动力的公式高考数学一轮复习第五章数列5.2等差数列及其前n项和教案.doc

等差数列及其前n项和
【教学目标】
1.理解等差数列的概念．
2.掌握等差数列的通项公式与前
n
项和公式．
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列有关知识解决相应的问题．
4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.
【重点难点】
1.教学重点：理解等差数列的概念并掌握等差数列的通项公式与前
n
项和公式
2.教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；
【教学策略与方法】
自主学习、小组讨论法、师生互动法
【教学过程】
教学流程




















教师活动
考纲传真:
1.理解等差数列的概念．2.掌握等 差数列的通项公式
与前
n
项和公式．3.能在具体的问题情境中识别数列
的等 差关系，并能用等差数列有关知识解决相应的问
题．4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.
真题再现;
1． (2013·课标全国卷Ⅱ)已知等差数列{
a
n
}的公差
不为零，
a
1
＝25，且
a
1
，
a
11
，
a
13
成等比数列．
(1)求{
a
n
}的通项公式；
(2)求
a
1< br>＋
a
4
＋
a
7
＋…＋
a
3
n
－2
.
【解】 (1)设{
a
n
}的公差为
d
，由题意得
a
11
＝
a
1
a
13
，
即(
a
1
＋10
d
)＝
a
1
(
a
1
＋12
d
)．于是
d
(2
a
1
＋25
d
)＝0.又
2
2
学生活动



。








学生通过对高
考真题的解决，发
现自己对知识的
掌握情况。





设计意图





通过对考纲
的解读和分析。
让学生明确考试
要求，做到有的
放矢









a
1
＝25，所以
d
＝0(舍去)，
d
＝－2.故
a
n
＝－2
n
＋27.
(2)令
S
n
＝< br>a
1
＋
a
4
＋
a
7
＋…＋
a
3
n
－2
.由(1)知
a
3
n
－2＝－6
n
＋31，故{
a
3
n
－2
}是首项为 25，公差为－6的 等差数
列．从而
S
n
＝(
a
1
＋
a
3
n
－2
)＝(－6
n
＋56)＝－3n
＋
22
28
n
.
知识梳理：
知识点1 等差数列
nn
2

1



































1．定义：
a
n
＋1
－
a
n
＝
d
(常数)(
n
∈N)．
2．通项公式：
a
n< br>＝
a
1
＋(
n
－1)
d
，
a
n
＝
a
m
＋(
n
－
m
)
d.
3．前
n
项和公式：
S
n
＝
na
1
＋
4．
a
，
b
的等差中项
A
＝
*


.
























































2
nn
－1
dna
1
＋
a
n
2
.
＝
2
a
＋
b
2
知识点2 等差数列的性质
已知数列{
a
n
}是等差数列，
S
n
是其前
n< br>项和．
(1)若
m
，
n
，
p
，
q
，
k
是正整数，且
m
＋
n
＝
p
＋
q
＝2
k
，
则
a
m
＋
a
n
＝
a
p
＋
a
q
＝2
a
k.
(2)
a
m
，
a
m
＋
k
，
a
m
＋2
k
，
a
m
＋3
k，…仍是等差数列，公差为
kd
.
(3)若{
a
n
} ，{
b
n
}是等差数列，则{
pa
n
＋
qb
n
}是等差数列．
(4)数列
S
m
，
S
2m
－
S
m
，
S
3
m
－
S2
m
，…，也是等差数列．
(5)若数列{
a
n
}的 前
n
项和为
S
n
，则
S
2
n
－1
＝(2
n
－1)
a
n
，
S
2
n
＝
n
(
a
1
＋
a
2
n
) ＝
n
(
a
n
＋
a
n
＋1
)．
名师点睛： 1．必会结论
(1)等差数列的增减性：
d
＞0时为递增数列 ，且当
a
1
＜0时，前
n
项和
S
n
有最小 值，
d
＜0时为递减数列，
且当
a
1
＞0时，前
n
项和
S
n
有最大值．
(2)数列{
a
n
}的前
n
项和
S
n
＝
An
＋
Bn
(
A
≠0)是{
a
n
}成等
差数列的充分条件．
(3)两个等差数列{
a
n
}，{
b
n
}的前
n< br>项和
S
n
，
T
n
之间的
2
a
n
S
2
n
－1
关系为＝.
b
n
T2
n
－1
(4)若数列{
a
n
}，{
b
n
}是公差分别为
d
1
，
d
2
的等差数列，
则数列{
pa
n
}，{
a
n
＋
p< br>}，{
pa
n
＋
qb
n
}都是等差数列(
p
，
q
都是常数)，且公差分别为
pd
1
，
d
1
，
pd
1
＋
qd
2
.
2．必知联系 ；(1)当公差
d
≠0时，等差数列的通项公
式是
n
的一次函数，当 公差
d
＝0时，
a
n
为常数．
(2)公差不为0的等差数 列的前
n
项和公式是
n
的二次
函数，且常数项为0.若某数列的前< br>n
项和公式是常数
项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从
第二项起 成等差数列．
考点分项突破












































