1计算公式2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习攻略核心考点·精准研析+8.2 等差数列及其前n项和

核心考点·精准研析
考点一 等差数列的基本运算
< br>1.在等差数列{a
n
}中,a
1
+a
5
=8,a< br>4
=7,则a
5
= ( )
A.11 B.10 C.7 D.3
2.已知{a
n
}是公差为1的等差数列,S
n
为{an
}的前n项和,若S
8
=4S
4
,则
a
10
= ( )
A. B. C.10 D.12
3.(2020·沈阳模拟 )在等差数列{a
n
}中,若S
n
为前n项和,2a
7
=a
8
+5,则
S
11
的值是 ( )
A.55 B.11 C.50 D.60
4.(2019·全国卷Ⅰ)记S
n
为等差数列 {a
n
}的前n项和.已知S
4
=0,a
5
=5,
则 ( )
A.a
n
=2n-5 B.a
n
=3n-10
C.S
n
=2n
2
-8n D.S
n
=n
2
-2n
5.设等差数列{a
n
} 的前n项和为S
n
,若S
m-1
=-2,S
m
=0,Sm+1
=3,则
m=________.
【解析】1.选B.设等差数列{a
n
}的公差为d,则有解得

所以a
5
=-2+4×3=10.



2 .选B.由公差为1得S
8
=8a
1
+
S
8
=4S
4
,所以8a
1
+28
×1=8a
1
+28,S
4
=4a
1
+6.因为
=4(4a
1
+6),解得 a
1
=,所以a
10
=a
1
+9d=+9=.
3 .选A.设等差数列{a
n
}的公差为d,由题意可得2(a
1
+6d)=a
1
+7d+5,
得a
1
+5d=5,则S
11
=1 1a
1
+d=11(a
1
+5d)=11×5=55.
4.选A.设该等差数列{a
n
}的公差为d,由题知,
解得所以a
n
=2n-5.
5.由S
m-1
=-2,S< br>m
=0,S
m+1
=3得a
m
=S
m
-S< br>m-1
=2,a
m+1
=S
m+1
-S
m
= 3,所
以等差数列的公差d=
a
m+1
-a
m
=3-2=1,
由得
解得
答案:5
第3题中若将条件“2a
7
=a
8
+5”改为“ a
9
=a
12
+6”,其他条件
不变,则数列{a
n
}的前11项和S
11
等于________.



【解析】S
11
==11a
6
,
设公差为d,由a
9
=a
12
+6
得a
6
+3d=(a
6
+6d)+6,
解得a
6
=12,所以S
11
=11×12=132.
答案:132
等差数列运算问题的通性方法
1.等差数列运算问题的一般求法是 设出首项a
1
和公差d,然后由通项
公式或前n项和公式转化为方程(组)求解. < br>2.等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a
1
,a
n
, d,n,S
n
,
知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.
【秒杀绝招】
1.应用性质解T1
由等差数列的性质得a
1
+ a
5
=2a
3
=8,所以a
3
=4,故d=a
4< br>-a
3
=3.所以
a
5
=a
4
+d=10.
2.应用变形公式解T3 设等差数列{a
n
}的公差为d,由2a
7
=a
8
+5 ,得2(a
6
+d)=a
6
+2d+5,得a
6
=5,所以S
11
=11a
6
=55.
3.应用排除法解T4 < br>对于B,a
5
=5,S
4
==-10≠0,排除B,对于C,S
4
=0,a
5
=S
5
-S
4
=2×5
2
-8
×5-0=10≠5,排除C.



