积分常用公式(完整版)排列组合公式及恒等式推导、证明(word版)

排列组合公式及恒等式推导、证明（word版）

说明：因公式编辑需特定的公式 编辑插件，不管是word还是pps附带公式编辑经常是
出错用不了。下载此word版的，记得下载 MathType公式编辑器哦，否则乱码一堆。如果
想偷懒可下截同名的截图版。另外，还有PPt课 件（包含了排列组合的精典解题方法和精
典试题）供学友们下载。


一、排列数公式：
A
n
m
=n(n-1)(n-2)L(n-m+ 1)=
n!
(n-m)!



21

A
n
n
=n(n-1)(n-1)L3创
推导：把n个不同的元素任 选m个排次序或n个全排序，按计数
原理分步进行：
第一步，排第一位： 有 n 种选法；
第二步，排第二位： 有（n-1） 种选法；
第三步，排第三位： 有（n-2） 种选法；
┋
第m步，排第m位： 有（n-m+1）种选法；
┋
最后一步，排最后一位：有 1 种选法。
根据分步乘法原理，得出上述公式。

二、组合数公式：
A
n
m
n(n-1)(n-2)L(n-m+1)n!
C=
m
==< br>A
m
m!m!(n-m)!

m
n
C
n
n
=1

推导：把n个不同的元素任选m个不排序，按计数原理分步进行：
第一步，取第一个： 有 n 种取法；
第二步，取第二个： 有（n-1） 种取法；
第三步，取第三个： 有（n-2） 种取法；
┋
第m步，取第m个： 有（n-m+1）种取法；
┋
最后一步，取最后一个：有 1 种取法。
上述各步的取法相乘是排序的方法数，由于选m个，就有m!种排
排法，选n个就有n!种排法 。故取m个的取法应当除以m!,取n
个的取法应当除以n!。遂得出上述公式。

证明：利用排列和组合之间的关系以及排列的公式来推导证明。
将部分排列问题
A
n
m
分解为两个步骤：
第一步，就是从n个球中 抽m个出来，先不排序，此即定义的组
合数问题
C
n
m
；
m
第二步，则是把这m个被抽出来的球全部排序，即全排列
A
m
。

m
根据乘法原理，
A
n
m
=C
nm
A
m
即：
A
n
m
n(n-1)(n-2 )L(n-m+1)n!
C=
m
==
A
m
m!m!(n-m )!

m
n

组合公式也适用于全组合的情况，即求 C(n, n)的问题。根据
上述公式，
C(n, n) = n!n!(n-n)! = n! n!0! = 1。
这一结果是完全合理的，因为从n个球中抽取所有n个出来，当
然只有1种方法。

三
、重复组合数公式：
重复组合定义:从n个不同的元素中每次取一个，放 回后再取下
一个，如此连续m次所得的组合。
重复组合数公式：
R
n
m
=C
n
m
+m-1
（m可小于、大于、等于n,n≥1）
推导：可以把该过程看作是一个“放球模型”：
n个不同的元素看作是n个格子，其间一共有 （n-1）块相同的
隔板，用m个相同的小球代表取m次；则原问题可以简化为将m
个不加区别 的小球放进n个格子里面，问有多少种放法；这相当
于m个相同的小球和（n-1）块相同的隔 板先进行全排列：一共有
（m+n-1）！种排法，再由于m个小球和（n-1）块隔板是分别不
加以区分的，所以除以重复的情况：m！*（n-1）！
于是答案就是：
R
nm
=
(m+n-1)!
=C
n
m
+m-1

m!(n-1)!
四、不全相异的全排列

在不全相异的n个物体中， 假设有n
1
个物体是相同的，n
2
个五
题是相同的，……，n
k
个物体是相同的。n个物体中不相同的物体种
类数一共有k种。那么，这些物体的全排列数 是n!(n
1
!n
2
!…n
k
!)。
可以 想成：n个物体直接全排列，排列完了以后，去重，第一
种物体有n
1
!种，第二种物 体有n
2
!种，以此类推。
例：有3个红球，2个白球，把这五个球排 成一行，问有多少
种排法？红球和红球没有区别，白球和白球没有区别。
答：一共有10种，
aaabb,aabab,aabba,abaab,ababa,baaab,baaba,abba a,babaa,bba
aa。
五、排列恒等式的证明：
mm-1
①
A
n
=(n-m+1)A
n

证明：右边=< br>(n-m+1)
n!n!
m
==A
n
(n-m+1)!(n- m)!

左边=右边



②

A
n
m
=

n
m
A
n-1

n-m
n(n-1)
?

证明
：
右边=
n-m(n-m-1)!

n!
m
=A
n
(n-m)!

左边=右边
mm-1
A=nA
③
nn-1






证明：右边=
n
(n-1)!n!< br>m
==A
n
(n-m)!(n-m)!


左边=右边
④

n+1nn
证明：右边=
A
n+1
-A
n
=(n+1)!-n!=(n+1)gn!-n!=ngn!= nA
n
右边=左边
nA
n
n
=A
n
n
+
+
1
1
-A
n
n


⑤
mmm-1
A
n
=A+mA
+1nn




⑥

证明：右边=
n!
+m
(n-m)!
n!(n-m+1)n!-mgn!(n+1)!
===A
n
m
+1
(n-m+1)!(n-m+1)!(n-m+1)!

