数量关系公式《等差数列前n项和公式》教学设计高品质版

《等差数列前
n
项和公式》教学设计

一、

教材分析

“等差数列前n项和公式”这节课是人教版高中数学（必修）第一册（上） 中的第三章第三节第一
课时的内容，是上一节“等差数列”的后继内容。主要内容：等差数列前n项和公 式的推导及运用。

（一）地位及作用

数列是高中代数的主要内容，它与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密
切的联系，
又是今后学习高等数学 的基础，所以在高考中占有重要地位。

数列是培养学生数学能力的良好题材。学习数列，要经 常观察、分析、归纳、猜想，还要综合运
用前面的知识解决数列中的一些问题，这些都有助于学生数学能 力的提高。

（二）教学目标

根据“等差数列前n项和公式”这一节的教学 大纲及它在高中数学中的地位和作用，确定了如下
教学目标：

1、知识与技能：

① 掌握等差数列前n项和公式的推导方法和公式的简单运用。

② 通过对公式从不同角度、不同 侧面的剖析，培养学生思维的灵活性，提高学生分析问题和解决问题
的能力。

2、过程与方法：

经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一 般的研究
方法，学会观察、归纳、反思，进一步培养学生灵活运用公式的能力。

3、情感、态度价值观：

① 公式的发现反映了普遍性寓于特殊性之中，从而使学生受到辩证唯物主义思想的熏陶。

② 通 过生动具体的现实问题，令人着迷的历史素材和数学史，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生
求真的勇 气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感。

（三）教学重点与难点：

重点：等差数列前n项和的公式；依据：公式是解题的工具。

难点：获得推导等差数列前n项和公式的思路及公式的灵活运用。

依据：公式探究过 程中蕴含着重要的数学思想方法，由于学生认识水平的限制，第一次接触到这些公式，
往往意识不到其作 用，即使教师给予揭示，学生也多半拿着公式而无用武之地，因此我把它作为这一节
的难点。

二、学生情况

本届学生是实行课程改革后升入高一年，课堂比较活跃，乐于表现自已 ，表达能力强。本节是学
生已经掌握了等差数列的通项公式、有关性质等知识后进一步学习的，但初中是 新课程下的实验教材，
现高一年是旧教材，存在知识脱节，学生的运算能力和逻辑思维能力比较低。
三、教法

根据以上对教材和学生的分析，并针对学校实际情况，采用启发引导式及多媒体辅助教学方法。

由于教师不仅是知识的传授者，而且也是学生学习的引导者、组织者和合作者。所以我采用“问
题情景---建立模型---求解---解释---应用”的教学模式，启发引导学生通过对问题的亲身动手探求 、体验，
获得不仅是知识，更重要的是掌握了在今后的发展中用这种手段去获取更多的知识的方法。这是 “教师
教给学生寻找水的方法或给学生一杯水，使学生能找到一桶水乃至更多活水”的求知方式。多媒体 可以
使教学内容生动、形象、鲜明地得到展示。

四、学法

引导学生自主探索，创造机会让学生合作、探究，交流。

理论依据：建构主义学习理 论认为，学习是学生积极主动的建构知识的过程，
学习应该与学生熟悉的背景相联系。在教学中，让学生 在问题情境中，经历知识
的形成和发展，让学生在观察、操作、归纳、思考、探索、交流、反思参与的活
动中学习，认识和理解数学知识，学会学习，发展能力。

五、教学活动过程

教学

环节1

学生

活动

教师

活动

设计

意图

内容

创设
问题
情景，
引入
新课

泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十
七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其
爱妃所建，她宏伟壮 观，纯白大理石砌
建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为
世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，
图案之细致令人叫绝。


传说陵寝中有一个三角形图案，以相
同大小的圆宝石镶饰而成，共有
100
层
（见课件），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？

该素材源于历史，富人文
感受情
景，体验
数学知识.

引导
学生
观赏
课件

气息。图中算数，激发学生探究
的兴趣和欲望，起到承上启下的
作用，探讨高斯算法。

环节1：落实了情感、态度价值
观目标。



教学

环节2

学生

活动

教师

活动

设计

意图

关注 学生已有经验
是影响数学学习的
重要因素之一，数
学史的引入更能激
发学生主 动探索的
热情.

小小的变化,深藏
着教师的大企划:
借此引入种种 求和
方法,以此为铺垫.















层层递进的二个启
内容



问题化归：即求=？（高斯10岁时的算法）.



叙述高
斯解法.

展示
幻灯，
提问
.





问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗
宝石？

即求=？在教师的引导下，学生发现了：

方法1：原式=.

探

究

发

现

方法2：原式=.

