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倍数公式高中数学选修2-3基础知识归纳(排列组合、概率问题)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-10 08:58
tags:排列组合公式

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高中数学选修2-3基础知识归纳(排列组合、概率问题)

一.基本原理
1.加法原理:做一件事有n类办法,则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2.乘法原理:做一件事分n步完成,则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注:做一件事时,元素或位置允许重复使用,求方法数时常用基本原理求解。
二.排列:从n个不同元 素中,任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一
列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个 排列,所有排列的个数记为。

四.处理排列组合应用题
1.①明确要完成的是一件什么事(审题) ②有序还是无序 ③分步还是分类。
2.解排列、组合题的基本策略
(1)两种思路:
①直接法:
②间接法:对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况
去掉。 这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。
分类处理:当问题总体不好解决时,常分成若干类,再由分类计数原理得出结论。
注意:分类不重复不遗漏。即:每两类的交集为空集,所有各类的并集为
全集。
(3)分步处 理:与分类处理类似,某些问题总体不好解决时,常常分成若干步,
再由分步计数原理解决。在处理排列 组合问题时,常常既要分类,又要分步。其原
则是先分类,后分步。
(4)两种途径:①元素分析法;②位置分析法。
3.排列应用题:
(1)穷举法(列举法):将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来;
(2) 特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑;
例1. 电视台连续播放6个广告,其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广
告,要求首尾必须播放公
益广告,则共有 种不同的播放方式(结果用数值表示).
解:分二步:首尾必须播放公益广告的有
从而应当填=48. 从而应填48.
种;中间4个为不同的商业广告有种,
例2. 6人排成一行,甲不排在最左端,乙不排在最右端,共有多少种排法?
解一:间接法:即
解二:(1)分类求解:按甲排与不排在最右端分类.


(3)相邻问题:捆邦法:
对于某些元素要求相邻的排列问题,先将相邻接的元素“捆绑”起 来,看作一“大”元
素与其余元素排列,然后再对相邻元素内部进行排列。
(4)全不相邻 问题,插空法:某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可
采用插空法.即先安排好没有限制条件 的元素,然后再将不相邻接元素在已排好的元
素之间及两端的空隙之间插入。
(5)顺序一定,除法处理。先排后除或先定后插
解法一:对于某几个元素按一定的顺序排列 问题,可先把这几个元素与其他元素一
同进行全排列,然后用总
的排列数除于这几个元素的全排列数。即先全排,再除以定序元素的全排列。
解法二:在总位置中选出 定序元素的位置不参加排列,先对其他元素进行排列,剩
余的几个位置放定序的元
素,若定序元素要求从左到右或从右到左排列,则只有1种排法;若不要求,
则有2种排法;
例.有4个男生,3个女生,高矮互不相等,现将他们排成一行,要求从左到右,女
生从矮到高排列,有 多少
种排法?
分析一:先在7个位置上任取4个位置排男生,有
生,因要求“从矮到高”,
只有1种排法,故共有·1=840种.
种排法.剩余的3个位置排女
(6)“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略
对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时,可先将“小团体”看作一
个元素与其余元素排
列,最后再进行“小团体”内部的排列。
(7)分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题,可归纳为一排考虑,再分段处理。
(8)数字问题(组成无重复数字的整数)
①能被2整除的数的特征:末位数是偶数;不能被2整除的数的特征:末位数是奇
数。
②能被3整除的数的特征:各位数字之和是3的倍数;
③能被9整除的数的特征:各位数字之和是9的倍数。
④能被4整除的数的特征:末两位是4的倍数。
⑤能被5整除的数的特征:末位数是0或5。
⑥能被25整除的数的特征:末两位数是25,50,75。
⑦能被6整除的数的特征:各位数字之和是3的倍数的偶数。
4.组合应用题:
(1)“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:
1.从4台甲型和5台乙型电视机中任 取3台,其中至少要甲型和乙型电视机各一台,
则不同的取法共有
解析1:逆向思考,至少各 一台的反面就是分别只取一种型号,不取另一种型号的
电视机,故不同的取法共有种.
解析2:至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况:甲型1台乙型2台;甲
型2台乙型1台;故不同的取法有种.
(2)“含”与“不含” 用间接排除法或分类法:
2.从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛
(1)如果4人中男生和女生各选2人,有 种选法;
(2)如果男生中的甲与女生中的乙必须在内,有 种选法;
(3)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有 1人在内,有 种选法;
(4)如果4人中必须既有男生又有女生,有 种选法

5.分组问题:
均匀分组:分步取,得组合数相乘,再除以组数的阶乘。即除法处理。
非均匀分组:分步取,得组合数相乘。即组合处理。
混合分组:分步取,得组合数相乘,再除以均匀分组的组数的阶乘。
6.分配问题:
定额分配:(指定到具体位置)即固定位置固定人数,分步取,得组合数相乘。
随机分配:( 不指定到具体位置)即不固定位置但固定人数,先分组再排列,先组合
分堆后排,注意平均分堆除以均匀 分组组数的阶乘。
7.隔板法:不可分辨的球即相同元素分组问题
五. 二项式定理

3.二项式定理的应用
求二项展开式中的任何一项,特别是常数项:变量的指数为0、有理项:指数为整
数;
证明整除或求余数;
利用赋值法证明某些组合恒等式;
近似计算。
4.二项式系数的性质:

5.区分
(1)某一项的二项式系数与系数
项的系数与二项式系数是不同的两个概念,但当二项式的两个项的系数都为1时,
系数就是二项 式系数。
展开式中的系数就是二项式系数。
(2)二项式系数最大项与系数最大项
①二项式系数最大项是中间项
②系数最大项求法:设第k+1项的系数最大,由不等式组
再求第k+1项值。
③系数的绝对值最大的项
求k。
二项展开式的系数绝对值最大项的求法,设第r+1 项系数的
绝对值最大,则此项系数的绝对值必不小于它左、右相邻两项系数的绝对值,即由
求r
注意:二项展开式中系数最大的项及系数最小的项的求法:先
求系数的绝对值最大项第r+1项 ,然后再求第r+1项的符号,若这一项的系数符
号为正,则它为展开式中系数最大的项;若这一项的系 数符号为负,则它为展开式
中系数最小的项
(3)二项展开式中,二项式系数和与各项系数和

应用“赋值法”可求得二项展开式中各项系数和即令式子中变量为1。


注意:(1)二项展开式的各项系数绝对值的和相当于
的各项系数的和。即令原式中的x=-1 即可。
(2)审题时要注意区分所求的是项还是第几项?求的是系数还是二项式系
数?
六.事件分类

七.对某一事件概率的求法:

八.离散型随机变量
1.在 的射击、产品检验等例子中,对于随机变量X可能取的值,我们可以按一定次
序一一列出,这样的随机变 量叫做离散型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列
一般的,设离散型随机变量X可能取的值为
X取每一个值(i=1,2,)的概率
则称表



为离散型随机变量X 的概率分布,简称分布列
性质:
③ 一般地,离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围
内各个值的概率之和。
公式:期望或平均数、均值 E(X)=
方差:


说明(1)数学期望的一个特征数,它反映了离散型随机变量取值的平均水平
(2)的算术平方根为随机变量X的标准差,
(3)随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动,集中与分
散的程度。
(4)性质:

4.二项分布:在n次独立重复试验中,一次试验中某事件A发生的概率是p, 某
事件A发生的次数为X,
则在n次独立重复试验中,这个事件恰好发生k次的概率为
p(X=k)=
X的分布列为


此时称ξ服从二项分布,记作X~B(n,p).
若X~B(n,p),则 ,

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