中央美术学院分数线-十英语
排列定义 从n个不同的元素中,取r个不重复的元素,按次
序排列,称为从 n个中取r个的无重排列。排列的全体组成的集合用
P(n,r)表示。排列的个数用P(n,r)表 示。当r=n时称为全排列。一
般不说可重即无重。可重排列的相应记号为 P(n,r),P(n,r)。
组合定义 从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集,而< br>不考虑其元素的顺序,称为从n个中取r个的无重组合。
组合的全体组成的集合用C(n,r)表示,组合的个数用C(n,r)表示,
对应于可重组合
有记号C(n,r),C(n,r)。
一、排列组合部分是中学数学中的难点之一,原因在于
(1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型,需要
较强的抽象思维能力;
(2)限制条件有时比较隐晦,需要我们对问题中的关键性词(特别
是逻辑关联词和量词)准确理解;
(3)计算手段简单,与旧知识联系少,但选择正确合理的计算方
案时需要的思维量较大;
(4)计算方案是否正确,往往不可用直观方法来检验,要求我们
搞清概念、原理,并具有 较强的分析能力。
二、两个基本计数原理及应用
(1)加法原理和分类计数法
1.加法原理
2.加法原理的集合形式
3.分类的要求
每一类中的每 一种方法都可以独立地完成此任务;两类不同办法
中的具体方法,互不相同(即分类不重);完成此任务 的任何一种方法,
都属于某一类(即分类不漏)
(2)乘法原理和分步计数法
1.乘法原理
2.合理分步的要求
任何一步的一种方法都不能完成此任务,必须且只须连续完成这
n步才能完成此任务;各步计数相互独立;只要有一步中所采取的方
法不同,则对应的完成此事 的方法也不同
例1:用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数
集合A为数字不重复的九位数的集合,S(A)=9!
集合B为数字不重复的六位数的集合。
把集合A分为子集的集合,规则为前6位数相同的元 素构成一个子集。
显然各子集没有共同元素。每个子集元素的个数,等于剩余的3个数
的全排列 ,即3!
这时集合B的元素与A的子集存在一一对应关系,则
S(A)=S(B)*3!
S(B)=9!3!
这就是我们用以前的方法求出的P(9,6)
例2:从编号为1-9的队员中选6人组成一个队,问有多少种选法?
设不同选法构成的集 合为C,集合B为数字不重复的六位数的集合。
把集合B分为子集的集合,规则为全部由相同数字组成的 数组成一个
子集,则每个子集都是某6个数的全排列,即每个子集有6!个元素。
这时集合C的 元素与B的子集存在一一对应关系,则
S(B)=S(C)*6!
S(C)=9!3!6!
这就是我们用以前的方法求出的C(9,6)
以上都是简单的例子,似乎不用弄得这么复杂。但是集合的观念才是
排列组合公式的来源,也是对公 式更深刻的认识。大家可能没有意识
到,在我们平时数物品的数 量时,说1,2,3,4,5,一共有 5个,
这时我们就是在把物品的集合与集合(1,2,3,4,5)建立一一对
应的关系,正是 因为物品数量与集合(1, 2,3,4,5)的元素个数
相等,所以我们才说物品共有5个。我写这篇 文章的目的是把这些潜
在的思路变得清晰,从而能用它解决更复杂的问题。
例3:9个人坐成一圈,问不同坐法有多少种?
9个人排成一排,不同排法有9!种,对应集合为前面的集合A
9个人坐成一圈的不同之处 在于,没有起点和终点之分。设集合D为
坐成一圈的坐法的集合。以任何人为起点,把圈展开成直线,在 集合
A中都对应不同元素,但在集合D中相当于同一种坐法,所以集合D
中每个元素对应集合A 中9个元素,所以S(D)=9!9
我在另一篇帖子中说的方法是先固定一个人,再排其 他人,结果为8!。
这个方法实际上是找到了一种集合A与集合D之间的对应关系。用集
合的思 路解决问题的关键就是寻找集合之间的对应关系,使一个集合
的子集与另一个集合的元素形成一一对应的 关系。
例4:用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的九位数,但要求1排在2前面,求符合要求的九位数的个数。
集合A为9个数的全排列,把集合A分为两个 集合B、C,集合B中1
排在2前面,集合C中1排在2后面。则S(B)+S(C)=S(A) < br>在集合B、C之间建立以下对应关系:集合B中任一元素1和2位置
对调形成的数字,对应集合C 中相同数字。则这个对应关系为一一对
应。因此S(B)=S(C)=9!2
以同样的思路可解出下题:
从1、2、3…,9这九个数中选出3个不同的数作为函数y= ax*x+bx+c
的系数,且要求a>b>c,问这样的函数共有多少个?
例5:M个球装入N个盒子的不同装法,盒子按顺序排列。
这题我们已经讨论过了,我再用更形象的方法说说。
假设我们把M个球用细线连成一排,再 用N-1把刀去砍断细线,就可
以把M个球按顺序分为N组。则M个球装入N个盒子的每一种装法都对应一种砍线的方法。而 砍线的方法等于M个球与N-1把刀的排列
方式(如两把刀排在一起,就 表示相应的盒子里球数为0)。所以方
法总数为C(M+N-1,N-1)
例6:7人坐成一排照像, 其中甲、乙、丙三人的顺序不能改变且不
相邻, 则共有________排法.
解:甲、乙、丙三人把其他四人分为四部分,设四部分人数分别为< br>X1,X2,X3,X4,其中X1,X4》=0,X2,X3》0
先把其余4人看作一样,则不同排法为方程
X1+X2+X3+X4=4的解的个数,令X2=Y2+1,X3=Y3+1
化为求X1 +Y2+Y3+X4=2的非负整数解的个数,这与把2个球装入4个
盒子的方法一一对应,个数为C( 5,3)=10
由于其余四人是不同的人,所以以上每种排法都对应4个人的全排列
4!, 所以不同排法共有C(5,3)*4!=240种。
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本文更新与2020-09-10 08:34,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/391214.html
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