对于D, S
4
=0,a
5
=S
5
-S
4
=×52
-2×5-0=2.5≠5,排除D,故选A.
考点二 等差数列的判定与证明 < br>【典例】1.(2020·贵阳模拟)已知数列{a
n
}满足a
1
=1 ,且
na
n+1
-(n+1)a
n
=2n
2
+2n .
(1)求a
2
,a
3
;
(2)证明数列
【解题导思】
序号 题目拆解
①a
1
= 1,且na
n+1
-(n+1)a
n
=2n
2
+2n 代入n=1得a
2

(1)
②由a
2
及na
n+ 1
-(n+1)a
n
=2n
2
+2n 代入n=2得a
3

na
n+1
-(n+1)a
n
=2n
2
+2n变形为
是等差数列,并求{a
n
}的通项公式. < br>na
n+1
-(n+1)a
n
=2n(n+1),结合所求结
①na
n+1
-(n+1)a
n
=2n
2
+2n
(2)
论,式子两边同除以n(n+1),证明数列
是等差数列
根据数列
②数列是等差数列
通项公式
【解析】(1)由已知,得a
2
-2a
1
=4,
则a2
=2a
1
+4,又a
1
=1,所以a
2
=6 .
由2a
3
-3a
2
=12,得2a
3
=12+ 3a
2
,所以a
3
=15.
是等差数列写出{a
n
}的



(2)由已 知na
n+1
-(n+1)a
n
=2n
2
+2n,得
即
则
-=2,所以数列
=2,
是首项=1,公差d=2的等差数列.
=1+2(n-1)=2n-1,所以a
n
=2n
2
-n.
2.数列{a
n
}满足a
1
=1,a
n+1
=(n
2
+n-λ)a
n
(n∈N
*
),
(1)当a
2
= -1时,求λ的值及a
3
的值;
(2) 是否存在λ,使数列{a
n
}为等差数列?若存在,求出其通项公式,若
不存在,说明 理由.
【解题导思】
序号 联想解题
(1)
(2)
等差数列的定义判断
【解析】(1)因为a
n+1
=(n
2
+n-λ)a
n
,a
1
=1, a
2
=-1,
所以-1=(2-λ)×1,解得λ=3.
所以a
3
=(2
2
+2-3)×(-1)=-3.
(2)不存在λ,使数列{a
n
}为等差数列,说明如下:
因为a
1
=1,a
n+1
=(n
2
+n-λ)a
n
(n∈ N
*
).
所以,a
2
=2-λ,a
3
=(6-λ)(2-λ),
a
4
=(12-λ)(6-λ)(2-λ),
若存在实数λ,使数列{a
n
}为等差数列.


看到 a
n+1
=(n
2
+n-λ)a
n
,想到数列的递推公式
看到a
n+1
=(n
2
+n-λ)a
n
,结合(1 )想到若数列{a
n
}为等差数列,可求λ,结合

则a
1
+a
3
=2a
2
,即1+(6-λ)(2-λ)=2(2-λ),
解得:λ=3.
此时a
2
=2-λ=2-3=-1,a
3
=(6-λ)(2-λ)=-3,a
4
=(12-λ)(6-λ)(2-λ)=-27, a
2
-a
1
=-1-1=-2,而a
4
-a
3
=-24.
所以,数列{a
n
}不是等差数列,
即不存在λ使数列{a
n
}为等差数列.

1.判断数列{a
n
}是等差数列的常用方法
(1)定义法:对任意n∈N
*
,a
n+1
-a
n
是同一常数.
(2)等差中 项法:对任意n≥2,n∈N
*
,满足2a
n
=a
n+1
+ a
n-1
.
(3)通项公式法:对任意n∈N
*
,都满足a
n
=pn+q(p,q为常数).
(4)前n项和公式法:对任意n∈N
*
,都满足S
n
=An
2
+Bn(A,B为常数).
说明:证明数列{a
n
}是等差数列的最终方法只能用定义法和等差中项
法.
2.证明某数列不是等差数列
若证明某数列不是等差数列,则只要证明存在连续三项不成等差数列
即可.

已知等差数列的前三项依次为a,4,3a,前n项和为S
n
,且S
k
=1 10.
(1)求a及k的值;
(2)已知数列{b
n
}满足b
n
=
项和T
n
.