1!+2?2!3?3!L+n?n!(n+1)!-1

证明：左边=(2-1)1！+（3-1）2！+（4-1）3!+…（n+1-1）n!
=2!-1!+3!-2!+4!-3!…(n+1)!-n!
=(n+1)!-1！
=右边
六、组合恒等式的证明
首先明弄清组合的两个性质公式：





C
n
m
=C
n
n-mC
n
m
+1
=C
n
m
+C
n
m-1


互补性质：取出有多少种，剩下就有多少种

分类计数原
根据分类计数原理:要么含有新加元素要么不含新加元素

①

C
n
m
=
m+1
C
n
m+1
=
n-m+1
C
n
m-1

n-mmm+1
m+1
(m+1)n!n!
C
n
===C
nm
n-m(n-m)(m+1)!(n-m-1)!m!(n-m)!
证明：
n -m+1
m-1
n-m+1n!n!
C
n
=g==C
nm
mm(m-1)!(n-m+1)!m!(n-m)!




m
②

C
n
=
n
m
C
n -1
n-m
nn(n-1)!n!
m
C
n-1
=g==C< br>n
m
n-mn-mm!(n-m-1)!m!(n-m)!



证明：右边=

③

C
m
=
n
C
m-1

nn-1

m
证明：
右边=


n( n-1)!n!
m
g==C
n
m(m-1)!(n-m)!m!(n-m)!


=左边




+C
⑤
C

r
r
r
r+1
+C< br>r
r+2
+L+C
r
n
=C
r+1
n+1< br>证明：根据组合性质，左边各式可写成：
+1
C
r
r
=C< br>r
r
+1
+1r+1
C
r
r
+1
= C
r
r
+
-C
2r+1
+1r+1
C
r< br>r
+2
=C
r
r
+
-C
3r+2
+ 1r+1
C
r
r
+3
=C
r
r
+
-C
4r+3
M

1
C
n
r
-1
=C
n
r+1
-C
n
r
-
+
1
+1r+1
C
n
r
=C
n
r
+
-C
1n

左右两边相加即得：
+1
C
r
r
+C
r
r
+1
+C
r
r
+2
+L+C
n
r
=C
n
r
+1


C


⑥
证明：
0
n
+C
1
n
+L+C

n
n
=2
n

用数学归纳法证明。
1）当n=1时，
C
1
0
+C
1
1
=2=2
1
所以等式成立。
2）假设n=k时，（k≥1，k∈N*）时等式成立。

即：
C
k
0
+C
k
1
+C
k
2
+L+C
k
k
=2

k
当n=k+1时，
12kk+1
C
k
0
+1
+C
k+1
+C
k+1
+L+C
k+1
+C
k+1
11 +1
=C
k
0
+1
+(C
k
0
+C
k
)+(C
k
+C
k
2
)+L+(C
k
k-1
+C
k
k
)+C
k
k
+1

=(C
k
0
+C
k
1
+C
k
2< br>+L+C
k
k
)+(C
k
0
+C
k
1
+C
k
2
+L+C
k
k
)

=2g2
k
=2
k+1
∴等式也成立
由1)、2)得，等式对n∈N*都成立。
也可用二项式定理证明（略）


⑦

C+C+CL=C+C+CL=2
证明：用归纳法同上（略）
1
n
3
n
5
n
0n
2
n
4
n
n-1

也可利用上述结论证明（略）

本课件尽量避开用二项式定理，但这比较简单，暂且用一下：
设
135
a=C
n
+C
n
+C
n
+L
0
n
2
n
4
n
b=C+C+C+L

由（1+1）
n
可得：a+b=2
n
=2×2
n-1

由（1-1）
n
可得a-b=0
∴a=b=2
n-1
(不懂的去学学二项式定理)



C+2C+3C+L+nC
⑧


证明：
左边
1
n
2
n
3
n
n
n< br>=ng2
n-1
mm-1
由
mC
n
=nC
n-1
可得:（还记得这个恒等式吗，不记得就回过头去看③的证明）
=nC
n< br>0
-1
+nC
n
1
-1
+nC
n
2
-1
+nC
n
3
-1
+LnC
n
n
-
-
1
1

=n(C
n
0
-1
+C
n
1
-1
+C
n
2
-1
+C
n
3
-1
+LC
n
n
-
-
1
1
)
=ng2
n-1

注：同时利用了⑥的结论。




⑨

CC+CC++L+CC= C
r≤min{m,
r
m
0
n
r-1
m
1
n
0
m
r
n
r
n+m


用二项式定理证明太麻烦了。能偷懒就不要太勤快了。
n}
观察左边的每一项，发现均是分别从m个不同素和n个不同元素
中取r 个元素的一个组合，其各项之和就是所有取法，即所有组合
数。其所有组合数当然等于右边。








0212n2n
(C)+(C)+L+(C)=C
⑩

nnn2n< br>还是用偷懒法：根据第⑨的结论并结合组合的互补性质，若r=m=n即
得些结论。