数学圆的公式等差数列前n项和的函数特性

第二课时 等差数列前n项和的函数特性



【选题明细表】
题号
知识点、方法
易
a
n
与S
n
的关系
等差数列前n项和的最值
等差数列前n项和的综合应用

基础达标
1.(2011年高考江西卷) 已知数列{a
n
}的前n项和S
n
满足:S
n
+S
m
=S
n+m
,且
a
1
=1,那么a
10
等于( A )
(A)1 (B)9 (C)10 (D)55
解析:∵S
n< br>+S
m
=S
n+m
,且a
1
=1,∴S
1< br>=1.
令m=1,得S
n+1
=S
n
+1,∴S
n +1
-S
n
=1,
即当n≥1时,a
n+1
=1,
∴a
10
=1.
故选A.
2.已知数列{a
n
}为等差数列,S
n
为{a
n
}的前n项和,S
6
7
,S
7
=S
8
,S
8
>S
9
,则
下列说法中错误的是( C )
1、3、4
2
5、9
中
6
7、8
(A)d<0 (B)a
8
=0
(C)S
10
>S
6
(D)S
7
和S
8
均为S
n
的最大值
解析:由题 意知等差数列{a
n
}前n项和S
n
,当1≤n≤7递增,n≥8时递
减,故应选C.
3.数列{a
n
}的前n项和为S
n
,点(n- 1,
通项公式为( D )
(A)a
n
=2n-2 (B)a
n
=2n+2
(C)a
n
=4n (D)a
n
=2n
解析:由题意知(n-1)-+1=0,∴S
n
=n
2
+n. )在直线x-y+1=0上,则数列的
当n=1时,a
1
=S
1
=2;当n≥2时,a
n
=S
n
-S
n-1
=n
2
+n-(n-1)
2
-(n-1)=2n,a
1
符合
an
的表达式,所以数列的通项公式为a
n
=2n.故选D.
4.已知无 穷项等差数列{a
n
}中,它的前n项和为S
n
,且S
7
> S
6
,S
7
>S
8
,那么
( C )
(A){a
n
}中a
7
最大 (B){a
n
}中a
3
或a
4
最大
(C)当n≥8时,a
n
<0 (D)一定有S
3
=S
11

解析:S
7
>S6
知a
7
>0,S
7
>S
8
知a
8< br><0,故d<0,
∴当n≥8时,a
n
<0.故选C.
5.(20 12丰台区高三期末考试)设S
n
是等差数列{a
n
}的前n项和,若
S
5
=a
8
+5,S
6
=a
7
+a9
-5,则公差d= .
解析:∵S
5
+a
6
=S
6
,∴a
6
+a
8
+5=a
7
+a
9
-5,
∴(a
7
-a
6
)+(a
9< br>-a
8
)=10,即2d=10,∴d=5.
答案:5
6.若数列 {a
n
}的前n项和是S
n
=n
2
-4n+2,则|a1
|+|a
2
|+…
+|a
10
|= .
解析:当n=1时,a
1
=S
1
=1-4+2=-1;
当n≥2时,
a
n
=S
n
-S
n-1
= n
2
-4n+2-[(n-1)
2
-4(n-1)+2]=2n-5,
所以前两项为负数.
故|a
1
|+|a
2
|+…+|a< br>10
|=S
10
+2(|a
1
|+|a
2
| )=10
2
-4×10+2+2×(1+1)=66.
答案:66
能力提升
7.(2012东城区高三期末试题)在等差数列{a
n
}中,若 a
6
=2,a
10
=-10,则
该数列前n项和的最大值为 .
解析:设公差为d,则4d=a
10
-a
6
=-12,∴d=-3,
又由a
6
=2,得a
1
+5d=2,∴a
1
=17 ,
∴S
n
=17n+×(-3)=-(n-)
2
+,
∴当n=6时,S
n
取得最大值57.
答案:57
8.设等差数 列{a
n
}的前n项和为S
n
,若a
1
>0,S
4
=S
8
,求S
n
取得最大值时n
的值.
解:等差 数列前n项和S
n
最大值是在a
1
>0,d<0的情况下取到的,此时
a
n
≥0,a
n+1
<0.
∵a
1
>0,S
4
=S
8
,∴d<0.
由S
4
=S
8
,得a
1
=-d.
∴a
n
=-d+(n-1)d=nd-d.
由得解得5∴n=6时S
n
取得最大值.
9.在等差数列{a
n
}中 ,S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和,已知
S
7
=7,S
15
=75,T
n
为数列的前n项和,求T
n
.
解:设等差数列{a
n
}的首项为a
1
,公差为d,
则S
n
=na
1
+d.
解得 因为S
7
=7,S
15
=75,所以
所以=a
1
+(n-1)d=-2+(n -1).
又因为-=,所以数列是等差数列,首项为-2,公差为,所以
T
n
=n
2
-n.