考点一：等差数列的基本运算
1．(2015·重庆高考)在等差数列{
a
n
}中，若
a
2
＝4，



学生通过对高
考真题的解决，感
受高考题的考察
视角。




































3
a
4
＝2，则
a
6
＝( )
A．－1 B．0 C．1 D．6
【解析】 ∵{
a
n
}为等差数列，∴2< br>a
4
＝
a
2
＋
a
6
，∴
a
6
＝2
a
4
－
a
2
，即
a
6
＝2×2－4＝0.【答案】 B
2．(2015·陕西高考)中位数为1 010的一组数构成等
差数列，其末项为2015，则该数列的首项为
__________．
【解析】 设数列首项为
a
1
，则
故
a
1
＝5.【答案】 5
归纳： 1．等差数列运算问题的通性通法
(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项< br>a
1
和公
差
d
，然后由通项公式或前
n
项和 公式转化为方程(组)
求解．
(2)等差数列的通项公式及前
n
项和公式， 共涉及五个
量
a
1
，
a
n
，
d
，
n
，
S
n
，知其中三个就能求另外两个，体
现了用方程的思 想解决问题．
2．等差数列前
n
项和公式的应用方法
根据不同的已知条件 选用两个求和公式，如已知首项
和公差，则使用公式
S
n
＝
na1
＋
项公式，则使用公式
S
n
＝
a
1
＋2 015
2
＝1 010，












nn
－1
2
2
.
d
，若已知通




na
1
＋
a
n
考点二:等差数列的判定与证明
( 1)设
a
n
＝(
n
＋1)，
b
n
＝
n
－
n
(
n
∈N)，则下列命题中
不正确的是( )
A．{
a
n
＋1
－
a
n
}是等差数列
B．{
b
n
＋1
－
b
n
}是等差数列
C．{
a
n
－
b
n
}是等差数列
D．{
a
n
＋
b
n
}是等差数列


22*






(2)( 2014·全国卷Ⅰ)已知数列{
a
n
}的前
n
项和为
S< br>n
，

a
1
＝1，
a
n
≠0，a
n
a
n
＋1
＝
λS
n
－1，其中< br>λ
为常数．
①证明：
a
n
＋2
－
a
n
＝
λ
；















环节二：


②是否存在
λ
，使得{
a
n
}为等差数列？并说明理由．
【解析】 (1)对于A，∵
a
n
＝(
n
＋1)，∴
a
n
＋1
－
a
n
＝
(
n
＋2) －(
n
＋1)＝2
n
＋3，设
c
n
＝2
n
＋3，∴
c
n
＋1
－
c
n
＝2.∴{a
n
＋1
－
a
n
}是等差数列．故A正确．对于B，∵
b
n
＝
n
－
n
(
n
∈N)，∴< br>b
n
＋1
－
b
n
＝2
n
，设
c
n
＝2
n
，∴
c
n
＋1
－
c
n
＝2，∴{
b
n
＋1
－
b
n
} 是等差数列．故B正确．
对于C，∵
a
n
＝(
n
＋1)，
b
n
＝
n
－
n
(
n
∈N)，∴< br>a
n
－
b
n
22
22*
2*
22< br>2


































