弯头公式等差数列前n项和的公式

说课—《等差数列前n项和的公式》

教学目标

A、知识目标：掌握等差数列前n项和公式的推导方法；掌握公式的运用。

B、能力目标：

（1）通过公式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学 生观察、联想、
归纳、分析、综合和逻辑推理的能力。

（2）利用以退求进的思 维策略，遵循从特殊到一般的认知规律，让学生在实践中通过观
察、尝试、分析、类比的方法导出等差数 列的求和公式，培养学生类比思维能力。

（3）通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析 ，培养学生思维的灵活性，提高学生分析
问题和解决问题的能力。

C、情感目标：（数学文化价值）

（1）公式的发现反映了普遍性寓于特殊性之中，从而使学生受到辩证唯物主义思想的熏
陶。

（2）通过公式的运用，树立学生大众教学的思想意识。

（3）通过生动具 体的现实问题，令人着迷的数学史，激发学生探究的兴趣和欲望，树立
学生求真的勇气和自信心，增强学 生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感。

教学重点：等差数列前n项和的公式。

教学难点：等差数列前n项和的公式的灵活运用。

教学方法：启发、讨论、引导式。

教具：现代教育多媒体技术。

教学过程

一、创设情景，导入新课。

师：上几节，我们 已经掌握了等差数列的概念、通项公式及其有关性质，今天要进一步研
究等差数列的前n项和公式。提起 数列求和，我们自然会想到德国伟大的数学家高斯神速
求和的故事，小高斯上小学四年级时，一次教师布 置了一道数学习题：把从1到100的自
然数加起来，和是多少？年仅10岁的小高斯略一思索就得到答 案5050，这使教师非常吃
惊，那么高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？如果大家也懂得那 样巧妙计算，那
你们就是二十世纪末的新高斯。（教师观察学生的表情反映，然后将此问题缩小十倍）。 我
们来看这样一道一例题。

例1，计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10.

这道题除了累加计算以外，还有没有其他有趣的解法呢？小组讨论后，让学生自行发言解
答。

生1:因为1+10=2+9=3+8=4+7=5+6，所以可凑成5个11，得到55。

生2：可设S=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10，根据加法交换律，又可写成
S=10+9+8+7+6+5+4+3+2+1。

上面两式相加得2S=11+10+......+11=10×11=110

10个

所以我们得到S=55，

即1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55

师：高斯神速计算出1到100所有自然数的各的方法，和上述两位同学的方法相类似。

理由是：1+100=2+99=3+98=......=50+51=101，有50个101，所以
1+2+3+......+100=50×101=5050。请同学们想一下，上面的方法用到等差数列的 哪一个性质
呢？

生3：数列{an}是等差数列，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq.

二、教授新课（尝试推导）

师：如果已知等差数列的首项a1，项数为n，第n项an， 根据等差数列的性质，如何来
导出它的前n项和Sn计算公式呢？根据上面的例子同学们自己完成推导， 并请一位学生板
演。

生4：Sn=a1+a2+......an-1+an也可写成

Sn=an+an-1+......a2+a1

两式相加得2Sn=（a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1)

n个

=n(a1+an)

所以Sn=(I)

师：好！如果已知等差数列的首项为a1，公差为d，项数为n，则a n=a1+(n-1)d代入公式
(1)得

Sn=na1+ d(II)

上面（I）、（II）两个式子称为等差数列的前n项和公式。公式（I）是基本的，我们可
以发现，它可与梯形面积公式（上底+下底）×高÷2相类比，这里的上底是等差数列的首项
a1，下 底是第n项an，高是项数n。引导学生总结：这些公式中出现了几个量？（a1，d，n，
an，Sn ），它们由哪几个关系联系？［an=a1+(n-1)d，Sn==na1+ d］；这些量中有几个可自由变化？（三个）从而了解到：只要知道其中任意三个就可以求另外两个了。下面我们举例
说明公式 （I）和（II）的一些应用。

三、公式的应用（通过实例演练，形成技能）。

1、直接代公式（让学生迅速熟悉公式，即用基本量例2、计算：

（1）1+2+3+......+n

（2）1+3+5+......+(2n-1)

