魔方公式最后一步排列组合公式推导知识讲解

排列组合公式推导
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1公吨=1t=1000kg
密度单位gcm
3
Proe密度单位 公吨mm
3
1公吨mm
3
=1000kg(cm
3
×10
-3
)=10
9
gcm
3

1gcm
3
=10
-9
公吨mm
3
排列和组合基本公式的推导，定义
在本节中，笔者将介绍「排列」(Permutation )和「组合」(Combination)的基
本概念和两个基本公式。请注意 「点算组合学」中的很 多概念都可以从不同
角度解释为日常生活中的不同事例，因此笔者亦会引导读者从不同 角度理解
「排列」和「组合」的意义。

先从「排列」开始。
「排列」< br>的最直观意义，就是给定n个「可区别」
(Distinguishable，亦作「相 异」) 的物件，现把这n个物件的全部或部分排
次序，「排列」问题就是求不同排列方式的总数。为了区别这些 物件，我们
可不妨给每个物件一个编号：1、2 ... n，因此「排列」问题实际等同於求
把数字1、2 ... n的全 部或部分排次序的方式总数。「排 列」问题可分为
「全排列」和「部分排列」两种，当我们把给定的n个数字1 、2 ... n全部排次序，求有多少种排法时，就是
「全排列」
问题。我们可以把排序过程分
解为 n个程 序：第一个程序决定排於第一位的数字，第二个程序决定排於第
二位的数字...第n个程序决 定排於第n位的数字 。在进行第一个程序时，有
n个数字可供选择，因此有n种选法。在进行第二个程 序时，由於在前一程序
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已选定 了一个数字，现在可供选择的数字只剩下n-1个，因此有n-1种选
法。在进行第三个程序时， 由於在前一程序已选定了一个数字，现在可供选
择的数字只剩下n-2个，因此有n-2种选法。 如是 者直至第n个程序，这时
可供选择的数字只剩下1个，因此只有1种选择。由於以上各程序是「各自独< br>立」的 ，我们可以运用「乘法原理」求得答案为n×(n-1)×(n-
2)×... 2×1。在数学上把上式简记为n!，读作「n阶乘」(n-
factorial)。

例题1
：把1至3这3个数字进行「全排列」，共有多少种排法？试列出所有
排法。

答1
：共有3! = 3 × 2 × 1 = 6种排法，这6种排法为1-2-3；1-
3-2；2-1-3；2-3-1； 3-1-2；3-2-1。

当然，给定n个数字，我们不一定非要把全部n个数字排序不 可，我们也可只
抽取部分数字(例如r个，r < n)来 排序，并求有多少种排法，这样的问题就是
「部分排列」
问题。我们可以把「部分排列」问题理解成 抽东西的问
题。设在某袋中有n个球，每个球都标了编号1、2 ... n。现从袋中抽r个
球出来(抽出来之后不得再 放回袋中)，并把球上的数字按被抽出来的顺序记下，这r个数字的序列实际便等同於一个排序。「部分排列」 问题的解答跟
「全排列」问题非常相 似，只不过现在我们是把排序过程分解为r个而非n个
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步骤。进行第一个程 序时，有n个数字可供选择，因此有n种选 法。在进行
第二个程序时，由於在前一程序已选定了一个数字，现在 可供选择的数字只
剩下n -1个，因此有n-1种选法。在进行第三个程序时，由於在前一程序
已 选定了一个数字，现在可供选择的数字只剩下n-2个，因此有n-2种选
法。如是者直至第r个程 序，这时可供选择的数字只剩下n-r+1个，因此只
有n-r+1种选择。最后，运用「乘法原 理」求得答案为n×(n-1)×(n-
2)×...(n-r+1)。

我们可以把上式改写为更简的形式n! (n-r)!，为甚麼可以这样改写？这
要用到n!的定义和乘法的结 合律。举一个简单的例子，由於
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5 × (4 × 3 × 2 ×
1) = 5 × 4!。同样由於
5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5 × 4 × (3 × 2 × 1)，我
们又可得5! = 5 × 4 × 3!。抽象地看，我们 可以把n!改写为
n×(n-1)!，也可以改写为n×(n-1)×(n-2 )!照此类推，我们可以把n!改写为
n×(n-1)×(n-2)×...(n-r+1)×(n-r )!。由此得n! (n-
r)! = n ×(n-1)×(n-2)×...(n-r+1)。在「点算组合学」上，一般把上述
「部分排列」的 解记为P(n, r)。至此我们求得「排列」问题的一条基本公
式：
P(n, r) = n!(n-r)!
例题2
：从1至4这4个数字中抽2个出来排序，共有多少种排法？试列出所
有排法。
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答2
：共有
P(4, 2) = 4! 2! = (4 × 3 × 2!) 2! = 4 × 3 =
12种排法。这 12种排法是1-2；1-3；1-4；2-1；2-3 ；2-4；3-1；3-2；
3-4；4-1；4-2；4-3。

