新个税公式高中数学《等差数列前n项和的公式》说课稿

高中数学《等差数列前n项和的公式》说课稿
以下是高中数学《等差数列前n项和的公式》说课稿，仅供参考。
教学目标
A、知识目标：
掌握等差数列前n项和公式的推导方法;掌握公式的运用。
B、能力目标：
(1)通过公式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培
养学 生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力。
(2)利用以退求进的思维策略，遵循从特 殊到一般的认知规律，让
学生在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导出等差数列的求
和 公式，培养学生类比思维能力。
(3)通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析，培养学生思维的 灵
活性，提高学生分析问题和解决问题的能力。
C、情感目标：(数学文化价值)
(1)公式的发现反映了普遍性寓于特殊性之中，从而使学生受到辩
证唯物主义思想的熏陶。
(2)通过公式的运用，树立学生大众教学的思想意识。
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(3)通过生动具体的现实问题，令人着 迷的数学史，激发学生探究
的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的
心理体验，产生热爱数学的情感。
教学重点：等差数列前n项和的公式。
教学难点：等差数列前n项和的公式的灵活运用。
教学方法：启发、讨论、引导式。
教具：现代教育多媒体技术。
教学过程
一、创设情景，导入新课。
师：上几节，我们已经掌握了等差数列的概念、通项公式及其有
关性质，今天要进一步研究等差数列的前 n项和公式。提起数列求和，
我们自然会想到德国伟大的数学家高斯神速求和的故事，小高斯上
小学四年级时，一次教师布置了一道数学习题：把从1到100的自
然数加起来，和是多少?年仅10岁 的小高斯略一思索就得到答案
5050，这使教师非常吃惊，那么高斯是采用了什么方法来巧妙地计算< br>出来的呢?如果大家也懂得那样巧妙计算，那你们就是二十世纪末的
新高斯。(教师观察学生的表 情反映，然后将此问题缩小十倍)。我们
来看这样一道一例题。
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例1，计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10.
这道题除了累加计算以外，还有没有其他有趣的解法呢?小组讨
论后，让学生自行发言解答。
生1:因为1+10=2+9=3+8=4+7=5+6，所以可凑成5个11，得到55。
生2 ：可设S=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10，根据加法交换律，又可写
成S=10+9+8 +7+6+5+4+3+2+1。
上面两式相加得2S=11+10+......+11=10×11=110
10个
所以我们得到S=55，
即1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55
师：高斯神速计算出1到100所有自然数的各的方法，和上述两
位同学的方法相类似。
理由是：1+100=2+99=3+98=......=50+51=101，有50个101，所以
1+2+3+......+100=50×101=5050。请同学们想一下，上面的方法用到等
差数列的哪一个性质呢?
生3：数列{an}是等差数列，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq.
二、教授新课(尝试推导)
师：如果已知等差数列的首项a1，项数为n，第n项an，根据
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等差数列的性质，如何来导出它的前n项和S n计算公式呢?根据上面
的例子同学们自己完成推导，并请一位学生板演。
生4：Sn=a1+a2+......an-1+an也可写成
Sn=an+an-1+......a2+a1
两式相加得2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1)
n个
=n(a1+an)
所以Sn=
#FormatImgID_0#
(I)
师：好!如果已知等差数列的首项为a1，公差为d，项数为n，则
an=a1+(n-1)d代入公式(1)得
Sn=na1+
#FormatImgID_1#
d(II) 上面(I)、(II)两个式子称为等差数列的前 n项和公式。公式(I)
是基本的，我们可以发现，它可与梯形面积公式(上底+下底)×高÷2
相类比，这里的上底是等差数列的首项a1，下底是第n项an，高是
项数n。引导学生总结：这些公 式中出现了几个量?(a1，d，n，an，
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Sn)，它们由哪几个关系联系?[an=a1+(n-1)d，Sn=
#FormatImgID_2#
=na1+
#FormatImgID_3#