方法3：原式=

方法4：原式学生发现：高斯“首尾配对” 的算
法还得分“奇、偶”个项的情况求和。

独立思
考，小
组讨论
交流.



进而教师提出质疑：有无更简单的方
法？

启发
1
：，即先求，是否更方便？

启发
2
：情景 提示，借助几何图形之直
教师
到各
小组
指导，
针对
学生五花
八门
的解
法，给
予鼓
励与
观性，引导学生使用熟悉 的几何方法：
把
“
全等三角形
”
倒置，与原图补成平
行四边 形。

肯定
.



发,视学生具体情
况 而定,实际情景
的提供,唤醒了学
生记忆深处的东
西,并为“倒序相加
求和法 “的出现提
供了一个直接的模
型。

引导学
尝


生回顾
等差数
列的性


进
一
步
推
导











教学

环节3

①“顺”用公式

内容

学生

活动

展示如
左的两
种解法，
并给予
鼓励。



问题
2
：如何求等差数列的前项和？

公式1：

试
推
导.

质.

获得“倒序相
加求和法”的
思路。







问题
3
：是否可以用基本量来表示？

生
1
：把代入公式
1
：

公式
2
：

生
2
：

公式2：

进一步得到公式2.

环节2：突出过程
与方法目标。

教师

活动

设计

意图

让学生
熟悉公
式的要
素与结
构.









加深学
生对公
式的基
本量意
义的认
识.

例1,例2:
落实了
知识与
公

式

的

应

用

例
1
：某长跑运动 员
7
天里每天的训练量（单
位：
m
）是
7500
，
8000
，
8500
，
9000
，
9500
，
10000
，
10500.
这位长跑运动员７天共跑了多少米？















针对学生对
公式基本量的意义认识不足，又设计了：

例
2
：求

解法
1
：（错解）

解法
2
：


通过这样的纠错教学，把学生隐蔽的思维障碍挖掘出
来，比直接讲授效果好得多.



教师巡视，从
中选择两组
独立思
考，小组
讨论 ，探
究解法.









辨析、反
省，总
结.

具有代表性
的解法，请两
位同学用实
物投影仪展
示他们的解
法并让他们
在一旁讲解.





教师巡视，从
中选择两组
具有代表性
的解法.





技能目
标.



“变”用




学生练
习，探究
交流

先用投影仪
展示学生的
解法，然后师
生共同完成
解答.



公式可
以培养
学生思
维的高
度灵活
性 .例3:
深化知
识与技
能目标.

让学生
先用投影仪掌握“ 知
三求二”
的思路.
例4:拓展
了知识
与技能
目标.

设计

意图

学生的回答不尽
统一,但能体现出
学生反
思

教师引导学生
反思,后自己反
思与总结.

学生的个性发展,
符合新课标以学
生为主体、注重
学生个性发展的
思想.







②“变”用公式

★★例3:
“今有女子善织布，逐日所织的布
以同数递增，初日织五尺，计织三十日，共
织九匹三丈，问日增几何？”（一匹为四丈，
九匹三丈为
390
尺）

★

例3:已知，求。

注：让学生选做，关注全体学生。“★★例3”比较难，
但可转化为“★例3”。



③“活”用公式

例
4
：等差数列中，已知求

变式拓展：等差数列中，

已知求.

学生练
习，探究
交流.



展示学生的
解法，然后师
生共同完成
解答.



教学

环节4

内容

学生

活动

教师

活动

①从本课的学习中你从中有何收获？

反思归
纳总结

②如何得出等差数列的前项和公式？

③应用公式要注意什么问题？





六、作业布置

必做题：课本第
118
页，习题
3.3
第
2
、
3
、
4
题

选做题： 已知函数,则_____.

设计意图：必做题是让学生巩固所学的知识，熟练公式的应用。根 据班级的
特点，为了促进数学成绩优秀学生的发展，培养他们分析问题解决问题的能力，
我设计 了选做题，达到分层教学的目的，同时又关注学习基础比较差的学生。

七、教学设计反思：

1．本节课
如果直接介绍“倒序相加求和法”，无疑就 像波利亚所说的“帽子里跳出来的兔子”。
所以在教学中，我采用创设问题情景,以问题驱动、层层铺垫 ，从特殊到一般启发学生获得公式的推导方
法。并借助
多媒体展示“公式推导过程中的一些图形 ”，这样可以使教学内容更生
动、更形象。

2．本节课的教学试图改进学生的学习方 式，以小组合作的方式展开，在合作
中相互配合、动手实践来完成
公式的推导，通过“顺用公式 ”，“变用公式”，“活用公式”
三个层次来促进学生新的认知结构的形成，并引导学生自己学会对学习 的反思。