4






＝(
n
＋1)－(
n
－
n
) ＝3
n
＋1，设
c
n
＝
a
n
－
b
n
＝3
n
＋1，
∴
c
n
＋1
－
c
n
＝3，∴{
a
n
－
b
n
} 是等差数列．故C正确．
对于D，
a
n
＋
b
n
＝ 2
n
＋
n
＋1，设
c
n
＝
a
n< br>＋
b
n
，
2







c
n
＋1
－
c
n
不是常数．故D错误．【答案】 D
(2)①证明：由题设知
a
n
a
n
＋1
＝λS
n
－1，
a
n
＋1
a
n
＋2＝
λS
n
＋1
－1，两式相减得
a
n
＋1(
a
n
＋2
－
a
n
)＝
λa
n
＋1
，由于
a
n
＋
1
≠0，所以
an
＋2
－
a
n
＝
λ
.②由题设知
a< br>1
＝1，
a
1
a
2
＝
λS
1
－1，
可得
a
2
＝
λ
－1.由①知，
a
3
＝
λ
＋1，令2
a
2
＝
a
1
＋
a
3
，
解得
λ
＝4.故
a
n
＋2
－
a
n
＝4，由此可得{
a
2
n
－1
}是首项为
1，公差为4的等差数列，
a
2
n
－1
＝4
n
－3；{
a
2
n
}是首项
为3，公差为4的 等差数列，
a
2
n
＝4
n
－1.所以
a
n
＝2
n
－1，
a
n
＋1
－
a
n< br>＝2，因此存在
λ
＝4，使得数列{
a
n
}为
等差数 列．





跟踪训练：(2014·大纲全国卷)数 列{
a
n
}满足
a
1
＝1，
a
2
＝2，
a
n
＋2
＝2
a
n
＋1
－
a
n
＋2.
(1)设
b
n
＝
a
n＋1
－
a
n
，证明{
b
n
}是等差数列；
(2)求{
a
n
}的通项公式．
【解】 (1)证明：由
a
n
＋2
＝2
a
n
＋1
－
a
n< br>＋2得












a
n
＋2
－
a
n
＋1
＝
a
n
＋1
－
a
n
＋2， 即
b
n
＋1
＝
b
n
＋2.
又
b
1
＝
a
2
－
a
1
＝1，所以{
b
n
}是首项为1，公差为2的等
差数列．
(2)由(1)得
bn
＝1＋2(
n
－1)＝2
n
－1，即
a
n< br>＋1
－
a
n
＝2
n
nn
－1.于是
?
(
a
k
＋1
－
a
k
)＝
?
(2
k
－1)，所以
a
n
＋1
－
a
1
k
＝1
k
＝1
＝
n
，即
a
n
＋1
＝
n
＋
a
1
.又
a
1
＝1，所以 {
a
n
}的通项公式
22

为
a
n
＝
n
－2
n
＋2.
归纳：等差数列的四个判定方法
1．定义法：证明对任意正整数
n
都有a
n
＋1
－
a
n
等于同
一个常数．
2．等差中项法：证明对任意正整数
n
都有2
a
n
＋1
＝< br>a
n
＋
a
n
＋2
后，可递推得出
a
n
＋2
－
a
n
＋1
＝
a
n
＋1< br>－
a
n
＝
a
n
－
a
n
－1
＝
a
n
－1
－
a
n
－2
＝…＝< br>a
2
－
a
1
，根据定义得出数列{
a
n}为等
差数列．
3．通项公式法：得出
a
n
＝
pn< br>＋
q
后，得
a
n
＋1
－
a
n
＝
p
对任意正整数
n
恒成立，根据定义判定数列{
a
n< br>}为等
差数列．
4．前
n
项和公式法：得出
S
n< br>＝
An
＋
Bn
后，根据
S
n
，
2< br>2







教师引导学生及
时总结，以帮助学
生形成完整的认
知结构。

























由常见问题
的解决和总结，
使学生形成解题
模块，提高模式
识别能力和解题
效率。




5
a
n
的关系，得出
a
n
，再使用定义法证明数 列{
a
n
}为等
差数列．
考点三: 等差数列性质的应用 (1)(2015·广东高考)在等差数列{
a
n
}中，若
a
3
＋
a
4
＋






