请注意只要我们定义0! = 1 (注1)，那麼上述公式便也适用於「全排列」
的情况。「全排列」其实就是r = n的 情况，因此如果把r = n代入以
上公式，便得P(n, n) = n!(n-
n)! = n! 0! = n! 1 = n!，正 与前面讨论的结果吻合。

接下来笔者介 绍
「组合」
问题。设在某袋中有n个球，每个球都标了编号1、
2 ... n。现从袋中抽r个 球出来(抽出来之后不得再放回袋中)，并把球上
的数字记下，但无须理会球被抽 出的先后次序。由此可见，「 组合」问题与
「排列」问题的主要区别是，前者只关心被抽出来的包含哪 些数字，而不管这
些数字的顺序；而 后者则既关心被抽出来的包含哪些数字，也关心这些数字
的顺序。

惟请注意，「 排列」和「组合」虽然是两种很不相同的问题，但两者却并非绝
然对立，而是有著非常密切的联 系。日 常生活中很多点算问题往往同时包含
著「排列」和「组合」的因素，如能了解其中奥妙，很多点算问题 便容易解
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决 。事实上，我们正可利用「排列」和「组合」的这种微妙关系找出「组合」
问题的公式。我们把从n 个球中抽r个出来的组合数记为C(n, r)。以下我
们利用「排列」和「组合」之间的关系以及「排列」的公式来 推导出
C(n, r)的公式。

前面提过，「部分排列」问题可以理解成从n个标了编号的球中抽r个出来 ，
并把球上的数字按被抽出来的顺序 记下。其实我们可以把上述过程分解为两
个程序，第一个 程序就是从n个球中抽r个出来，先不理会它们被抽出 来的
顺序，此即前面所定义的「组合」问题。第 二个程序则是把这r个被抽出来的
球全部排次序，并求有多少种 排法，此即前面介绍过的「全排列」问 题。换
句话说，我们可以把「部分排列」问题分解为一个「组合」问题 和一个「全
排列」问题 (由此可见「排列」和「组合」并非绝然对立)。由於上述两个程序
是「各自独立」的， 根据「乘法原 理」，「部分排列」问题的解应等於「组
合」问题的解乘以「全排列」问题的解，即
P(n, r) = C(n, r) × r!，由此得C(n, r) = P(n, r) r!。
代入前面P(n, r)的公式，应得
C(n, r) = n!((n-r)!×r!)
正如前面的「排列」公式适用於「全排列」的情况，上述「组合」公式 也适用
於「全组合」的情况，即求 C(n, n)的问题。根据上述公式，
C(n, n) = n!((n-n)! × r!) = n! (0! × r!) = 1。这一
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结果是完全合理的，因为从n个球中抽取所有n个出来，当然只有1种方
法。
< br>例题3
：从1至4这4个数字中抽2个出来(不考虑次序)，共有多少种组合？
试列出所 有组合。

答3
：共有
C(4, 2) = 4! (2! × 2!) = (4 × 3 × 2!) (2! ×
2!) = (4 × 3) 2 = 6 种组合。这6种组合是1,2；1,3；1,4；
2,3；2,4；3,4。请注意如果我们把上述6种 组合 的每一种排序，由於每一组
合均包含两个数字，所以每一组合各有两种排序方式(例如从1,2可 得到1-2和
2-1两 种排序方式)，这样从4个数字中抽2个出来排序的排法便有
6 × 2 = 12种，这正与例题2的解答完全一致 。

请注意在上述C(n, r)的公式中，如果我们把r换成n-r，我们将得到
C(n,n-r) = n!(n!×(n-r)!)
其结果与C(n, r)相同，由此我们得到C(n, r) = C(n, n-r)。这一点是
容易理解的，可以用一个简单 的例子来说明个中原理。假设我们要求从 5个
人(假设为A、B、C、D、E)中选出4个人的组合数，此即C(5, 4)。 这个问
题其实可以从另一个角度去理解。由於只要我们知道哪一个是「落选者」，便
自然知道哪些人是「入选 者」，因此从5个人中选出4个人(入选者)的组合
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数其实就等同於从5个人中选出1个人(落选者)的组合数，
即 C(5, 4) = C(5, 5-4) = C(5, 1) = 5。把上述结果推广到一般
情况，便得到上述的等式。

