平米计算公式(整理)等差数列的前n项和.

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1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的
差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常
用字母“d”表示）
⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；
⑵．对于数列{ },若 － =d (与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N ，则此数列是等差数
列，d 为公差

教学目标
（1）知识目标：掌握等差数列前 n 项和公式及其推导方法，并能用公式解决一些简单问题，
（2）能力目标：通过公式的探索、发现，在 知识的发生、发展过程中培养学生观察分析综合逻辑推理能力，
通过对公式不同角度、不同侧面的分析， 培养学生思维的灵活性。
（3）德育目标：公式的发现反映了普遍性寓于特殊性中，通过本节课学习， 培养学生辩证唯物主义思想，
对实际问题的解决，树立数学的应用意识。
教学重点
等差数列 n 项和公式及推导方法和简单运用。
教学难点
公式的推导
教学重点与难点
重点：把某些既非等差数列，又非等比数列的数列化归成等差数列或等比数列
求和．
难点：寻找适当的变换方法，达到化归的目的．
教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用。

教学难点：公式的推导方法和公式的灵活运用。


归纳：①熟练掌握等差数列的有关性质，注意五个元素内在联系，选择灵活的解题技巧，
②数列中设而不求的“整体化”思想的运用，函数思想的运用，
③等差数列前n项和公式的特点，并注意公式的变式。
小结：

