理想气体公式多元复合函数的求导法

多元复合函数的求导法


在一元函数中，我们已经知道，复合函数 的求导公式在求导法中所起的重要作用，
对于多元函数来说也是如此。下面我们来学习多元函数的复合函 数的求导公式。我们
先以二元函数为例：
多元复合函数的求导公式
链导公式：
设
的一阶偏导数,
那末,复合函数在(x,y)处可导,且有链导公式：
均在(x,y)处可导,函数z=F(u,v)在对应的(u,v)处有连续

例题：求函数
解答：令
由于

的一阶偏导数


而


由链导公式可得：



其中

上述公式可以推广到多元，在此不详述。
一个多元复合函数，其一阶偏导数的个数取决于此复合函数自变量的个数。在一阶
偏导数 的链导公式中，项数的多少取决于与此自变量有关的中间变量的个数。
全导数
由二元函数z=f(u,v)和两个一元函数
是x的一元函数.
复合起来的函数
这时复合函数的导数就是一个一元函数的导数
此时的链导公式为:
,称为全导数.

例题：设z=uv，u=cosx，v=sinx，求
解答：由全导数的链导公式得：
2



将u=cosx，v=sinx代入上式，得：


关于全导数的问题

全导数实际上是一元函数的导数，只是求导的过程是借助于偏导数来完成而已。


多元函数的极值


在一元函数中我们看到，利用函数的导数可以求 得函数的极值，从而可以解决一些
最大、最小值的应用问题。多元函数也有类似的问题，这里我们只学习 二元函数的极
值问题。
二元函数极值的定义
如果在(x
0
,y
0
)的某一去心邻域内的一切点(x,y)恒有等式：
f(x,y)≤f(x
0
,y
0
)
成立，那末就称函数f( x,y)在点(x
0
,y
0
)处取得极大值f(x
0
,y< br>0
)；如果恒有等式：
f(x,y)≥f(x
0
,y
0
)
成立，那末就称函数f( x,y)在点(x
0
,y
0
)处取得极小值f(x
0
,y< br>0
).
极大值与极小值统称极值.使函数取得极值的点(x
0
,y
0
)称为极值点.
二元可导函数在(x
0
,y
0
)取得极值的条件是：
注意：此条件只是取得极值的必要条件。
凡是使的点(x,y)称为函数f(x,y)的驻点.可导函数的
.
极值点必为驻点，但驻点却不一定是极值点。
二元函数极值判定的方法
设z =f(x,y)在(x
0
,y
0
)的某一邻域内有连续的二阶偏导数.如果< br>，那末函数f(x,y)在(x
0
,y
0
)取得极值的条件如下表所示 ：

2
△=B-AC

△＜0

△＞0

△=0


f(x
0
,y
0
)

A＜0时取极大值

A＞0时取极小值

非极值

不定

其中
例题：求
解答：设


的极值。
,则
，.
.
解方程组
对于驻点(1,1)有
，得驻点(1,1),(0,0).
,故
2.
B-AC=(-3)-66=-27＜0，A=6＞0
因此，
对于驻点(0,0)有
B-AC=(-3)-00=9＞0
22.
2
在点(1,1)取得极小值f(1,1)=-1.
,故
因此，
多元函数的最大、最小值问题
在点(0,0)不取得极值.
我们已经 知道求一元函数极大值、极小值的步骤，对于多元函数的极大值、极小值
的求解也可采用同样的步骤。下 面我们给出实际问题中多元函数的极大值、极小值求
解步骤。如下：
a)：根据实际问题建立函数关系，确定其定义域；
b)：求出驻点；
c)：结合实际意义判定最大、最小值.
例题：在平面3x+4y-z=26上求一点，使它与坐标原点的距离最短。
解答：a)：先建立函数关系,确定定义域
求解与原点的距离最短的问题等价于求解与原点距离的平方

最小的问题.但是P点位于所给的平面上,故z=3x+4y-26.把它代 入上式
便得到我们所需的函数关系:

b)：求驻点
,-∞＜x＜+∞,-∞＜y＜+∞

解
z=-1
得唯一驻点x=3，y=4.由于点P在所给平面上,故可知
c)：结合实际意义判定最大、最小值
由问题的实际意义可知，原点与平面距离的最小值是客观存在的，且这
个最小值就是极小值.而函数
仅有唯一的驻点.所以，平面上与原点距离最短的点为P(3,4,-1).
从上例我们可以看出，上面函数关系也可看成是：求三元函数
，
在约束条件
3x+4y-z=26
下的最小值.一个多元函数在一个或几个约束条件下的极值称为条件极值。