java 公式计算排列and组合计算公式及经典例题汇总讲解

排列组合计算公式排列组合公式
和顺序有
关排列 A------
不牵涉到顺序的问题组合 C ------- ,组合不分排列分顺序 排
列3个人,有几种分法. 把例如 5本不同的书分给 组合3个人,
有几种分法 5 把本书分给1．排列及计算公式

从n个不同元素中，任取m(m≤n) 个元素按照一定的顺序排成
一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n
个不同 元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n
个不同元素中取出m个元素的排列数，用符 号 A(n,m)表示.

A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!(n-m)!(规定0!=1).

2．组合及计算公式

从n个不同元素中，任取m(m≤n)个 元素并成一组，叫做从n
个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取
出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中
取 用符号.个元素的组合数m出

c(n,m) 表示.

c(n,m)=A(n,m)m!=n!((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);

3．其他排列与组合公式

从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝A(n,r)r=n!r(n-r)!.

n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元
素的全排列数为

n!(n1!*n2!*...*nk!).

k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为
c(m+k-1,m).
排列（Anm(n为下标，m为上标)）

Anm=n×（n-1）.... （n-m+1）；Anm=n！（n-m）！（注：！是
阶乘符号）；Ann（两个n分别为上标和下标 ） =n！；0！=1；
An1（n为下标1为上标）=n

组合（Cnm(n为下标，m为上标)）

Cnm=AnmAmm ；Cnm=n！m！（n-m）！；Cnn（两个n分别
为上标和下标） =1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m

2008-07-08 13:30




公式A是指排列，从N个元素取R个进行排列。
公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。
N-元素的总个数
R参与选择的元素个数
！-阶乘 ，如 9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1
从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1);
因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r
举例：
Q1: 有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三
位数？
A1: 123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求
的，既属于“排列A”计算范畴。
上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现
988,997之类的组合， 我们可以这么看，百 位数有9种可能，
十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，
最终共 有9*8*7个三位数。计算公式＝A（3，9)＝9*8*7,(从9
倒数3个的乘积）
Q2: 有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代
表“三国联盟”，可以组 合成多少个“三国联盟”？
A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三 个号
码球在一起即可。即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。
上问 题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复
的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*73* 2*1
排列、组合的概念和公式典型例题分析
例1 设有3名学生和4个课外 小组．（1）每名学生都只）每
名学生都只参加一个课外小组，而2参加一个课外小组；（．
且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？
解（1）由于每名学 生都可以参加4个课外小组中的任何一
个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方

法．
（2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小
组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法．

点评 由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘
法原理进行计算．
例2 排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第

三，不排第四的不同排法共有多少种？

解 依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中

的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式
逐一排出：
∴ 符合题意的不同排法共有9种．
点评 按照分“类”的思路，本题应用了加法原理． 为把握
不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也
是解决计数问题的一种数 学模型．
例３ 判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果．
（1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了
多少封信？②每两人互握了一次手，共握 了多少次手？
（2）高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和
一名副 组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学
竞赛，有多少种不同的选法？
（3）有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：①从中任取
两个数求它们的商可以有多少 种不同的商？②从中任取两．
个求它的积，可以得到多少个不同的积？
（4）有8 盆花：①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，
有多少种不同的选法？②从中选出2盆放在教室有多少 种不同
的选法？
分析 （1）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；②由于每两人互握一
次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同 一次握手，与顺序无关，所
以是组合问题．其他类似分析．
（1）①是排列问题，共用了封信；②是组合问题，共需握

手（次）．

（2）①是排列问题，共有（种）不同的选法；②是组合问

题，共有种不同的选法．

（3）①是排列问题，共有种不同的商；②是组合问题，共

有种不同的积．

（4）①是排列问题，共有种不同的选法；②是组合问题，

共有种不同的选法．

例４ 证明．

证明 左式

右式．


∴ 等式成立．
点评 这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，
并利用阶乘的性质，可使变形过程得以简化．

例5 化简．

解法一 原式





解法二 原式
点评 解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的
性质；解法二选用了组合数的两个性质，都使变形过 程得以简化．
例6 解方程：（1）；（2）．

解 （1）原方程





解得．
（2）原方程可变为
∵ ，，

∴ 原方程可化为．

即 ，解得

第六章 排列组合、二项式定理
一、考纲要求
1.掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简
单的问题.
2. 理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组
合数的性质，并能用它们解决一些简单的问 题.
3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证
一些简单问题.
二、知识结构．