随着年岁的叠加，我们会渐渐发现：越是有智慧的 人，越是谦虚，因为昂头的只是稗子，低头的才是稻子；越是富有的人，越是高贵，因为真正的富裕是灵魂上的高 贵以及精神世界的富足；越是
优秀的人，越是努力，因为优秀从来不是与生俱来，从来不是一蹴而就。随 着沧桑的累积，我们也会慢慢懂得：成功的路，其实并不拥挤，因为能够坚持到底的人实在太少；所有优秀的人， 其实
就是活得很努力的人，所谓的胜利，其实最后就是自身价值观的胜利。人到中年，突然间醒悟许多， 总算明白：人生，只有将世间的路一一走遍，才能到尽头；生活，只有将尘世况味种种尝遍，
才能熬出头 。这世间，从来没有最好，只有更好。每天，总想要努力醒得比太阳还早，因为总觉得世间万物，太阳是最能赐人 力量和能量的。每当面对喷薄的日出，心中的太阳随之冉冉腾起，生
命之火熊熊燃烧，生活的热情就会光 芒四射。我真的难以想象，那些从来不早起的人，一生到底能够看到几回日升？那些从来没有良好习惯的人，活到 最后到底该是多么的遗憾与愧疚？曾国藩说：
早晨不起，误一天的事；幼时不学，误一生的事。尼采也说 ：每一个不曾起舞的日子，都是对生命的辜负。光阴易逝，岂容我待？越是努力的人，越是没有时间抱怨，越是没 有工夫颓丧。每当走
在黎明的曙光里，看到那些兢兢业业清洁城市的“美容师”，我就会由衷地欣赏并在 心底赞叹他们，因为他们活得很努力很认真。每当看见那些奔跑在朝霞绚烂里的晨练者，我就会从心里为他们竖< br>起大拇指，因为他们给自己力量的同时，也赠予他人能量。我总觉得：你可以不优秀，但你必须有认真的态 度；你可以不成功，但你必须努力。这个世界上，从来没有谁比谁更优秀，只有谁比谁
更努力。我也始终 认为：一个活得很努力的人，自带光芒万丈；一个人认真的样子，比任何时候都要美好；一个能够自律自控的人， 他的人生也就成功了大半。世间每一种的好，从来都只为懂得
努力的人盛装而来。有时候，我真的感觉， 人生的另一个名字应该叫做努力，努力了就会无悔，努力了就会无愧；生活的另一种说法应该叫做煎熬，熬过了漫 漫黑夜，天就亮了，熬过了萧萧冬日，
春天就来了。人生不易，越努力越幸运；余生不长，越珍惜越精彩 。人生，是一本太仓促的书，越认真越深刻；生命，是一条无名的河，越往前越深邃。愿你不要为已逝的年华叹息 ，不要为前路
的茫茫而裹足不前愿你相信所有的坚持总能奏响黎明的号角，所有的努力总能孕育硕果的盛 驾光临。愿你坚信越是成功的人越是不允许自己颓废散漫，越是优秀的人越是努力……生活中很多时候，
我们遇到一些复杂的情况，会很容易被眼前的障碍所蒙蔽，找不到解决问题的方法。这时候，如果能从当前的环境 脱离出来，从一个新角度去解决问题，也许就会柳暗花明。一个土豪，每次出门
都担心家中被盗，想买只 狼狗栓门前护院，但又不想雇人喂狗浪费银两。苦思良久后终得一法：每次出门前把WiFi修改成无密码，然后 放心出门每次回来都能看到十几个人捧着手机蹲在自家门口，
从此无忧。护院，未必一定要养狗换个角度 想问题，结果大不同。一位大爷到菜市场买菜，挑了3个西红柿到到秤盘，摊主秤了下：“一斤半3块7。”大爷 ：“做汤不用那么多。”去掉了最大的西
红柿。摊主:“一斤二两，3块。”正当身边人想提醒大爷注意 秤时，大爷从容的掏出了七毛钱，拿起刚刚去掉的那个大的西红柿，潇洒地换种算法，独辟蹊径，你会发现解决问 题的另一个方法。生
活中，我们特别容易陷入非A即B的思维死角，但其实，遭遇两难困境时换个角度思 考，也许就会明白：路的旁边还有路。一个鱼塘新开张，钓费100块。钓了一整天没钓到鱼，老板说凡是没钓< br>到的就送一只鸡。很多人都去了，回来的时候每人拎着一只鸡，大家都很高兴！觉得老板很够意思。后来， 钓鱼场看门大爷告诉大家，老板本来就是个养鸡专业户，这鱼塘本来就没鱼。巧妙的去
库存，还让顾客心 甘情愿买单。新时代，做营销，必须打破传统思维。孩子不愿意做爸爸留的课外作业，于是爸爸灵机一动说：儿子 ，我来做作业，你来检查如何？孩子高兴的答应了，并且把爸
