，，
在点Ａ处的切线方程为．
16．解：直线l过原点，则，
由点在曲线C上，得，
．．
又．
整理得．
此时，
因此直线l的方程为，切点坐标为．
17．解：，设l与抛物线相切于点Q，
则．
因Q在抛物线上，故．又点P（3，2），
，即，
于是．当时，；
当时，（舍去）．
则l的方程为，即x－2y＋1=0．
由于，故m的斜率k=－2，从而，
即，所以切点为，
故m的方程为，即16x＋8y＋1=0．
18．解：
(1)

(2)设则

．
高考解析
1.（2009年全国卷）已知直线y=x＋1与曲线y=ln（x＋a）相切，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．－1 D．－2
答案：B
解析：
对y=ln（x＋a）求导得，
设切点为（m，n），则切线斜率为=1，m＋a=1，
n=ln（m＋a）=ln1=0，
再由（m，n）在直线y=x＋1上得m=－1，
从而得a=2.故选B.
2.（2009年湖北卷）已知函数f（x）=
答案：1
解析：
cosx＋sinx，则f（）的值为_______.


从而有
3．(湖北省高考试题)某日中午12时整，甲船自A处以16kmh的速度向正东行驶，乙< br>船自A的正北18km处以24kmh的速度向正南行驶，则当日12时30分时两船之间的
距离 对时间的变化率是________kmh．
解析：
本题主要考查导数的几何意义，设时刻t时，甲到C处，乙到D处，此时两船的距
为y，则
，
两边同时求导可得

答案：－1.6

4．(全国高考试卷III试题)已知直线为曲线
曲线的另一条切线，且.
在点(1，0)处的切线，为该
(1)求直线的方程；
(2)求由直线，和x轴所围成的三角形的面积．
解析：
本题主要考查导数的几何意义 、两条直线垂直的性质，以及分析问题和综合运算的
能力．解答本题的思路是：先利用导数的几何意义求 出切线的方程，然后利用斜率之
积等于－1求出的方程．
(1)，则直线的方程为y=3x－3．
设直线过曲线
b
2
－2．
上的点Ｂ，则的方程为y=(2b+1)x－
因为，则有2b+1=，b=，所求直线的方程为．
(2)解方程组得，
所以直线和的交点坐标为．
直线，与x轴的交点坐标分别为(1，0)，，
所以所求三角形的面积为S=

．