三、知识点、能力点提示
(一)加法原理乘法原理
说明 加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原
理为处理排 列、组合中有关问题提供了理论根据.
例1 5位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报
一所，不同的报名方法共有多少种?
解： 5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名，
因而每个学生都有3种不同的 报名方法，根据乘法原理，得到
不同报名方法总共有
5

)
种3×3×3×3×3=3( 排列、排列数公式二)(排列、排列数公式
及解排列的应用题，在中学代数中 说明
究问题的方法都和前面掌握 究的对象以及研较为独特，它研的
知识不同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考.
查排列的应用题，都是选择题或填空题考查组成没有重复数字的
五位数，其、5、3、42 例 由数字1、2)
偶数共有( 中小于50 000的C.36 B.48个 个A.60
个 D.24 个
1

；小的排法有A因为要求是偶数，个位数只能是2或4解 中
2
31
剩下的一个的4或2、、于50 000的五位数，万位只能是13，3个位数的排法有A排法有A;在首末两位数排定后，中间
AAA＝36(得C.
233
33113
) 个
由此可知此题应选的四个方格4、3、2、1填入标号为4、3、2、
1将数字 3 例
里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的
填法有多少种?
解： 将数字1填入第2方格，则每个方格的标号与所填的数字
均不相同的填法有3种，即214 3，314 2，4123；同样将数字1
填入第3方格，也对应着3种填法；将数字1填入第4方格，也
对 应3种填法，因此共有填法为
1

).
3
=9(种3A 例五可能有问题，等思考例四

三)组合、组合数公式、组合数的两个性质
说明 历届高考均有这方面的题目出现，主要考查排列组合的应
用题，且基本上都是由选择题或填空题考查.
例4 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少
有甲型与乙型电视机各1台， 则不同的取法共有( )
A.140种 B.84种 C.70种 D.35种
21

·C台的取法有C台乙型 抽出的3台电视机中甲型12解： ·C
5412
54
台的取法有C种1种；甲型2台乙型 根据加法原理可得总的
取法有
1222
) +C·CC=40+30=70(种·CC.
5445
可知此题应选．
例5 甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，
乙公司承包1 项，丙、丁公司各承包2项，问共有多少种承包
方式?
3

种；3项工程的方式 C解： 甲公司从8项工程中选出项工
8
1
程的方式有1乙公 司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出 种；
C项工程的方2丙公司从甲乙两公司挑选后余下的4项工程中选
5
出 种；式有C2项工程中选出丁公司从甲、乙、丙三个公司挑
24
选后余下的2.
2
种项工程的方式有C
的种数有C).
254
22231
=×C 8×C×C根据乘法原理可得承包方式
×1=1680(种 二项式定理、二项展开式的性质四)(在二项式定理
揭示了二项式的正整数次幂的展开法则， 说明年历届高考均年
至1998数学中它是常用的基础知识 ，从1985题型有这方面的
题目出现，主要考查二项展开式中通项公式等，.
主要为选择题或填空题) x的系数是( 例6 在(x-)的展
610
开式中，
646

B.27C C.-9C A.-27C

1010104
D.9C
10610
，+1)
解 设(x-的展开式中第γ项含x
γγ10-γ+1γ
=4
10444
γγ，10-=CxT因=6,)(-
系数是C(-)=9C
故此题应选．
23５

10 10
于是展开式中第5项含x 6，第5项
D.
的展开式中-(x-1)+(x-1) (x-1)-(x-1)＋(x-1)例7

２

的x的系数等于


项5x-1，公比为-(x-1)的等比数列的前解：此题可视为首项为 的
和，则其和为6
2333633
的系，因此展开式中xCx(-1)=-20x在(x-1)中
含x的项是-2 0. 数是 综合例题赏析
(五)
223442
))+a+a-(a+ax+a+ax +ax+ax，则(a若例8 (2x+)=a
31221 30044
)
( 的值为A.1 B.-1
C.0 D.2
解：A.
例9 2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校
分配1名医生和2 名护士，不同的分配方法共有( )
A.6种 B.12种 C.18种
D.24种
22

