基金的公式高中数学 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数求导公式以及积与商的函数导数求法

高中数学 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数求导
公式以及积与商的函数导数求法
1、常见函数的导数公式：
常数函数的导数：
幂函数的导数：
；
；
如下：
三角函数的导数：；
；

对数函数的导数：
指数函数的导数：
2、求导数的法则
（1）和与差函数的导数：
由此得多 项式函数导数
（2）积的函数的导数：
特例[C·f(x)]'＝Cf'(x)。




．

,
如①已知函数
②函数
③若对任意，
的导数为，则_____（答：
）；
）；
的导数为__________（答：
，则是______（答：）
（3）商的函数的导数：

例1、求下列导数

（1）y ＝；
（2）y ＝x · sin x · ln x；
（3）y ＝；
（4）y ＝．
（1）解析：∵y ＝＝
∴
（2）y'＝(x · sin x

· ln x) '＝(x · sin x)
' · ln x+(x · sin x )( ln x) '
＝[x'sinx+x(sinx) ']·lnx+(x · sin x )
＝[sinx+xcosx]lnx+sinx

总结：如遇求多个积的导数，可 以逐层分组进行；求导数前的变形，目的在于简化运算；
求导数后应对结果进行整理化简．
（3）y'＝
（4）∵y ＝＝
∴y'＝

例2、求函数的导数
① y＝（2 x
2
－5 x ＋1）e
x


② y＝
解析：① y'＝（2 x
2
－5 x ＋1）′e
x
＋（2 x
2
－5 x ＋1）(e
x
)′＝(2x
2
－x－4)e
x

②


∴y'
总结：① 求导数是在定义域内进行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、
耐心．
例3、已知曲线C：y ＝3 x
4
－2 x
3
－9 x
2
＋4
（1）求曲线C上横坐标为1的点的切线方程；
（2）第（1）小题中切线与曲线C是否还有其他公共点？
解析：（1）把x ＝1代入C的方程，求得y ＝－4．
∴切点为（1，－4）．
Y'＝12 x
3
－6 x
2
－18 x，
∴切线斜率为k ＝12－6－18＝－12．
∴切线方程为y ＋4＝－12（x－1），即
y＝－12 x ＋8．
由得
3 x
4
－2 x
3
－9 x
2
＋12 x －4＝0
(x －1)
2
(x ＋2) (3 x －2)＝0
x ＝1，－2，．
3
代入y ＝3 x
4
－2 x －9 x
2
＋4，求得y ＝－4，32，0，即公共点为（1，
－4）（切点），（－2，32），（，0）．
除切点外，还有两个交点（－2，32）、（，0）．
总结：直线和圆，直线和椭圆相切，可 以用只有一个公共点来判定．一般曲线却要用割线
的极限位置来定义切线．因此，曲线的切线可以和曲线 有非切点的公共点．

例4、曲线S：y ＝x
3
－6 x
2
－x ＋6哪一点切线的斜率最小？
设此点为P（x
0
，y
0
）．证明：曲线S关于P中心对称．
解析：y'＝3 x
2
－12 x －1
当x ＝＝2时，y′有最小值，故x
0
＝2，
由P∈S知：y
0
＝2
3
－6 · 2
2
－2＋6＝－12
即在P（2，－12）处切线斜率最小．
设Q（x，y）∈S，即y ＝x
3
－6 x
2
－x ＋6
则与Q关于P对称的点为R（4－x，－24－y），只需证R的坐标满足S的方程即可．
(4－x)
3
－6(4－x)
2
－(4－x)＋6
＝64－48 x ＋12 x
＝－x
＝－x
3
2
－x
3
－6（16－8 x ＋x
2
）＋x ＋2
＋6 x
2
＋x －30
3
＋6 x
2
＋x －6－24
＝－y－24
故R∈S，由Q点的任意性，S关于点P中心对称．
总结：本题考查导数的几何意义．求切点时，要将取最小值的x值代回原方程．

例5、一质点的运动方程为s(t)＝asint+bcost(a>0)，若速度v(t)的最大值为，且对< br>任意的t
0
∈R,在t＝t
0
与t＝ －t
0
时速度相同，求a、b的值。
解析：v(t)＝s(t)＝acost－bsint
∵v(t)的最大值为 ∴a
2
+b
2
＝
又∵在t＝t
0
与t＝ －t
0
时速度相同
∴(a+b)(cost
0
－sint
0
)＝0且对任意的t
0
∈R且a>0
∴(a+b) ＝0，∴a＝,b＝－。