力矩的计算公式排列组合古典概型—复习归纳(教师)

1．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用 随机模拟的方法估计该运动员三次
投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机 数，指定1,2,3,4表
示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代 表三次投篮的结果．经随机
模拟产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 ( )
A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.15

解析：∵20组随机数中恰有2个大于等于1且小于等于4的共有191、2 71、932、812、393
5
五组，∴其概率为＝0.25.
20
2． (2010·北京高考)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数 为b，
则b＞a的概率是 ( )
43
A. B.
55
21
C. D.
55
解析：分 别从两个集合中各取一个数，共有15种取法，其中满足b＞a的有3种取法，故所
31
求事件 的概率为P＝＝.
155
3．先后抛掷两枚均匀的骰子(骰子是一种正方体玩具，在正方体各 面上分别有点数
1,2,3,4,5,6)，骰子落地后朝上的点数分别为x，y，则log
2 x
y＝1的概率为 ( )
15
A. B.
636
11
C. D.
122
解析 ：抛掷2枚骰子，共有6×6＝36种情况，因为log
2x
y＝1，所以y＝2x，此时满足 题意
31
的数对(x，y)共有(1,2)、(2,4)、(3,6)三种情况，所以概率P＝ ＝.
3612
4．(2010·江苏高考)盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球．若从 中随机摸出两只球，
则它们颜色不同的概率是________．

解析：设3只白 球为A，B，C,1只黑球为d，则从中随机摸出两只球的情形有：AB，AC，
1
Ad，BC ，Bd，Cd共6种，其中两只球颜色不同的有3种，故所求概率为.
2
5.学校有两个食堂 ，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同
一个食堂用餐的概率为_____ ___．
解析：每人用餐有两种情况，故共有2
3
＝8种情况．他们在同一食堂用餐 有2种情况，故他
21
们在同一食堂用餐的概率为＝.
84

1．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是 的．
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成 的和．
2．古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典模型．
(1)试验中所有可能出现的基本事件 ．
(2)每个基本事件出现的可能性 ．
3．古典概型的概率公式
一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，如果某个事件A
包含的结果有 m个，那么事件A的概率为P(A)＝ .


考点一 简单古典概型的概率
有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这 两颗正
四面体玩具的试验：用(x，y)表示结果，其中x表示第1颗正四面体玩具出现的点数，y表< br>示第2颗正四面体玩具出现的点数．
(1)写出试验的基本事件；
(2)求事件“出现点数之和大于3”的概率；
(3)求事件“出现点数相等”的概率．
[自主解答] (1)这个试验的基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2 ,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，
(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)， (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共16个．
(2)事件“出现点数之和大于3”包 含以下13个基本事件：(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，
(3,1) ，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．
13
故P＝.
16
41
(3)事件“出现点数相等”包含以下4个 基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．故P＝＝.
164

某口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球．
(1)共有多少个基本事件？
(2)摸出的2只球都是白球的概率是多少？



解：(1)分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，从中摸出2只球，有如 下基本事件[摸到1,2
号球用(1,2)表示]：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5) ，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．
因此，共有10个基本事件．





(2) 如图所示，上述10个基本事件的可能性相同，且只有3个基本事件是摸到2只白球(记为
事件A)，即 (1,2)，(1,3)，(2,3)，故P(A)＝
3
.
10
3
.
10
(3)故共有10个基本事件，摸出2只球都是白球的概率为



考点二 复杂的古典概型
(2011·苏北四市联考)如图，在某城市中，M，N 两地之间有整齐的方格形道路网，
其中A1、A2、A3、A4是道路网中位于一条对角线上的4个交汇 处．今在道路网M，N处的
甲、乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以 相同的速度同
时出发，直到到达N，M处为止．

(1)求甲经过A2到达N处的方法有多少种；
(2)求甲、乙两人在A2处相遇的概率；
(3)求甲、乙两人相遇的概率．

[自主解答] (1)甲经过A
2
，可分为两步：
第一步，甲从M到A
2
的方法有C
1
3
种；
第二步，甲从A
2
到N的方法有C
1
3
种．
2< br>所以甲经过A
2
到达N处的方法有(C
1
3
)＝9种． (2)由(1)知，甲经过A
2
的方法数为9；乙经过A
2
的方法数也为 9.
所以甲、乙两人在A
2
处相遇的方法数为9×9＝81；
8181
甲、乙两人在A
2
处相遇的概率为
33
＝. C
6
C
6
400
(3)甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在A
1
、A
2
、A
3
、A
4
处相遇，他们在A
i
(i＝1,2,3,4)处
4142434
相遇的走法有(C
i< br>3
－
1
)
4
种方法，所以(C
0
3
)＋(C
3
)＋(C
3
)＋(C
3
)＝164，故甲、乙两 人相遇的概
16441
率为＝.
400100

