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列组合公式全)




排(
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排列组合公式


排列定义 从n 个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称
为从n个中取r个的无重排列。排列的全体组成 的集合用 P(n,r)表示。排列的
个数用P(n,r)表示。当r=n时称为全排列。一般不说可重 即无重。可重排列的
相应记号为 P(n,r),P(n,r)。
组合定义 从n个不同元素 中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元
素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。
组合的全体组成的集合用C(n,r)表示，组合的个数用C(n,r)表示，对应于可重
组合
有记号C(n,r),C(n,r)。
一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于

(1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象
思维能力；
(2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关
联词和量词)准确理解；
(3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的
思维量较大；
(4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、
原理，并具有 较强的分析能力。
二、两个基本计数原理及应用
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(1)加法原理和分类计数法

1．加法原理

2．加法原理的集合形式

3．分类的要求

每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体
方法， 互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即
分类不漏)

(2)乘法原理和分步计数法

1．乘法原理

2．合理分步的要求

任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这 n步才能
完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的
完成此事 的方法也不同
例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数
集合A为数字不重复的九位数的集合，S（A）=9！
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集合B为数字不重复的六位数的集合。
把集合A分为子集 的集合，规则为前6位数相同的元素构成一个子集。显然各
子集没有共同元素。每个子集元素的个数，等 于剩余的3个数的全排列，即
3！
这时集合B的元素与A的子集存在一一对应关系，则
S（A）=S（B）*3！
S（B）=9！3！
这就是我们用以前的方法求出的P（9，6）

例2：从编号为1-9的队员中选6人组成一个队，问有多少种选法？
设不同选法构成的集 合为C，集合B为数字不重复的六位数的集合。把集合B
分为子集的集合，规则为全部由相同数字组成的 数组成一个子集，则每个子集
都是某6个数的全排列，即每个子集有6！个元素。这时集合C的元素与B 的
子集存在一一对应关系，则
S（B）=S（C）*6！
S（C）=9！3！6！
这就是我们用以前的方法求出的C（9，6）
以上都是简单的例子，似乎不用弄得这么复杂。但是集合的观念才是排列组合
公式的来源，也是对公 式更深刻的认识。大家可能没有意识到，在我们平时数
物品的数 量时，说1，2，3，4，5，一共有 5个，这时我们就是在把物品的集
合与集合（1，2，3，4，5）建立一一对应的关系，正是因为物品 数量与集合
（1， 2，3，4，5）的元素个数相等，所以我们才说物品共有5个。我写这篇
文章的目的是把这些潜在的思路变得清晰，从而能用它解决更复杂的问题。

例3：9个人坐成一圈，问不同坐法有多少种？
9个人排成一排，不同排法有9！种，对应集合为前面的集合A
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9个人坐成一圈的不同之处在于，没有起点和终点之分。设集合D为坐 成一圈
的坐法的集合。以任何人为起点，把圈展开成直线，在集合A中都对应不同元
素，但在集 合D中相当于同一种坐法，所以集合D中每个元素对应集合A中9
个元素，所以S（D）=9！9

我在另一篇帖子中说的方法是先固定一个人，再排其他人，结果为8！。这个
方法实 际上是找到了一种集合A与集合D之间的对应关系。用集合的思路解决
问题的关键就是寻找集合之间的对 应关系，使一个集合的子集与另一个集合的
元素形成一一对应的关系。

例4：用 1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的九位数，但要求1排
在2前面，求符合要求的九 位数的个数。
集合A为9个数的全排列，把集合A分为两个集合B、C，集合B中1排在2前
面，集合C中1排在2后面。则S（B）+S（C）=S（A）
在集合B、C之间建立以下对应关 系：集合B中任一元素1和2位置对调形成的
数字，对应集合C中相同数字。则这个对应关系为一一对应 。因此S（B）=S
（C）=9！2

以同样的思路可解出下题：
从 1、2、3…，9这九个数中选出3个不同的数作为函数y=ax*x+bx+c的系数，
且要求a>b >c，问这样的函数共有多少个？

例5：M个球装入N个盒子的不同装法，盒子按顺序排列。
这题我们已经讨论过了，我再用更形象的方法说说。
假设我们把M个球用细线连成一排，再 用N-1把刀去砍断细线，就可以把M个
球按顺序分为N组。则M个球装入N个盒子的每一种装法都对应 一种砍线的方
法。而 砍线的方法等于M个球与N-1把刀的排列方式（如两把刀排在一起，就
表示相应的盒子里球数为0）。所以方法总数为C（M+N-1，N-1）

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例6：7人坐成一排照像, 其中甲、乙、丙三人的顺序不能改变且不相邻, 则共
有________排法.
解：甲、 乙、丙三人把其他四人分为四部分，设四部分人数分别为X1，X2，
X3，X4，其中X1，X4》= 0，X2，X3》0
先把其余4人看作一样，则不同排法为方程
X1+X2+X3+X4=4的解的个数，令X2=Y2+1，X3=Y3+1
化为求X1 +Y2+Y3+X4=2的非负整数解的个数，这与把2个球装入4个盒子的方
法一一对应，个数为C（ 5，3）=10
由于其余四人是不同的人，所以以上每种排法都对应4个人的全排列4！，所
以不同排法共有C（5，3）*4！=240种。

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