路程速度时间公式排列组合公式及恒等式推导、证明

排列组合公式及恒等式推导、证明（word版）
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一、排列数公式：
推导：把n个不同的元素任选m个排次序或n个全排序，按计数原理分步
进行：
第一步，排第一位： 有 n 种选法；
第二步，排第二位： 有（n-1） 种选法；
第三步，排第三位： 有（n-2） 种选法；
┋
第m步，排第m位： 有（n-m+1）种选法；
┋
最后一步，排最后一位：有 1 种选法。
根据分步乘法原理，得出上述公式。
二、组合数公式：
推导：把n个不同的元素任选m个不排序，按计数原理分步进行：
第一步，取第一个： 有 n 种取法；
第二步，取第二个： 有（n-1） 种取法；
第三步，取第三个： 有（n-2） 种取法；
┋
第m步，取第m个： 有（n-m+1）种取法；
┋
最后一步，取最后一个：有 1 种取法。
上述各步的取法相乘是排序的方法数， 由于选m个，就有m!种排排法，选
n个就有n!种排法。故取m个的取法应当除以m!,取n个的取法 应当除以
n!。遂得出上述公式。
证明：利用排列和组合之间的关系以及排列的公式来推导证明。
将部分排列问题
A
n
m
分解为两个步骤：
第一步，就是从n个球中 抽m个出来，先不排序，此即定义的组合数问题
C
n
m
；
m
第二步，则是把这m个被抽出来的球全部排序，即全排列
A
m
。
m
根据乘法原理，
A
n
m
=C
n
m
A
m
即：
组合公式也适用于全组合的情况，即求?C(n,?n)的问题。根据上述公
式，
C(n,?n)?=?n!n!(n-n)!?=?n!??n!0!?=?1。
这一结果是完全合理的，因为从n个球中抽取所有n个出来，当然只有1
种方法。?

三
、重复组合数公式：
重复组合定义:从n个不同的元素中每次取一个，放 回后再取下一个，如
此连续m次所得的组合。
重复组合数公式：
R
n
m
=C
n
m
+m-1
（m可小于、大于、等于n,n≥1）
推导：可以把该过程看作是一个“放球模型”：
n个不同的元素看作是n个格子，其间一共有 （n-1）块相同的隔板，用
m个相同的小球代表取m次；则原问题可以简化为将m个不加区别的小球< br>放进n个格子里面，问有多少种放法；这相当 于m个相同的小球和
（n-1）块相同的隔 板先进行全排列：一共有（m+n-1）！种排法，再由于
m个小球和（n-1）块隔板是分别不加以区 分的，所以除以重复的情况：m！
*（n-1）！
于是答案就是：
R
nm
=
(m+n-1)!
=C
n
m
+m-1

m!(n-1)!
四、不全相异的全排列

在不全相异的n个物体中， 假设有n
1
个物体是相同的，n
2
个五题是相同
的，……，n
k
个物体是相同的。n个物体中不相同的物体种类数一共有k种。
那么，这些物体的全排列数 是n!(n
1
!n
2
!…n
k
!)。
可以 想成：n个物体直接全排列，排列完了以后，去重，第一种物体有
n
1
!种，第二种物 体有n
2
!种，以此类推。
例：有3个红球，2个白球，把这五个球排 成一行，问有多少种排法红
球和红球没有区别，白球和白球没有区别。
答：一共有10种，
aaabb,aabab,aabba,abaab,ababa,baaab,baaba,abba a,babaa,bbaaa。
五、排列恒等式的证明：
mm-1
①
A
n
=(n-m+1)A
n

证明：右边=< br>(n-m+1)
n!n!
m
==A
n
(n-m+1)!(n- m)!

左边=右边
m
A
n
=

②


n
m
A
n-1

n-m
n(n-1)
?

证明：
右边=
n-m(n-m-1)!

n!
m
=A
n
(n-m)!

左边=右边
③

证明：右边
=
n
(n-1) !n!
m
==A
n
(n-m)!(n-m)!


左边=右边
④
nA
n
n
=A
n
n+
+
1
1
-A
n
n
证明：右边

n+1nn
=
A
n+1
-A
n
=(n+1)!-n !=(n+1)gn!-n!=ngn!=nA
n


⑤
右边=左边

证明：右边=
n!
+m
(n-m)!
n!( n-m+1)n!-mgn!(n+1)!
===A
n
m
+1
(n- m+1)!(n-m+1)!(n-m+1)!