,证明数列{b
n
}是等差数列,并求其前n


【解析】(1)设该等差数列为{a
n
},
则a
1
=a,a
2
=4,a
3
=3a,
由已知有a+3a=8,得a
1
=a=2,公差d=4-2=2,
所以S< br>k
=ka
1
+·d=2k+×2=k
2
+k.
由S
k
=110,得k
2
+k-110=0,
解得k=10或k=-11(舍去),
故a=2,k=10.
(2)由(1)得S
n
=n(n+1),
则b
n
==n+1,
故b
n+1
-b
n
=(n+2)-(n+1)=1,
即数列{b
n
}是首项为2,公差为1的等差数列,
所以b
n
=n+1,
所以T
n
==.
考点三 等差数列性质及其应用
命
考什么:(1)等差数列性质.(2)等差数列前n项和的最值
题
怎么考:等差数列性质作为考查等差数列运算知识的最佳载体,因其考查
精
知识点较多成为高考命题的热点
解
新趋势:解题过程中常常渗透数学运算的核心素养.
读
学 1.等差数列常用性质和结论的运用



霸
好
方
法
2.求等差数列前n项和S
n
最值的两种方法
(1)函数法
(2)通项变号法
3.交汇问题
数列与不等式结合考查分类讨论思想、数列与函数结合考查数形结合思想
与等差数列项的性质有关的运算
【典例】1.(2020·武汉模拟)在等差数列{a
n
}中,前n项和S
n
满足
S
7
-S
2
=45,则a
5
= ( )
A.7 B.9 C.14 D.18
【解 析】选B.因为在等差数列{a
n
}中,S
7
-S
2
=45 ,
所以a
3
+a
4
+a
5
+a
6
+a
7
=5a
5
=45,
所以a
5
=9.
【一题多解】选B.设等差数列{a
n
}的公差为d,
因为在等差数列{a
n
}中,S
7
-S
2
=45,
所以7a
1
+d-(2a
1
+d)=45,
整理得a
1
+4d=9,
所以a
5
=9,故选B. 2.(2020·太原模拟)在等差数列{a
n
}中,2(a
1
+a3
+a
5
)+3(a
8
+a
10
)=36,则
a
6
= ( )
A.8 B.6 C.4 D.3
【解析】选 D.由等差数列的性质可知2(a
1
+a
3
+a
5
)+3( a
8
+a
10
)=2×3a
3
+3



×2a
9
=6×2a
6
=36,得a
6
=3.

在等差数列中涉及两项和时,应用哪些性质能够帮助我们快速解题?
提示:在等差 数列中涉及两项和时,一定要注意其项数和的关系,如果
和相等,则两项的和也对应相等.
等差数列和的性质
【典例】1.一个正项等差数列前n项的和为3,前3n项的和为21,则
前2n项的和为 ( )
A.18 B.12 C.10 D.6
【解析】选C.设此数列为{a
n
},因为{a
n
}是等差数列,所以
S
n
,
S< br>n
=3,
-
-S
n
,-成等差数列,即2(
-3)= 3+21
-S
n
)=S
n
+(-),因为
=21,所以2 (
=10. ,解得
2.等差数列{a
n
},{b
n
}的前 n项和分别为S
n
,T
n
,若
=________.
=,则
【解析】由=====.则
===



=.
答案:

在等差数列中S
n
,S
2n
-S
n
,S
3n
-S
2n
,…成等差数列吗?
提示:在等差 数列中S
n
,S
2n
-S
n
,S
3n
-S
2n
,…仍成等差数列.
等差数列和的最值问题
【典例】等差数列{a< br>n
}中,a
1
>0,S
5
=S
12
,则当S
n
有最大值时,n的值为
________.
【解析】设等差数列{a
n
}的公差为d,由S
5
=S
12
得5a
1
+10d=12a
1
+66d,所
以d=-a
1
<0.设此数列的 前n项和最大,则
即解得
即8≤n≤9,
又n∈N
*
,
所以当n=8或n=9时,S
n
有最大值.
答案:8或9
【一 题多解】方法一:由S
5
=S
12
,得a
6
+a
7
+a
8
+a
9
+a
10
+a
11
+a
12
=0,
即7a
9
=0,a
9
=0,由a< br>1
>0可知d<0,故当n=8或n=9时S
n
最大.
方法二:由S
5
=S
12
,可得a
1
=-8d,所以



