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第1课时 等差数列的前n项和
课后篇巩固探究
A组
1
.设
S
n
是等差数列{
a
n
}的前
n
项 和,已知
a
2
=
3,
a
6
=
11,则S
7
等于(
)
A.13 B.35 C.49 D.63
解析:
S
7
==
49
.
答案:C 2
.
设
S
n
是等差数列{
a
n
}的前
n
项和,
S
5
=
10,则
a
3
的 值为 (
)
A. B.1 C.2 D.3
解析:
∵S
5
==
5
a
3
,
∴ a
3
=S
5
=×
10
=
2
.
答案:C
3
.
已知数列{
a
n
}的通项公式为< br>a
n
=
2
n-
37,则
S
n
取最小 值时
n
的值为(
)
A.17 B.18 C.19 D.20
解析:由≤
n
≤
.
∵n
∈N
+
,
∴n=
18
.∴S
18
最小,此时
n=
18.
答案:B
4
.
等差数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
(
n=
1,2,3,…),若 当首项
a
1
和公差
d
变化时,
a
5
+a< br>8
+a
11
是一个定值,则下列
选项中为定值的是(
)
A.
S
17
B.
S
18
C.
S
15
D.
S
14
解析:由
a< br>5
+a
8
+a
11
=
3
a
8
是定值,可知
a
8
是定值,所以
S
15
=
答案: C
5
.
若两个等差数列{
a
n
},{
b
n
}的前
n
项和分别为
A
n
与
B
n
,且满足(
n
∈N
+
),则的值是(
)
=
15
a
8
是定值
.
A. B. C. D.
解析:因为,
所以
.
答案:C
6
.< br>已知{
a
n
}是等差数列,
S
n
为其前
n< br>项和,
n
∈N
+
.
若
a
3
=
16,
S
20
=
20,则
S
10
的值为
.
解析:设等差数列{
a
n
}的首项为
a
1< br>,公差为
d.
∵a
3
=a
1
+
2
d=
16,
S
20
=
20
a
1
+
∴
d=
20,
解得
d=-
2,
a
1
=
20,
∴S
10
=
10
a
1
+
答案:110
d=
200
-
90
=
110
.
7
.
在等差数列{
a
n
}中,前
n
项和为
S
n
,若
a
9
=
3
a
5
,则解析:
S
17
=
17
a
9
,
S
9
=
9
a
5
,
于是
= .
×
3
=.
答案:
8
.
已知某等差数列 共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差等于
.
解析:设公差为
d
,则有5
d=S
偶
-S
奇
=< br>30
-
15
=
15,于是
d=
3
.
答案:3
9
.
若等差数列{
a
n
}的公差
d<
0,且
a
2
·
a
4
=
12,
a
2
+a
4
=
8
.
(1)求数列{< br>a
n
}的首项
a
1
和公差
d
;
( 2)求数列{
a
n
}的前10项和
S
10
的值
.< br>
解(1)由题意知(
a
1
+d
)(
a
1< br>+
3
d
)
=
12,(
a
1
+d)
+
(
a
1
+
3
d
)
=8,且
d<
0,解得
a
1
=
8,
d=-
2
.
(2)
S
10
=
10
×a
1
+d=-
10
.
10
.
导学号331940 10已知数列{
a
n
}是首项为23,公差为整数的等差数列,且前6项均为正,从第7项开始变为负
.
求:(1)此等差数列的公差
d
; < br>(2)设前
n
项和为
S
n
,求
S
n
的最大值;
(3)当
S
n
是正数时,求
n
的最大值
.
解(1)
∵
数列{
a
n
}首项为23,前6项均为正,从第 7项开始变为负,
∴a
6
=a
1
+
5
d=
23
+
5
d>
0,
a
7
=a
1
+
6
d=
23
+
6
d<
0,解得
-
d
∈Z,
∴d=-
4
.
(2)< br>∵d<
0,
∴
{
a
n
}是递减数列
.
又
a
6
>
0,
a
7
<
0,< br>∴
当
n=
6时,
S
n
取得最大值,
即S
6
=
6
×
23
+×
(
-
4 )
=
78
.
(3)
S
n
=
23
n+×
(
-
4)
>
0,整理得
n
(25< br>-
2
n
)
>
0,
∴
0
n
∈N
+
,
∴n
的最大值为12
.
B组
1
.
设数列{
a
n
}为等差数列,公差d=-
2,
S
n
为其前
n
项和,若
S
10
=S
11
,则
a
1
=
(
)
A.18 B.20 C.22 D.24
解析:因为
S
11
-S
10
=a
11
=
0,
a
11
=a
1
+
10
d=a
1
+
10
×
(
-
2)
=
0,所以
a
1
=
20
.
答案:B
2
.
(2017全国1高考)记
S
n
为等差数列{
a
n
}的前
n
项和
.
若< br>a
4
+a
5
=
24,
S
6
=
48,则{
a
n
}的公差为(
)
A
.
1 B
.
2 C
.
4 D
.
8
解析:设首项为
a
1
,公差为
d
,则
a
4
+a
5
=a
1
+
3
d+ a
1
+
4
d=
24,
S
6
=
6< br>a
1
+d=
48,联立可得
①×
3
-
②,得(21
-
15)
d=
24,即6
d=
24,所以< br>d=
4
.