（3）2+4+6+......+2n

（4）1-2+3-4+5-6+......+(2n-1)-2n

请同学们先完成（1）-（3），并请一位同学回答。

生5：直接利用等差数列求和公式（I），得

（1）1+2+3+......+n=

（2）1+3+5+......+(2n-1)=

（3）2+4+6+......+2n==n(n+1)

师：第（4）小题数列共有几 项？是否为等差数列？能否直接运用Sn公式求解？若不能，
那应如何解答？小组讨论后，让学生发言解 答。

生6：（4）中的数列共有2n项，不是等差数列，但把正项和负项分开，可看成两 个等差
数列，所以

原式=［1+3+5+......+(2n-1)］-(2+4+6+......+2n)

=n2-n(n+1)=-n

生7：上题虽然不是等差数列，但有一个规律，两项结合都为-1，故可得另一解法：

原式=-1-1-......-1=-n

n个

师： 很好！在解题时我们应仔细观察，寻找规律，往往会寻找到好的方法。注意在运用
Sn公式时，要看清等 差数列的项数，否则会引起错解。

例3、（1）数列{an}是公差d=-2的等差数列 ，如果a1+a2+a3=12，a8+a9+a10=75，求a1，
d，S10。

生8：（1）由a1+a2+a3=12得3a1+3d=12，即a1+d=4

又∵d=-2，∴a1=6

∴S12=12 a1+66×（-2）=-60

生9：（2）由a1+a2+a3=12，a1+d=4

a8+a9+a10=75，a1+8d=25

解得a1=1，d=3 ∴S10=10a1+=145

师：通过上面例题我们掌握了等差数列前n项和的公式。 在Sn公式有5个变量。已知三
个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量（知三求二），请同学 们根据例3自己编
题，作为本节的课外练习题，以便下节课交流。

师：（继续引导学生，将第（2）小题改编）

①数列{an}等差数列，若a1+a2+ a3=12，a8+a9+a10=75，且Sn=145，求a1，d，n

②若此题不 求a1，d而只求S10时，是否一定非来求得a1，d不可呢？引导学生运用等差
数列性质，用整体思 想考虑求a1+a10的值。

2、用整体观点认识Sn公式。

例4，在等差数列{an}， （1）已知a2+a5+a12+a15=36，求S16；（2）已知a6=2 0，求
S11。（教师启发学生解）

师：来看第（1）小题，写出的计算公式S16==8(a1+a6)与已知相比较，你发现了什么？

生10：根据等差数列的性质，有a1+a16=a2+a15=a5+a12=18，所以S16 =8×18=144。

师：对！（简单小结）这个题目根据已知等式是不能直接求出a1 ，a16和d的，但由等差
数列的性质可求a1与an的和，于是这个问题就得到解决。这是整体思想在 解数学问题的体
现。

师：由于时间关系，我们对等差数列前n项和公式Sn的运 用一一剖析，引导学生观察当
d≠0时，Sn是n的二次函数，那么从二次（或一次）的函数的观点如何 来认识Sn公式后，
这留给同学们课外继续思考。

最后请大家课外思考Sn公式（1）的逆命题：

已知数列{an}的前n项和为Sn，若 对于所有自然数n，都有Sn=。数列{an}是否为等差数
列，并说明理由。

四、小结与作业。

师：接下来请同学们一起来小结本节课所讲的内容。

生11：1、用倒序相加法推导等差数列前n项和公式。

2、用所推导的两个公式解决有关例题，熟悉对Sn公式的运用。

生12：1、运用Sn公式要注意此等差数列的项数n的值。

2、具体用Sn公式时，要 根据已知灵活选择公式（I）或（II），掌握知三求二的解题通
法。

3、当已 知条件不足以求此项a1和公差d时，要认真观察，灵活应用等差数列的有关性质，
看能否用整体思想的 方法求a1+an的值。

师：通过以上几例，说明在解题中灵活应用所学性质，要纠正那 种不明理由盲目套用公式
的学习方法。同时希望大家在学习中做一个有心人，去发现更多的性质，主动积 极地去学习。

本节所渗透的数学方法；观察、尝试、分析、归纳、类比、特定系数等。

数学思想：类比思想、整体思想、方程思想、函数思想等。

作业：P49：13、14、15、17