S
n
=-8dn+d=-d,由n∈N
*
并 结合S
n
对应的二次函
数的图象知,当n=8或n=9时S
n
最大.
答案:8或9

在涉及等差数列前n项和的问题时,你能总结出求该数列的前n项和
S
n
的最大(小)值的方法吗?
提示:求等差数列前n项和的最值的方法
(1)二次函数法:用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n项和的最
值,但要注意n∈N
*
.
(2)图象法:利用二次函数图象的对称性来确定n的值,使S
n
取得最值.
(3)项的符号法:当a
1
>0,d<0时,满足
最大值;当a
1
<0,d>0时,满足


1.(2020·济南模拟)等差数列{a
n}的前n项和为S
n
,若
a
1
+a
3
+a5
+a
7
+a
9
=20,则S
9
= ( )
A.27 B.36 C.45 D.54
【解析】选B.依题意a
1
+a
3
+a
5
+a
7
+a
9
=5a
5
=20,a
5
=4,
所以S
9
=×9=9a
5
=36.
的项数n使得S
n
取得
的项数n使得S
n
取得最小值. < br>2.设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且a
1
>0,a
3
+a
10
>0,a
6
a
7
<0 ,则满足



S
n
>0的最大自然数n的值为 ( )
A.6 B.7 C.12 D.13
【解析】选C.因为等差数列{a
n}中a
1
>0,a
6
a
7
<0,
所以a6
>0,a
7
<0,等差数列的公差小于零,又
a
3
+ a
10
=a
1
+a
12
>0,a
1
+a< br>13
=2a
7
<0,所以S
12
>0,S
13
<0,
所以满足S
n
>0的最大自然数n的值为12.
【变式备选】
设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,若S
6>S
7
>S
5
,则满足S
n
S
n+1
<0的
正整数n的值为 ( )
A.10 B.11 C.12 D.13
【解析】选C.由S
6
>S
7
>S
5
,得S
7
=S
6
+a
7
6
,S
7
=S
5
+a
6
+a
7
>S
5
,所以
a
7
<0,a
6
+a
7
>0,
所以S
13
=
S
12
S
13
<0,
即满足S
n
S
n+1
<0的正整数n的值为12.
3.( 2020·长沙模拟)等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,已知S
3
=12,S
6
=51,
则S
9
的值等于 ( )
A.66 B.90 C.117 D.127
【解析】选C.等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,
由 题意可得S
3
,S
6
-S
3
,S
9
-S< br>6
成等差数列,
故2(S
6
-S
3
)=S
3
+(S
9
-S
6
),


=13a
7
<0,S
12
==6(a
6
+a
7
)> 0,所以

代入数据可得2×(51-12)=12+(S
9
-51),
解得S
9
=117.

1.在等差数列{a
n
} 中,已知a
3
+a
8
=10,则3a
5
+a
7= ( )
A.10 B.18 C.20 D.28
【解析】选C.因为a
3
+a
8
=10,所以由等差数列的性质,得a
5
+a6
=a
3
+a
8
=10,
所以3a
5
+a
7
=2a
5
+2a
6
=20.
2.设等差数 列{a
n
}的前n项和为S
n
,a
1
<0且=,则当Sn
取最小值时,n
的值为 ( )
A.11 B.10 C.9 D.8
【解析】选D.设等差数列{a
n
}的公差为d,
因为a
1
<0,=,所以a
1
=-d,d>0,
所以S
n
=na
1
+d=d,
对应图象的对称轴为n=, 整数中8距对称轴最近,所以当S
n
取最小
值时,n=8.
3.等差数列{ a
n
}与{b
n
}的前n项和分别为S
n
和T
n< br>,若=
( )
A. B. C. D.
,则=



【解析】选A.======.

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