⑥

1!+2?2!3?3!L+n?n!(n+1)!-1

证明：左边=(2-1)1！+（3-1）2！+（4-1）3!+…（n+1-1）n!
=2!-1!+3!-2!+4!-3!…(n+1)!-n!
=(n+1)!-1！
=右边
六、组合恒等式的证明
首先明弄清组合的两个性质公式：


m+1
m+1
n-m+1
m-1m
①

互补性质：
C
n
=
取出有多少种，剩下就有多少种
C
n< br>C
C
=C
n
=
m
n
n-m
n
n-m

m

要么含有新加元
C
n
m
+ 1
=C
n
m
+C
n
m-1
根据分类计数原理:要么 含有新加元素要么不含新加元素
m+1
m+1
(m+1)n!n!
C
n
===C
n
m
n-m(n-m)(m+1)!(n-m-1)!m!(n -m)!
证明：
n-m+1
m-1
n-m+1n!n!
C
n
=g==C
n
m
mm(m-1)!(n-m+1)!m!(n-m)!
n
m
C
n-1
nn(n-1)!
m
mn-< br>C
n-1
=g

证明：右边=




m
②

C
n
=
n -m
n!
==C
n
m
n-mm!(n-m-1)!m!(n-m)!

③

C
m
=
n
C
m-1

nn-1

m
证明：
n(n-1)!n!
m
g==C
n
右边=

m(m-1)!(n-m)!m!(n-m)!


=左边



⑤
C

r
r
+C
r
r+1
+C
r
r+2
+L+C
r
n
=C
r +1
n+1
证明：根据组合性质，左边各式可写成：
左右两边相加即得：


⑥

C
证明： < br>0
n
+C
1
n
+L+C
n
n
=2< br>n

用数学归纳法证明。
1）当n=1时，
C
1
0
+C
1
1
=2=2
1
所以等式成立。
2）假设n=k时，（k≥1，k∈N*）时等式成立。

即：
C
k
0
+C
k
1
+C
k
2
+L+C
k
k
=2

k
当n=k+1时， < br>12kk+1
C
k
0
+1
+C
k+1
+C< br>k+1
+L+C
k+1
+C
k+1
11+1
=Ck
0
+1
+(C
k
0
+C
k
)+(C
k
+C
k
2
)+L+(C
k
k-1
+C< br>k
k
)+C
k
k
+1

=(Ck
0
+C
k
1
+C
k
2
+L+Ck
k
)+(C
k
0
+C
k
1
+Ck
2
+L+C
k
k
)

=2g2
k
=2
k+1
∴等式也成立
由1)、2)得，等式对n∈N*都成立。
也可用二项式定理证明（略）

⑦
C+C+CL=C+C+CL=2
1350

nnnn
证明：用归纳法同上（略）
2
n
4
n
n-1
也可利用上述结论证明（略）

本课件尽量避开用二项式定理，但这比较简单，暂且用一下：
设
135
a=C
n
+C
n
+C
n
+L
0
n
2
n
4
n
b=C+C+C+L

由（1+1）
n
可得：a+b=2
n
=2×2
n-1

由（1-1）
n
可得a-b=0
∴a=b=2
n-1
(不懂的去学学二项式定理)
123n

nnnn

⑧
C+2C+3C+L+nC=ng2
n-1
证明：
由mC
n
m
=nC
n
m
-
-
1
1
可得:（还记得这个恒等式吗，不记得就回过头去看③的证明）
左边
注：同时利用了⑥的结论。



r0r-110rr

mnmnmnn+m
用二项式定理证明太麻烦了。能偷懒就不要太勤快了。
r≤min{m,
⑨
CC+CC++L+CC=C
n}
观察左边的每一项，发现均是分别从m个不同素和n个不同元素中取r 个
元素的一个组合，其各项之和 就是所有取法，即所有组合数。其所有组合数当
然等于右边。


0212n2n

n
根据第⑨的结论并结合组合的互补性质，
nn 2n
若r=m=n即得些结论。还是用偷懒法：
(C)+(C)+L+(C)=C
⑩