(1) 等比数列的前n项和公式

(2) 公式的推导方法——错位相减法

（3）求和思路——构造常数列或部分常数列。

教学方法：启发、讨论、引导
[知识链接] 高斯，德国著名数学家，被誉为“数学王子”。200多年前，高斯的算术教师提出了下面的问题：
1＋2＋3＋…+100＝？
据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：
（1＋100）＋（2＋99）＋……＋（50＋51）＝101×50＝5050.
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教学过程
一、创设情景，导入新课。
师：上几节，我们已经掌握了等差数列的概念、通项公式及其有关性质，今天要进一步研究等差数列
的前n项和公式。提起数列求和，我们自然会想到德国伟大的数学家高斯神速求和的故事，小高斯上小< br>学四年级时，一次教师布置了一道数学习题：把从1到100的自然数加起来，和是多少？年仅10岁的小
高斯略一思索就得到答案5050，这使教师非常吃惊，那么高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的 呢？
如果大家也懂得那样巧妙计算，那你们就是二十世纪末的新高斯。（教师观察学生的表情反映，然后 将此问
题缩小十倍）。我们来看这样一道一例题。
例1，计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10.
这道题除了累加计算以外，还有没有其他有趣的解法呢？小组讨论后，让学生自行发言解答。
生1:因为1+10=2+9=3+8=4+7=5+6，所以可凑成5个11，得到55。
生2：可设S=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10，根据加法交换律，又可写成 S=10+9+8+7+6+5+4+3+2+1。
上面两式相加得2S=11+10+......+11=10×11=110
10个
所以我们得到S=55，
即1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55
师：高斯神速计算出1到100所有自然数的各的方法，和上述两位同学的方法相类似。
理由是： 1+100=2+99=3+98=......=50+51=101，有50个101，所以1+2+3+. .....+100=50×101=5050。请
同学们想一下，上面的方法用到等差数列的哪一个性 质呢？
生3：数列{an}是等差数列，若m+n=p+q，则
二、教授新课（尝试推导）
师：如果已知等差数列的首项a1，项数为n，第n项an， 根据等差数列的性质，如何来导出它的前n
项和Sn计算公式呢？根据上面的例子同学们自己完成推导， 并请一位学生板演。
生4：Sn=a1+a2+......an-1+an也可写成Sn=a n+an-1+......a2+a1
两式相加得2Sn=（a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1)
n个
=n(a1+an)
所以Sn= (I)
师：好！如果已知等差数列的首项为a1，公差为d，项数为n，则an=a1+(n-1)d代入公式(1)得
Sn=na1+ d(II)
上面（I）、（II）两个式子称为等差数列的前n项和 公式。公式（I）是基本的，我们可以发现，它可与
梯形面积公式（上底+下底）×高÷2相类比，这里 的上底是等差数列的首项a1，下底是第n项an，高是
项数n。引导学生总结：这些公式中出现了几个 量？（a1，d，n，an，Sn），它们由哪几个关系联系？[+(n-1)d，
+ d]；这些量中 有几个可自由变化？（三个）从而了解到：只要知道其中任意三个就可以求另外两个了。
下面我们举例说 明公式（I）和（II）的一些应用。
三、公式的应用（通过实例演练，形成技能）。
1、直接代公式（让学生迅速熟悉公式，即用基本量观点认识公式）
请同学们先完成（1）-（3），并请一位同学回答。例2、计算：
（1）1+2+3+......+n
（2）1+3+5+......+(2n-1)
（3）2+4+6+......+2n
（4）1-2+3-4+5-6+......+(2n-1)-2n
生5：直接利用等差数列求和公式（I），得
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（1）1+2+3+......+n=
（2）1+3+5+......+(2n-1)=
（3）2+4+6+......+2n==
师：第（4）小题数列共有几项？是否为等差数列？ 能否直接运用Sn公式求解？若不能，那应如何解
答？小组讨论后，让学生发言解答。
生6：（4）中的数列共有2n项，不是等差数列，但把正项和负项分开，可看成两个等差数列，所以
原式=[1+3+5+......+(2n-1)]-(2+4+6+......+2n)
=
生7：上题虽然不是等差数列，但有一个规律，两项结合都为-1，故可得另一解法：
原式=-1-1-......-1=-n
n个
师：很好 ！在解题时我们应仔细观察，寻找规律，往往会寻找到好的方法。注意在运用Sn公式时，要
看清等差数 列的项数，否则会引起错解。
例3、（1）数列{an}是公差d=-2的等差数列，如果=12，=75，求，d，。
生8：（1）由=12得3a1+3d=12，即a1+d=4
又∵d=-2，∴a1=6
∴S=12 a1+66×（-2）=-60
生9：（2）由=12，a1+d=4
a8+a9+a10=75，a1+8d=25
解得a1=1，d=3 ∴=10a1+=145
师：通过上面例题我们掌握了等差数列 前n项和的公式。在Sn公式有5个变量。已知三个变量，可利用构
造方程或方程组求另外两个变量（知 三求二），请同学们根据例3自己编题，作为本节的课外练习题，以便
下节课交流。
师：（继续引导学生，将第（2）小题改编）
①数列{an}等差数列，若a1+a2+a3=1 2，a8+a9+a10=75，且Sn=145，求a1，d，n
②若此题不求a1，d而只求 时，是否一定非来求得a1，d不可呢？引导学生运用等差数列性质，用整
体思想考虑求a1+a10的 值。
2、用整体观点认识Sn公式。
例4，在等差数列{an}， （1）已知a 2+a5+a12+a15=36，求S16；（2）已知a6=20，求S11。（教师启
发学生解）
师：来看第（1）小题，写出的计算公式S16==8(a1+a6)与已知相比较，你发现了什么？
生10：根据等差数列的性质，有a1+a16=a2+a15=a5+a12=18，所以S16=8×18= 144。
师：对！（简单小结）这个题目根据已知等式是不能直接求出a1，a16和d的，但由 等差数列的性质可
求a1与an的和，于是这个问题就得到解决。这是整体思想在解数学问题的体现。
师：由于时间关系，我们对等差数列前n项和公式Sn的运用一一剖析，引导学生观察当d≠0时， Sn
是n的二次函数，那么从二次（或一次）的函数的观点如何来认识Sn公式后，这留给同学们课外继 续思考。
最后请大家课外思考Sn公式（1）的逆命题：
已知数列{an}的前n 项和为Sn，若对于所有自然数n，都有Sn=。数列{an}是否为等差数列，并说明
理由。
四、小结与作业。
师：接下来请同学们一起来小结本节课所讲的内容。
生11：1、用倒序相加法推导等差数列前n项和公式。
2、用所推导的两个公式解决有关例题，熟悉 对Sn公式的运用。生12：1、运用Sn公式要注意此等差数列
的项数n的值。
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2、具体用Sn公式时，要根据已知灵活选择公式（I）或（II），掌握知三求二的解题通法。
3、当已知条件不足以求此项a1和公差d时，要认真观察，灵活应用等差数列的有关性质，看能否用
整 体思想的方法求a1+an的值。
师：通过以上几例，说明在解题中灵活应用所学性质，要纠正那 种不明理由盲目套用公式的学习方法。
同时希望大家在学习中做一个有心人，去发现更多的性质，主动积 极地去学习。
本节所渗透的数学方法；观察、尝试、分析、归纳、类比、特定系数等。
数学思想：类比思想、整体思想、方程思想、函数思想等。
作业：P49：13、14、15、17
《等差数列前n项和》教案13（新人教A版必修5）
三、例题讲解
例1如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它 下面一层多放1支，最上
面一层放120支. 这个V形架上共放了多少支铅笔？
解：由题意知，这个V型架自下而上是个由120层的铅笔构成的等差数列，记为｛an｝，