爸的“作业”认真的检查了一遍，还列出算 式给爸爸讲解了一遍不过他可能怎么也不明白为什么爸爸所有作业都做错了。巧妙转换角色，后退一步，有时候是 另一种前进。一个博士群里有人提问：
一滴水从很高很高的地方自由落体下来，砸到人会不会砸伤？或砸 死？群里一下就热闹起来，各种公式，各种假设，各种阻力，重力，加速度的计算，足足讨论了近一个小时 后来，一个不小心进
错群的人默默问了一句：你们没有淋过雨吗 人们常常容易被日常思维所禁锢，而忘却了最简单也是最直接的路有两个年轻人，大学毕业后一起到广州闯天下。
甲很快做成一单大生意，升为部门经理；乙业绩很差，还是一个业务员，并且是甲的手下。乙心理不平衡 ，就去庙里找和尚，求神明相助。和尚说：“你过三年再看。”三年后，他找到和尚，很沮
丧地说甲现在 已经是总经理了。和尚说：再过三年再看。三年 又过去了，他又去见和尚，气急败坏地说：甲已经自己当老板了 。和尚说：我也从普通和尚升为方丈了。我们都是自己，你是谁？我
们都为自己活着，监管着自己的责任 ，你在干什么？你痛苦地为甲活着，监管着他，你丢的不是职位、金钱和面子，你丢掉了自己。一年后，乙又来了 ，幸灾乐祸地说：和尚你不对，甲公司破产，
他坐牢了。和尚无语，心里悲悯：坐牢了，破产了，甲还是 他自己。可是你这个可怜的人啊，还不是你自己呀。十年后，甲在监狱里服刑时，思索人生，写了一本书，很轰动 ，成了畅销书。签名
售书，成了名人，无限风光。甲还在电视上与和尚一起，作为名人谈经论道、感化众 生。乙在出租屋里看电视，手里翻着甲的书，内心极度痛苦。他给和尚发短信：我相信命运了，甲坐牢都能坐出好风光来。你还没找到自己乙就这样一辈子把自己给弄丢了。你看到别人一路畅通时，心中是否会愤愤不平 ？看到别人失意落魄时，又是否会幸灾乐祸，沾沾自喜？其实别人的好与坏，与你又
有什么关系呢？你需 要要做的其实只是自己。真正智慧的人，在人生追求的路上，只有不断的自我升级，对照别人的一切，不断的鞭策 自己，一路坚持，才能不断的升华，实现人生的梦想。 一
位少年家境贫寒，为了生计，他到一个庄园 主家里当工人。他很勤奋，也很卖力，生怕自己干不好被辞退。庄园主是一位绅士，对待工人很友善。一天，他突 然接到一个电话，那边传来一个中年
人的声音：“先生，您需不需要工人？”庄园主摇了摇头，轻声地说 ： “对不起，我有工人了，不需要。”我绝对可以起早贪黑干活，我的工钱可以减半！”对方急忙说。不，我的 工人非常勤快，
真不需要。”庄园主有礼貌地补充说。我保证一刻也不闲着，包括所有角落的灰尘都擦到 。”对方又说。我家的工人也是这么做的，像你一样细致。”庄园主回答说。对方无奈，只好挂断了电话。庄园主不知道，安排打这个电话的，正是在庄园里干活的那位少年。那一天，他拿着发的第一个月的薪水，跑到 镇上，找来自己的叔叔，用全部的薪水支付电话费用，然后让叔叔给庄园主打电话。
叔叔搞不清楚他在做 什么，便问他说：“孩子，你就在那里做工，怎么还问人家需不需要工人？”少年听后笑了，对叔叔说：“叔叔， 我在那里做工，就要对他们负责，我只想知道，在他们心中，
我做得怎么样，被不被认可。”叔叔顿时对 这个侄子刮目相看，认为他将来必有出息，蹲下来告诉他：“孩子，将来无论你做什么，你都要记住你的那句话， 经常问客户你做得怎么样……”少年后
来就跟在叔叔身边做生意，生意做得越来越好，最后离开了叔叔独 自创业，跳槽到纽约一家公司，从零开始自己的职业生涯，逐渐出人头地。他叫范德利普，后来作为总裁，领导花 旗银行十年。
这十年的时光中，他的战略就是发展国内中小企业客户，而他每年都有大半的时间在各地跑 ，做调研，只为征求客户对银行的意见，再有针对性地改进。花旗银行在他的带领下实现了跨越式发展，
在他任职的第二年，便成为美国第一家总资产达数亿美元的银行，为它的辉煌发展打下了坚实基础，这就是一个企 业家最大的智慧