三峡旅游职业技术学院-磁场对电流的作用
3.3 几类特殊函数的求导方法
一、幂指函数的求导方法
形如( )的函数,称为幂指函数.由于它既不是幂函数也不是
指数函数,所以没有直接可用的导数公式.解决的 方法是首先转化函数的表达形式,然后
再利用复合函数的求导法则.
方法1 利用,将幂指函数()写成指数函数的形式
,由复合函数的求导法则有
=
=
方法2 采用“对数求导法”.对幂指函数
两端取对数,得
,
等式两边对求导(注意是的函数)得
于是
以上两种方法,一个是转化为指数函数的形式,一个是取对数,只需要理解并掌握其
方法就 可以了,不需要去硬记公式.
典型例题
例 3.3.1 设
解 由得
.
例 3.3.2 设
解 由得
,求.
,求.
.
例 3.3.3 设,求.
解 采用“对数求导法”.先取对数得
,
再两边对求导得
,
即
.
“对数求导法”除了可 用于幂指函数,当函数由一些乘、除运算因子和乘方、开方运
算因子构成时,也可以考虑采用.
例 3.3.4 设
解 采用“对数求导法”.
,求.
,
两边对求导得
,
所以
.
可见,由 于函数取对数后可将原表达式中的乘、除运算化为加、减运算,幂、指运算
化为乘法运算,从而运算量大 大降低,因此“对数求导法”是一个很有用的方法.
二、隐函数的求导方法
变量和之间的函数关系如果由方程
所确定,则称函数为隐函数,如果由方程
表示,则称函数为显函数.
例如 ,,均为显函数.
,,均为隐函数.
可以写为
.
出发求出导数
有的隐函数可以显化,即转化为显函数,例如,
.但有些隐函数无法显化或不方便显化,如:
所谓隐函数求导法是指:不考虑显化,而是直接从方程
(或).
典型例题
例 3.3. 5 设
解 两边对
是由方程
是的函数,有
,
即
,
解出得
确定的隐函数,求.
求导,注意到
.
例 3.3. 6 设是由方程确定的隐函数,求
解 两边对求导,注意到是的函数,有
,
又由原方程得,时,对应的,代入上式得
.
.
例 3.3. 7 求曲线
解 曲线上点处的切线方程为
,
求出切点坐标和斜率代入即可.
将
切点为
代入方程
.
,得,所以,
在所对应的点处的切线方程.
由导数的几何意义知所求的切线斜率为.在方程两边对求导,有
,
将和代入得
, 即
所以切线方程为.
.
三、参数式函数的求导方法
在中学的学习中我们知道,圆的方程可以表示为
这就是圆的参数方程.为参数,也称为参变量.
.
设函数
由于两个变量
结构为
由参数方程所确定,称为参数式函数.
和通过形成函数关系,所 以我们可以视它们形成复合函数,层次
,是中间变量.于是,由复合函数求导法则可得:
.
这是因变量与自变量分别对参数求导后的导数之商.
典型例题
例 3.3.8 设,求.
解
.
例 3.3.8 求椭圆在处的切线方程.
解 对应的点为.
,
,
所求切线为
小结:
,即.
(1)幂指函数的求导方法
将幂指函数()写成指数函数的形式
,然后再, 或等式两端取对数得
由复合函数的求导法则求导.
(2)隐函数的求导方法
设是由方程
两边对自变量
确定的隐函数,方程
求导,再从中解出.
(3)参数式函数的求导方法
设函数由参数方程所确定,则
.
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