a
5
＋
a
6
＋
a
7
＝25，则
a
2
＋
a< br>8
＝________.
(2)已知等差数列{
a
n
}满足
a
2
＋
a
4
＝4，
a
3
＋
a
5
＝10，则
它的前10项和
S
10
＝_______ _.
(3)设等差数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
，已知前6项和为
36，最后6项的和为180，
S
n
＝ 324(
n
＞6)，求数列{
a
n
}
的项数及
a< br>9
＋
a
10
.
【解析】 (1)因为等差数列{
a
n
}中，
a
3
＋
a
4
＋
a
5
＋
a
6
＋
a
7
＝25，所以5
a5
＝25，即
a
5
＝5.所以
a
2
＋
a
8
＝2
a
5
＝10.
(2)∵
a
2< br>＋
a
4
＝2
a
3
＝4，∴
a
3＝2，又
a
3
＋
a
5
＝2
a
4
＝10，
∴
a
4
＝5，∴
d
＝
a
4－
a
3
＝3，又
a
3
＝
a
1
＋2
d
＝2，∴
a
1
＝
10×9
－4，
S
10
＝10×(－4)＋×3＝95.
2
【答案】 (1)10 (2)95
(3)由题意知
a
1
＋
a
2
＋…＋< br>a
6
＝36，①
a
n
＋
a
n
－1
＋
a
n
－2
＋…＋
a
n
－5
＝1 80，②
①＋②得(
a
1
＋
a
n
)＋(
a
2
＋
a
n
－1
)＋…＋(
a
6
＋
a
n
－5
)＝6(
a
1
＋
a
n
)＝216，∴
a
1
＋
a
n
＝36，又
S
n
＝
na
1
＋
a
n
2
＝324，


引导学生通过对
基础知识的逐点
扫描，来澄清概
念，加 强理解。从
而为后面的练习
奠定基础.











在解题中注意引
导学生自主 分析
和解决问题，教师
及时点拨从而提
高学生的解题能
力和兴趣。






教师引导学生
及时总结，以帮助
学生形成完整的

























教师引导学生及
时总结，以帮助
学生形成完整的
认知结构。
∴18
n
＝324，∴
n
＝18.即
a
1
＋< br>a
18
＝36，从而
a
9
＋
a
10
＝
a
1
＋
a
18
＝36.
跟踪训练：1．在等差 数列{
a
n
}中，3(
a
3
＋
a
5
)＋2(
a
7
＋
a
10
＋
a
13
)＝24，则该数列前13项和是________．
【解析】 3(
a
3
＋
a
5
)＋2(
a
7
＋
a
10
＋
a
13
)＝3×2
a
4
＋
2×3
a10

＝6
a
4
＋6
a
10
＝24， ∴
a
4
＋
a
10
＝4，∴
a
1
＋
a
13
＝4.
S
13
＝
13
a
1
＋
a
13
2
＝26.【答案】 26
2．已知等差数列 {
a
n
}的前
n
项和为
S
n
，且
S
10
＝10，
S
20
＝30，则
S
30
＝________.
【解析】 ∵
S
10
，
S
20－
S
10
，
S
30
－
S
20
成等差数列，且
S
10
＝10，
S
20
＝30，∴
S
20
－
S
10
＝20，∴
S
30
－S
20
＝2×20－
10＝30，∴
S
30
＝60.【 答案】 60
归纳：1．本例中主要使用了等差数列中两项和的性质，
即若
m
＋
n
＝
p
＋
q
＝2
k
，则
a< br>m
＋
a
n
＝
a
p
＋
a
q< br>＝2
a
k
.
2．掌握等差数列的性质，悉心研究每个性质的使用条< br>件及应用方法，认真分析项数、序号、项的值的特征，
这是解题的突破口．
考向4等差数列的前
n
项和
●命题角度1 等差数列前
n
项和的最值
1．(2014·北京高考)若等差数列{
an
}满足
a
7
＋
a
8
＋
a
9
>0，
a
7
＋
a
10
<0，则当
n
＝________时，{
a
n
}的前
n
项
和最大．
【解析】 ∵
a
7
＋
a
8
＋
a
9
＝3
a
8
＞0，∴
a
8
＞0.∵
a
7
＋
a
10
＝
a
8
＋
a
9＜0，∴
a
9
＜－
a
8
＜0.∴数列的前8项和最大，
即
n
＝8.【答案】 8
2．等差数列{
a
n
} 中，设
S
n
为其前
n
项和，且
a
1
＞0，
S
3
＝
S
11
，则当
n
为多少时，
S
n
最大？
3×2
【解】 法一 由
S
3
＝< br>S
11
，得3
a
1
＋
d
＝11
a< br>1
＋
2
引导学
生对所
学的知
识进行
6 d
?
11×102
d
2
?
a
1
d，则
d
＝－
a
1
.从而
S
n
＝
n
＋
?
a
1
－
?
n
＝－
2?
213213
?