d];这些量中有几个可自由变化?(三个)从而了解到：只要知道其
中任意三个就可以求 另外两个了。下面我们举例说明公式(I)和(II)的一
些应用。
三、公式的应用(通过实例演练，形成技能)。
1、直接代公式(让学生迅速熟悉公式，即用基本量观点认识公式)
例2、计算：
(1)1+2+3+......+n
(2)1+3+5+......+(2n-1)
(3)2+4+6+......+2n
(4)1-2+3-4+5-6+......+(2n-1)-2n
请同学们先完成(1)-(3)，并请一位同学回答。
生5：直接利用等差数列求和公式(I)，得
(1)1+2+3+......+n=
#FormatImgID_4#
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(2)1+3+5+......+(2n-1)=
#FormatImgID_5#
(3)2+4+6+......+2n=
#FormatImgID_6#
=n(n+1)
师：第(4)小题数列共有几项 ?是否为等差数列?能否直接运用Sn
公式求解?若不能，那应如何解答?小组讨论后，让学生发言解答 。
生6：(4)中的数列共有2n项，不是等差数列，但把正项和负项
分开，可看成两个等差数列，所以
原式=[1+3+5+......+(2n-1)]-(2+4+6+......+2n)
=n2-n(n+1)=-n
生7：上题虽然不是等差数列，但有一个规律，两项结合都为-1，
故可得另一解法：
原式=-1-1-......-1=-n
n个
师：很好!在解题时我们应仔细观 察，寻找规律，往往会寻找到
好的方法。注意在运用Sn公式时，要看清等差数列的项数，否则会
引起错解。
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例3、(1 )数列{an}是公差d=-2的等差数列，如果a1+a2+a3=12，
a8+a9+a10=75 ，求a1，d，S10。
生8：(1)由a1+a2+a3=12得3a1+3d=12，即a1+d=4
又∵d=-2，∴a1=6
∴S12=12 a1+66×(-2)=-60
生9：(2)由a1+a2+a3=12，a1+d=4
a8+a9+a10=75，a1+8d=25
解得a1=1，d=3 ∴S10=10a1+
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=145
师：通过上面例题我们掌 握了等差数列前n项和的公式。在Sn
公式有5个变量。已知三个变量，可利用构造方程或方程组求另外 两
个变量(知三求二)，请同学们根据例3自己编题，作为本节的课外练
习题，以便下节课交流 。
师：(继续引导学生，将第(2)小题改编)
①数列{an}等差数列，若a1 +a2+a3=12，a8+a9+a10=75，且Sn=145，
求a1，d，n
②若此题不求a1，d而只求S10时，是否一定非来求得a1，d不
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可呢?引导学生运用等差数列性质，用整体思想考虑求a1+a10的值。
2、用整体观点认识Sn公式。
例4，在等差数列{an}， (1)已知a2+a5+a12+ a15=36，求S16;(2)
已知a6=20，求S11。(教师启发学生解)
师：来看第(1)小题，写出的计算公式S16=
#FormatImgID_8#
=8(a1+a6)与已知相比较，你发现了什么?
生10：根据等差数列的性质，有a1+a1 6=a2+a15=a5+a12=18，所
以S16=8×18=144。
师：对!( 简单小结)这个题目根据已知等式是不能直接求出a1，a16
和d的，但由等差数列的性质可求a1与 an的和，于是这个问题就得
到解决。这是整体思想在解数学问题的体现。
师：由于时间 关系，我们对等差数列前n项和公式Sn的运用一
一剖析，引导学生观察当d≠0时，Sn是n的二次函 数，那么从二次
(或一次)的函数的观点如何来认识Sn公式后，这留给同学们课外继续
思考。
最后请大家课外思考Sn公式(1)的逆命题：
已知数列{an}的前n项和为Sn，若对于所有自然数n，都有Sn=
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。数列{an}是否为等差数列，并说明理由。
四、小结与作业。
师：接下来请同学们一起来小结本节课所讲的内容。
生11：1、用倒序相加法推导等差数列前n项和公式。
2、用所推导的两个公式解决有关例题，熟悉对Sn公式的运用。
生12：1、运用Sn公式要注意此等差数列的项数n的值。
2、具体用Sn公式时，要根据已知灵活选择公式(I)或(II)，掌握知
三求二的解题通法。
3、当已知条件不足以求此项a1和公差d时，要认真观察，灵活
应用等差数列的有关性质 ，看能否用整体思想的方法求a1+an的值。
师：通过以上几例，说明在解题中灵活应用所学性 质，要纠正那
种不明理由盲目套用公式的学习方法。同时希望大家在学习中做一个
有心人，去发 现更多的性质，主动积极地去学习。
本节所渗透的数学方法;观察、尝试、分析、归纳、类比、特定
系数等。
数学思想：类比思想、整体思想、方程思想、函数思想等。

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