种，所以C=6分医生的方法有A＝2种，分护士方法有 解 12
42
种不同的分配方法。共有6×2＝B.
应选中 3台，其5例10 从4台甲型和台乙型电视机中任意取
出台，则不同取法共有1至少要有甲型与乙型电视机各).
(
B.84 种A.140
D.35 种 种 C.70
种
解：取出的3台电视机中，甲型电视机分为恰有一台和恰有二台
两种情形.
122

·+C·C=5×6+10×4=70.∵CC.
445
∴应选名代现选举2 名学生， 某小组共有10其中女生3名，
例11
) 表，至少有1名女生当选的不同选法有(
C.21 种 种A.27 B.48 种 D.24种
名女生代表两类：解：分恰有1名女生和恰有2 7+C=3×
211
7+3=24，∵C·CD.
33
∴应选六位 2，3，4，5组成没有重复数字的1例12 由数学0，，).
数，其中个位数字小于十位数字的共有(
B.300个 个 A.210 D.600个
C.464个
1

A 解：先考虑可组成无限制条件的六位数有多少个?应有A·.
5
5
5 =600个个位数小于十位数的六位数和个位数大于十位数的六
由对称性，.
位数各占一半. 个符合题设的六位数∴有×600=300

B.
应选四面体共有以一个正方体的顶点为顶点的 13 例
).
(
个B.64 个A.70．
C.58个 D.52个
4

. =70个4个的组合数为C解：如图，正方体有8个顶点，任取
构成垂直底面的对角6组；3类：构成侧面的有其中共面四点分.
11
8
组 )的有4C面的有2组；形如(ADB) 组∴能形成四面体的有
70-6-2-4=58(C.
应选锥的棱 如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱例14
).
( 所在的12条直线中，异面直线共有B.24
A.12对
对D.48 对C.36
对ABCDEF.
O—解：设正六棱锥为. 、EF均形成异面直线对、OA与BC、CDDE)
1
任取一侧棱OA(C则. 6×4=24对异面直线∴共有CB.
61
应选为顶 正六边形的中心和顶点共15 7个点，以其中三个点
例). 个(以数字作答 点的三角形共

3

.
7
=35组3解：7点中任取个则有C). 条直径3其中三点共线的有
组(正六边形有3.
35-3=32∴三角形个数为个310，其中由个元素的集合的全部子
集数为S16 例 设含有的值T，则个元素组成的子集数为

为 。


解 10个元素的集合的全部子集数有：


=2 10=1024 +C+C0+CS＝C+C+C+C+C+C+C+C
10
1
=120
T=C其中，含3个元素的子集数有 =故
4 n 中有在50件产品 例17 例17
件是次品的抽法共 ，至少有3件是次品，从中任意抽了5件

).
种(用数字作答


4件次品”.解：“至少3件次品”即“有3件次品”或“有
1423
)
种=4186(∴C·C+C·C
464446
丙各需2例18 有甲、乙、丙三项任务，
甲需人承担，乙、
人承担这三项任务，不同的选法共1人承担，从10人中选派4).
有(
A.1260 B.2025种 种
C.2520 种 种 D.5040) 个承担任务甲
2
2(C解：先从10人中选 8) 人承担任务乙1(C再从剩余8人中
101
选 7) 又从剩余人承担任务乙(C7人中选1). ∴有C 8C·C
1112
7=2520(种C.
10
应选).
( ｝子集总共有3，2，1集合｛ 19 例
A.7个 B.8个 C.6个 D.5个
解 三个元素的集合的子集中，不含任何元素的子集有一个，由
一个元素组成的子集数
21

。C，由二个元素组成的子集数C。由加法原理可得集合子集
333
3321
的总个个元素组成的子集数C由3 数是8 ＝
+1=3+3+1+1C+C+CB.
333
故此题应选件是次品，现在从中任意抽3假设在200件产品中有
例20
). ( 取5件，其中至少有两件次品的抽法有
种
32
341555
233232
+CC
-C C.C-C
197 3200 200 197
解：5件中恰有二件为次品的抽法为C，C
197323
C，C5件中恰三
件为次品 的抽法为
C+C
19731973
19732332
. CC∴至少有两件次品的抽法为
B.
应选个座位，个座位，第二排有5 例21 两排座位，第一排有3，
则不同座法的总数是若8)(每人一个座位名学生入座).
(

3535135

8 8 8 82 8 8