前面提过，「排列」和「组合」并非绝然对立，有时同一个问题可以从不同角
度理解 为「排列」或「组合」的 问题，而转换角度往往可以令本来难解的问
题变得容易。以下笔者将举出两个 例题，说明如何利用这种转换角 度的方法
解答问题。
例题4
：用1和2这两个数字可以构造多少个包含3个1的八位整数？

答4
：本题初看似应理解为一个「排列」问题，可不是吗？11122222跟
2222211 1是两个不同的八位整 数，由此可见，本题必须考虑八位整数中1和
2的次序，因此似乎应运用「排列 公式」。可是想深一层，本题其 实已规定
了所求的八位整数必须包括3个1和5个2，因此我们已无须 考虑这些八位整
数应包含哪些数字，而只须 考虑这些数字的位置。而且由於这些八位整数只
包 含两种数字，我们只需确定其中一种数字(例如1)的位置便确 定了整个八
位整数，例如如果我们确定 那3个1位於第1、第3和第5位，我们便确定这
个八位整数是12121222。因 此确定本题的八 位整数便等同於从8个位置中选
出3个位置来安放那3个1，而且由於把代表位置的数字列出来无 所谓 谁先
谁后(注2)，因此本题其实应理解为一个「组合」问题，所求答案是
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C(8, 3) = 8! (5! × 3!) = (8 × 7 × 6 × 5!) (5
! × 3!) = (8 × 7 × 6) (3 × 2) = 56。

本例题说明了一点，对於一个具体问题，我们不能 一概而论地把它归类为「排
列」问题还是「组合」问题，因 为这要看我们是在点算甚麼。就本例题而< br>言，由於我们点算的对象是那3个1的「位置」，而这些位置的先后次 序不
影响点算结果，所以本题是「组合」问题而非「排列」问题。

例题5
：设有5个可区别的木星人和3个可区别的火星人，现在要安排他们坐
在一排共8个座位上，问有 多少种不同坐法？

答5
：由於这8个外星人是可区别的，不妨把他们命名为A、 B、C、D、E、F、G
和H。本题其实相当於把 这8个字母排次序，并求有多少种排法，因此本题
是一个「全排列」问题，答案是8! = 40320。

有些人可能觉得奇怪，为何本题的答案如此简单？既然本题涉及两类数目各 不
相同的外星人，似乎应对这两类 人分别处理。现在就让我们从另一个角度解
本题，看看答案 是否相同。首先，我们可以把排座位的过程分解为 三个程
序：第一个程序是先从那8个座位选5个出来 给木星人坐，这是一个「组合」
问题，应有C(8, 5)种选法。 第二个程序则是安排那5个木星人 (假设为A、
B、C、D和E)坐这5个已选定的座位，这是一个「全排列」问题，共 有5!种
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排 法。第三个程序则是安排那3个火星人(假设为F、G和H)坐余下的座位，这
也是一个「全排列」问题 ， 共有3!种排法。最后运用「乘法原理」求得本题
答案为
C(8, 5) × 5! × 3! = (8! × 5! × 3!) (3! × 5!) =
8!，所得结果跟前面的完全相同。

比较上述两种解题方法，当然是第一种简洁得多。而 这种简洁的解题法之所以
能成立，是因为本题所给予的有 两类外星人的信息是多余的。由於本题对两< br>类外星人的坐法完全不加限制，因此不论这两类外星人的比例如何 ，也不论
有多少类外星人，只 要外星人的总数是8，答案都是一样的。当然，如果对外
星人的坐法有所限制，例 如不容许两个火星人坐在相邻的位置，情况将大为
不同。此一情况在以后还将讨论到。
注1：有些人可能难以理解为何0!等於1而不是等於0，因为0乘以任何数都
是0。请注意n! = n×(n-1)×...2×1这个定义只适用於当n是正整数的情
况，当n = 0时，便不能再运用上式 来定义0!。至於为何要定义
0! = 1，这完全是为了使上述的「排列」公式也适用於「全排列」的情况，
并且使 0!的定义能与「排列」的公式相协调。这一点就正如定义
n0 = 1 (当n为正实数)一样，是为了使n a的定义也适用於当a = 0的
情况，并且使n0的定义能与指数的运算法则(例如na-b = nanb)相协
调。
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注2：例 如，当我们说「那3个1位於第1、第3和第5位」，跟说「那3个1
位於第5、第1和第3位」是没有 分别的。


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