答：V型架上共放着7260支铅笔
例２：等差数列－10，－6，－2，2，·······
（1)求其前100项和
(2)前多少项和是54 ？
(3)你能根据本题提供的等差数列自拟几道求和问题吗?
解：设题中的等差数列为{an}
注：1应用公式时，要根据题目的具体条件，灵活选取这两个公式 ）
2 在等差数列的求和公式中，含有四个量，运用方程的思想，知三可求一.
四、巩固练习
1、姚明刚进NBA一周训练罚球的个数：
第一天：600， 第二天：650，第三天：700， 第四天：750，
第五天：800， 第六天：850，第七天：900.
求：他一周训练罚球的总个数？
2、等差数列 5,4,3,2, ··· 前多少项和是 -30？
回顾反思，深化知识
组织学生分组共 同反思本节课的教学内容及思想方法，小组之间互相补充完成课堂小结，实现对等差数列
前n项和公式的 再次深化．
1.从特殊到一般的研究方法；
2.体会倒序相加的算法，掌握等差数列的两个求和公式，领会方程（组）思想；
3. 前n项和公式的函数意义
4、用梯形面积公式记忆等差数列的前n项和公式；
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
［师］经过前面的学习，我们知道，在等差数列中：
（1）an－an－1=d（n≥1），d为常数.
（2）若a，A，b为等差数列，则A= .
（3）若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.（其中m,n,p,q均为正整数）
Ⅱ.讲授新课
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首先，我们来看这样一个问题：1+2+3+…+100=？
对于这个问题，著名数学家高斯10岁时曾很快求出它的结果，你知道他是怎么算的吗？
高斯的算法是：首项与末项的和：1+100=101，
第2项与倒数第2项的和：2+99=101，
第3项与倒数第3项的和：3+98=101，
第50项与倒数第50项的和：50+51=101，于是所求的和是101× =5050.
这个问题，它也类似于刚才我们所遇到的问题，它可以看成是求等差数列1，2，3，…，n,…的前100项
的和.在上面的求解中，我们发现所求的和可用首项、末项及项数n来表示，且任意的第k项与倒数第k 项
的和都等于首项与末项的和，这就启发我们如何去求一般等差数列的前n项的和.如果我们可归纳出一 计算
式，那么上述问题便可迎刃而解.
设等差数列{an}的前n项和为Sn，即Sn=a1+a2+…+an, ①
把项的次序反过来，Sn又可写成Sn=an+an－1+…+a1 ②
①+② 2Sn=（a1+an）+（a2+an－1）+…+（an+a1）
又∵a2+a n－1=a3+an－2=a4+an－3=…=an+a1,∴2Sn=n（a1+an）,即：Sn= < br>若根据等差数列{an}的通项公式，Sn可写为：Sn=a1+（a1+d）+…+［a1+（n－1） d］ ①,把项的次序反
过来，Sn又可写为：Sn=an+（an－d）+…+［an－（n－1）d ②］,把①、②两边分别相加，得2Sn= =n
（a1+an）,即：Sn=
.由此可得等差数列{an}的前n项和的公式Sn= .
也就是说，等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半.
用这个公式来计算1+2+3+…+100=？我们有S100= =5050.又∵an=a1+（n－1）d,∴Sn= ∴Sn= 或
Sn=na1+ d
下面我们来看一例题：等差数列－10,－6,－2,2，…前多少项的和是54?
分析：先根据等差数列所给出项求出此数列的首项，公差，然后根据等差数列的求和公式求解.
解：设题中的等差数列为｛an｝，前n项为的Sn，由题意可知：a1=－10,d=（－6）－（－10） =4，Sn=54
由等差数列前n项求和公式可得： －10n+ ×4=54
解之得：n1=9,n2=－3（舍去）
答案：等差数列－10,－6,－2,2,…前9项的和是54.
Ⅲ.课堂练习
［生］练习课本
1.根据下列各题中的条件，求相应的等差数列{an}的Sn;
（1）a1=5,an=95,n=10;
解：由Sn= ,得Sn= =500.
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（2）a1=100,d=－2,n=50;
解：由Sn=na1+ d,
得S50=50×100×+ ×（－2）=2550.

（3）a1=14.5,d=0.7,an=32
解：由an=a1+（n－1）d,得32=14.5+（n－1）×0.7,解之得n=26

由Sn=na1+ d,得S26=26×14.5+ ×0.7=604.5
评述：要熟练掌握等差数列求和公式的两种形式，以便根据题目所给条件灵活选用而求解.
2.（1）求正数数列中前n个数的和.

解：由题意可知正整数列为：1，2，3，…，n,…,

∴Sn=
（2）求正整数列中前n个偶数的和.

解：由题意可知正整数数列为：1，2，3 ，…，n,…,其中偶数可组成一新数列为：2，4，6，…2n,…，
设正整数列中前n个偶数的和为 Sn，则Sn= =n（n+1）.
评述：首先要理解题意，然后综合使用公式而求解.

3.等差数列5，4，3，2，…前多少项的和是－30？
解：由题意可知，a1=5,d=4－5=－1.
由Sn=na1+ d,得－30=5n+ ×（－1）,解之得：n1=15,n2=－4（舍去）





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