关键词不能为空

当前您在: 主页 > 高中公式大全 >

irr 计算公式排列组合公式及恒等式推导、证明(word版)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-10 08:49
tags:排列组合公式

英语必修二单词-表达自己不开心的说说


排列组合公式及恒等式推导、证明(word版)

说明:因公式编辑需特定的公式 编辑插件,不管是word还是pps附带公式编辑经常是
出错用不了。下载此word版的,记得下载 MathType公式编辑器哦,否则乱码一堆。如果
想偷懒可下截同名的截图版。另外,还有PPt课 件(包含了排列组合的精典解题方法和精
典试题)供学友们下载。


一、排列数公式:
A
n
m
n(n1)(n2)(nm1)
n!
(nm)!




A
n
n
n(n1)(n1)321

推导:把n个不同的元素任选m个排次序或n个全排序,按计数
原理分步进行:
第一步,排第一位: 有 n 种选法;
第二步,排第二位: 有(n-1) 种选法;
第三步,排第三位: 有(n-2) 种选法;

第m步,排第m位: 有(n-m+1)种选法;

最后一步,排最后一位:有 1 种选法。
根据分步乘法原理,得出上述公式。

二、组合数公式:
C
m
n
A
n
m
m
A
m
1

n(n1)(n2)(nm1)
m!
n!
m!(nm)!

C
n
n
推导:把n个不同的元素任选m个不排序,按计数原理分步进行:
第一步,取第一个: 有 n 种取法;
第二步,取第二个: 有(n-1) 种取法;
第三步,取第三个: 有(n-2) 种取法;

第m步,取第m个: 有(n-m+1)种取法;

最后一步,取最后一个:有 1 种取法。
上述各步的取法相乘是排序的方法数, 由于选m个,就有m!种排
排法,选n个就有n!种排法。故取m个的取法应当除以m!,取n
个的取法应当除以n!。遂得出上述公式。

证明:利用排列和组合之间的关系以及排列的公式来推导证明。
将部分排列问题
A
n
m
分解为两个步骤:
第一步,就是从n个球中 抽m个出来,先不排序,此即定义的组
合数问题
C
n
m

m
第二步,则是把这m个被抽出来的球全部排序,即全排列
A
m


m
根据乘法原理,
A
n
m
C
n
m
A
m
即:
C
m
n
A
n
m
m
A
m
n(n1)(n2)(nm1)n!
m!m!(nm)!

组合公式也适用于全组合的情况,即求 C(n, n)的问题。根据
上述公式,
C(n, n) = n!n!(n-n)! = n! n!0! = 1。
这一结果是完全合理的,因为从n个球中抽取所有n个出来,当
然只有1种方法。


、重复组合数公式:
重复组合定义:从n个不同的元素中每次取一个,放 回后再取下
一个,如此连续m次所得的组合。
重复组合数公式:
R
n
m
C
n
m
m1
(m可小于、大于、等于n,n≥1)
推导:可以把该过程看作是一个“放球模型”:
n个不同的元素看作是n个格子,其间一共有 (n-1)块相同的
隔板,用m个相同的小球代表取m次;则原问题可以简化为将m个不
加区别 的小球放进n个格子里面,问有多少种放法;这相当
于m个相同的小球和(n-1)块相同的隔 板先进行全排列:一共有
(m+n-1)!种排法,再由于m个小球和(n-1)块隔板是分别不加以< br>区分的,所以除以重复的情况:m!*(n-1)!
于是答案就是:
R
nm
(mn1)!
C
n
m
m1

m!(n1)!
四、不全相异的全排列

在不全相异的n个物体中,假 设有n
1
个物体是相同的,n
2
个五
题是相同的,……,n
k
个物体是相同的。n个物体中不相同的物体种
类数一共有k种。那么,这些物体的全排列数是 n!(n
1
!n
2
!…n
k
!)。
可以想 成:n个物体直接全排列,排列完了以后,去重,第一
种物体有n
1
!种,第二种物体 有n
2
!种,以此类推。
例:有3个红球,2个白球,把这五个球排成 一行,问有多少
种排法红球和红球没有区别,白球和白球没有区别。
答:一共有10种,
aaabb,aabab,aabba,abaab,ababa,baaab,baaba,abba a,babaa,bbaaa。
五、排列恒等式的证明:

A
n
m
(nm
m
m
1)A
n
1

n!
m1)!
n!
(nm)!
m
A
n
证明:右边=
(n1)
(n

左边=右边


A
n


m
n
nm

m
A
n1

n!
(nm)!
m
A
n

证明

右边=
n

n
m
(n1)
(nm1)!

左边=右边
m1
nA
n1
m
A
n




1)!
m)!
n!
(nm)!
m
A
n


证明:右边=
n
(n
(n



左边=右边

nA
n
n
A
n
n
1
1
A
n
n
n 1
1
证明:右边=
A
n








A
n
n
(n1)!n! (n1)n!n!nn!nA
n
n

右边=左边
m
A
n1
m
A
n
m
mA
n
1
证明:右边=
n!
(nm)!
m
n!(nm1)n!mn!(n1)!< br>A
n
m
1
(nm1)!(nm1)!(nm1)!

