比的应用公式数学排列组合公式定理

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公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。
公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。
N-元素的总个数
R参与选择的元素个数
！-阶乘 ，如
9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1

从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1);

因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r

举例：

Q1: 有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？

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A1: 123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，
既属于“排列P”计算范畴。

上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997
之类的组合， 我们可以这么看，百 位数有9种可能，十位数则应该
有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8 *7
个三位数。计算公式＝P（3，9)＝9*8*7,(从9倒数3个的乘积）

Q2: 有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三
国联盟”，可以组 合成多少个“三国联盟”？

A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只 要有三个号码球
在一起即可。即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。

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上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数
即为最终组合数 C(3,9)=9*8*73*2*1

排列、组合的概念和公式典型例题分析


例1 设有3名学生和4个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）< br>每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方
法？
解（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小 组
的人数，因此共有

种不同方法．

（2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因
此共有

种不同方法．

点评 由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算．

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例2 排成一行，其中

不排第一，

不排第二，

不排第三，

不排第四的不同排法共有多
少种？

解 依题意，符合要求的排法可分为第一个排

、

、

中的某一个，共3类，每一类中
不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出：

∴ 符合题意的不同排法共有9种．

点评 按照分“类”的思路 ，本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树图”是
一种具有直观形象的有效做法，也是解决计 数问题的一种数学模型．

例３ 判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果．

（1）高三年级学生会有11 人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互
握了一次手，共握了多少次手？

（2）高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少
种不 同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？

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（3） 有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可
以有多少种不同 的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？

（4）有8盆花：①从中 选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？
②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法 ？

分析 （1）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所
以与顺序有关是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，
与顺 序无关，所以是组合问题．其他类似分析．

（1）①是排列问题，共用了

封信；②是组合问题，共需握手

（次）．




（2）①是排列问题，共有

（种）不同的选法；②是组合问题，共有

种不同的选法．

（3）①是排列问题，共有

种不同的商；②是组合问题，共有

种不同的积．

（4）①是排列问题，共有

种不同的选法；②是组合问题，共有

种不同的选法．

例４ 证明

．

.
证明 左式



右式．


∴ 等式成立．

点评 这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质

，
可使变形过程得以简化．

例5 化简

．

解法一 原式


解法二 原式


点评 解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性质；解法二选用了组合
数的两个性质，都使变形过程得以简化．

例6 解方程：（1）

；（2）

．



.
解 （1）原方程



解得

．

（2）原方程可变为

∵ ，

，


∴ 原方程可化为

．

即 ，解得


第六章 排列组合、二项式定理

一、考纲要求
1.掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单
的问题.
. < br>2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合
数的性质，并能用它们解决一 些简单的问题.
3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一
些简单问题.
二、知识结构
三、知识点、能力点提示
(一)加法原理乘法原理
说明 加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原
理为处理排 列、组合中有关问题提供了理论根据.
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例1 5位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报
一所，不同的报名方法共有多少种?
解： 5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名，
因而每个学生都有3种不同的 报名方法，根据乘法原理，得到不同
报名方法总共有
3×3×3×3×3=3(种)
(二)排列、排列数公式
说明 排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为
独特，它研 究的对象以及研 究问题的方法都 和前面掌握的知识不
同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用
题，都是 选择题或填空题考查.
5
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例2 由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中
小于50 000的 偶数共有( )
A.60个 B.48
个 D.24个
个 C.36
1
解 因为要求是偶数，个位数只能是2或4的排法有P
2
；小于
50 000的五位数，万 位只能是1、3或2、4中剩下的一个的排法有
13131
P
3
;在首末两位 数排定后，中间3个位数的排法有P
3
，得P
3
P
3
P2
＝
36(个)
由此可知此题应选C.
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例3 将数字 1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，
每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的 数字均不同的填法有
多少种?
解： 将数字1填入第2方格，则每个方格的标号与所填的数字
均不相同的填法有3种，即214 3，314 2，4123；同样将数字1填
入第3方格，也对应着3种填法；将数字1填入第4方格，也对应
3种填法，因此共有填法为
3P
3
=9(种).
1