答案:C
3
.
等差数列{a
n
}的前
n
项和记为
S
n
,若
a< br>2
+a
4
+a
15
的值为一个确定的常数,则下列各数中也是 常数的是(
)
A.
S
7
B.
S
8
C.
S
13
D.
S
15
解析:
∵a
2
+a
4
+a
15
=
3
a
1
+
18
d=
3(
a
1
+
6
d
)
=
3
a
7
为常数,
∴S
13
=
答案:C
4
.
前11项和为
A.
-
45
解析:
∵S
n
=
=
13
a
7
为常数
.
导学号33194011若等差数列{
a
n
}的通项公式是
a
n
=
1
-
2
n
,其前
n
项和为
S
n
,则数列
(
)
B.
-
50
,
∴
C.
-
55 D.
-
66
的
=-n
,
∴
的前11项和为
-
(1
+
2
+
3
+
…
+
11)
=-
66< br>.
故选D
.
答案:D
5
.
已知等差数列 {
a
n
}前9项的和等于前4项的和
.
若
a
1=
1,
a
k
+a
4
=
0,则
k= .
解析:设等差数列{
a
n
}的公差为
d
,则
a
n
=
1
+
(
n-
1)
d
,
∵S
4
=S
9
,
∴a
5
+a
6
+a
7
+a
8
+a
9
=
0
.
∴a
7
=
0,
∴
1
+
6
d=
0,
d=-.
又
a
4
=
1
+
3
×
,
a
k
=
1
+
(
k-
1)
d
,
由
a
k
+a
4
=
0,得
+
1
+
(
k-
1)
d=
0,将
d=-
代入,可得
k=
10
.
答案:10
6
.
已知数列{
a
n
}为等差数列,其前
n
项和为
S
n
,且1
+
为
.
解析:因为
S
n
有最大值,所以数列{
a
n
}单调递减, 又
<
0
.
若
S
n
存在最大值,则满足
S< br>n
>
0的
n
的最大值
<-
1,所以
a
10
>
0,
a
11
<
0,且
a
10+a
11
<
0
.
所以
S
19
=
19
×=
19
a
10
>
0,
S
20
=
20
×=
10(
a
10
+a
11
)
<
0,
故满足
S
n
>
0的
n
的最大值为19
.
答案:19
7
.
导学号33 194012在等差数列{
a
n
}中,
a
1
=-
6 0,
a
17
=-
12,求数列{
|a
n
|
}的前
n
项和
.
解数列{
a
n
}的公差
d==
3,
∴a
n
=a
1
+
(
n-
1)
d=-
60
+
(
n-
1)
×
3
=
3
n-
6 3
.
由
a
n
<
0得3
n-
63
<
0,
解得
n<
21
.
∴
数列{
a
n
}的前20项是负数,第20项以后的项都为非负数
.
设
S
n
,
S
n
'
分别表示数列{
a
n
}和{
|a
n
|
}的前
n
项和,
当
n
≤20时,
S
n
'=-S
n
=-=-n
2
+n;
n
2
-
当
n>
20时,
S
n'=-S
20
+
(
S
n
-S
20
)< br>=S
n
-
2
S
20
=-
60
n+×
3
-
2
×n+
1 260
.
∴
数列{
|a
n
|
}的前
n
项和
S
n
'=
8
.
导学号33194013设等差数 列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
,且
a
5
+a
13
=
34,
S
3
=
9
.
(1)求数列{
a
n
}的通项公式及前
n
项和公式; (2)设数列{
b
n
}的通项公式为
b
n
=
, 问:是否存在正整数
t
,使得
b
1
,
b
2
,
b
m
(
m
≥3,
m
∈N)成等差数列?若存在,
求出
t
和
m
的值;若不存在,请说明理由
.
解(1)设等差数列{
a
n
}的公差为
d
,
因为
a
5
+a
13
=
34,
S
3
=< br>9,
所以
整理得解得
所以
a
n
=
1< br>+
(
n-
1)
×
2
=
2
n-
1,
S
n
=n×
1
+×
2
=n
2.
, (2)由(1)知
b
n
=
所以
b1
=
,
b
2
=
,
b
m
=.< br>
若
b
1
,
b
2
,
b
m< br>(
m
≥3,
m
∈N)成等差数列,
则2
b
2
=b
1
+b
m
,
所以,
即6(1
+t
)(2
m-
1
+t
)
=
(3
+t
)(2
m-
1
+t
)
+
(2
m-
1)(1
+t
)(3
+t
), 2
整理得(
m-
3)
t-
(
m+
1)
t=
0,
因为
t
是正整数,所以(
m-
3)
t-
(
m+
1)
=
0,
m=
3时显然不成立,所以t=
又因为
m
≥3,
m
∈N,
所以
m=
4或5或7,
当
m=
4时,
t=
5;
当
m=
5时,
t=
3;
当
m=
7时,
t=
2
.
所以存在正整数
t
,使得
b
1
,
b
2
,
b
m
(
m
≥3,
m
∈N)成等差数列
.
=
1
+.
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