1!22!33!nn!(n1)!1


(n+1-1)n!
证明:左边=(2-1)1!+(3-1)2!+(4-1)3!+…
=2!-1!+3!-2!+4!-3!…(n+1)!-n!
=(n+1)!-1!
=右边
六、组合恒等式的证明
首先明弄清组合的两个性质公式:





C
n
m
C
n
nm

1
互补性质:取出有多少种,剩下就有多少种


要么含有新C
n
m
1
C
n
m
C
n
m根据分类计数原理:要么含有新加元素要么不含新加元素



C
n
m

m1
m
C
n
nm
1
nm1
m
C
n
m
1
m1
m
C
n
nm
1
(m1)n!n!
C
n
m
(nm )(m1)!(nm1)!m!(nm)!
1
证明:
nm1
m
C
n
m
m


C
n
nm1n!n!
C
n
m
m(m1)!(nm1)!m!( nm)!




n
n
n
nm
C
m
n1
m
n
C
m
n1


证明:右边=

(n1)!n!
C< br>n
m
nmm!(nm1)!m!(nm)!



C
m

n

证明:
右边=


n
m1
C
n1
m
n !
m!(nm)!
m
C
n
n(n1)!
m(m1)!(nm )!


=左边





C

r
r
C
r
r1
C
r
r2
C
r
n
C
r1
n1
证明:根据组合 性质,左边各式可写成:
C
r
r
C
r
r
C
r
r
1
1
1
2
C
r
r
1
C
r
r
2
C
r
r
1
1
1
2
1
C
r
r
3
1
C
r
r
3
C
r
r
1
4
C
r
r
3
C
r
r
C
n
r
C
n
r
C
n
r1

1
C
n
r
1
1
1
1
C
n
r
1
C
n
r

左右两边相加即得:

C
r
rC
r
r
1
C
r
r
2
0
n1
C
n
r
C
n
r
1





C
证明:
C
1
n

C
n
n
2
n

用数学归纳法证明。
1)当n=1时,
C
1
0
C
1
1
22
1
所以等式成立。
2)假设n=k时,(k≥1,k∈N*)时等式成立。

即:
C
k
0
C
k
1
C
k
2
当n=k+1时,
1
C
k
0
1
C
k1
C
k
k
2

k
C
k
2
1
C
k
k
1
C
k
k1
1
11
C
k
0
1
(C
k
0
C
k
)(C
k
C
k
2
)(C
k
k1
C
k
k)C
k
k1
1

(C
k
0
C
k
1
C
k
2
22
k
2
k1
1
C
k
k
)(C
k
0
C
k
C< br>k
2
C
k
k
)

∴等式也成立
由1)、2)得,等式对n∈N*都成立。
也可用二项式定理证明(略)


1
n
3
n< br>5
n
0
n
2
n
4
n
n1


CCCCCC2

证明:用归纳法同上(略)
也可利用上述结论证明(略)

本课件尽量避开用二项式定理,但这比较简单,暂且用一下:

135
aC
n
C
n
C
n
0
n
2
n
4
n
bCCC

由(1+1)
n
可得:a+b=2
n
=2×2
n-1

由(1-1)
n
可得a-b=0
∴a=b=2
n-1
(不懂的去学学二项式定理)



1
C


n

证明:

mC
n
左边
m
3
2C
n2
3C
n
nC
n
n
n2
n1
nCn
m
1
1
可得:(还记得这个恒等式吗,不记得就回过头去看③的证明)
=nC
n
0
1
nC
n
1
1
nC< br>n
2
1
nC
n
3
1

nC
n
n
1
1
C
n
n
1
1
)

n(C
n
0
1
C
n
1
1< br>C
n
2
1
C
n
3
1
n2
n 1
注:同时利用了⑥的结论。






CC
r
m
0
n
CC
r1m
1
n
CC
0
m
r
n
C
r< br>nm

r≤min{m
,n}
用二项式定理证明太麻烦了。能偷懒就不要太勤快了。
观察左边的每一项,发现均是分别从m个不同素和n个不同元素
中取r 个元素的一个组合,其各项之和就是所有取法,即所有组合
数。其所有组合数当然等于右边。








(C


)
02
n
(C)
12
n
(C)
n2
n
C
n
2n
还是用偷懒法:根据第⑨的 结论并结合组合的互补性质,若r=m=n即
得些结论。

西南政法大学2019录取分数线-关于想象的作文300字


平均绩点怎么算-诗词大会主持人


高考报名流程-考研专业选择


破釜沉舟出自-数理化网


成绩单评语-新学期黑板报图片


女人创业项目-毛主义


机械工程及自动化专业-拜谒的意思


有机化合物和无机化合物的区别-瘦身减肥小窍门



本文更新与2020-09-10 08:49,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/391239.html

排列组合公式及恒等式推导、证明(word版)的相关文章