某车间甲组有10 名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人．现
采用分层抽样方法(层内采用不 放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术
考核．
(1)求从甲、乙两组各抽取的人数；
(2)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；
(3)求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率．



解：(1)由于甲、乙两组各有10名工人，根据分层抽样原理，要
从甲、乙两组中共抽取4名工人 进行技术考核，则从每组各抽取2名工人．
1
C
1
8
4
C
6
(2)记A表示事件：从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，则P(A)＝
2
＝.
C
10
15
(3)A
i
表示事件：从甲组抽取的2 名工人中恰有i名男工人，i＝0,1,2.




B
j
表示事件：从乙组抽取的2名工人中恰有j名男工人，j＝0,1,2.
B表示事件：抽取的4名工人中恰有2名男工人．
A
i
与B
j独立，i，j＝0,1,2，且B＝A
0
·B
2
＋A
1
·B
1
＋A
2
·B
0
.
故P(B)＝P(A0
·B
2
＋A·B
1
＋A
2
·B
0< br>)
＝P(A
0
) ·P(B
2
)＋P(A
1
) ·P(B
1
)＋P(A
2
) ·P(B
0
)
11 2
C
2
C
2
C
1
C
1
C
2
C
6
31
444
C
66
C
46
＝
2
·
2
＋
2
·
2
＋
2
·
2
＝.
C
10
C
10
C
10
C
10
C
10
C
10
75



现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通晓日语，B1、B2、B3通晓俄语，C1、< br>C2通晓韩语，从中选出
通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．
(1)求A1被选中的概率；
(2)求B1和C1不全被选中的概率．


解：从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其所有可能的结果组成的基本事件空
间Ω＝ {(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B 3，C1)(A1，
B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C 1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，
(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1) ，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，
B3，C1)，( A3，B3，C2)}由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽
取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．



< br>(1)用M表示“A
1
恰被选中”这一事件，则M＝{(A
1
，B1
，C
1
)，(A
1
，B
1
，C
2< br>)，(A
1
，B
2
，
C
1
)，(A
1
，B
2
，C
2
)，(A
1
，B
3
，C
1
)，(A
1
，B
3
，C
2
)}， 事件M由6个基本事件组成，
因而P(M)＝
61
＝.
183
( 2)用N表示“B
1
、C
1
不全被选中”这一事件，则其对立事件N表示“B
1
、C
1
全被选中”
这一事件，由N＝{(A
1
， B
1
，C
1
)，(A
2
，B
1
，C
1
)，(A
3
，B
1
，C
1
)}，事件N有3个 基本事件
组成，所以P(N)＝
31
＝.
186
15
(3)由对立事件的概率公式P(N)＝1－P(N)＝1－＝.
66


考点三 古典概型与统计的综合问题
(2010·湖南高 考)为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C
的相关人员中，抽取若干人组成研究 小组，有关数据见下表(单位：人).
高校
A
B
C
相关人数
18
36
54
抽取人数
x
2
y
(1)求x，y；
(2)若从高校B，C抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自高校C的概率．

x
2
y
[自主解答] (1)由题意可得，＝＝，所以x＝1，y＝3. < br>183654
(2)记从高校B抽取的2人为b
1
，b
2
，从 高校C抽取的3人为c
1
，c
2
，c
3
，则从高校B，C抽
取的5人中选2人作专题发言的基本事件有(b
1
，b
2
)，(b< br>1
，c
1
)，(b
1
，c
2
)，(b
1
，c
3
)，(b
2
，c
1
)，
(b< br>2
，c
2
)，(b
2
，c
3
)，(c
1
，c
2
)，(c
1
，c
3
)，(c
2
，c
3
)共10种．
设选中的2人都来自高校C的事件为X，则X包含的基 本事件有(c
1
，c
2
)，(c
1
，c
3
)，(c
2
，c
3
)
共3种．因此P(X)＝
3
.
10
3
故选中的2人都来自高校C的概率为.
10

某高级中学共有学生2000人，各年级男、女生人数如下表：
年级
性别
女生
高一
373
高二
x
高三
y
男生 377 370
z
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19.
(1)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在高三
年级抽取多少人？
(2)已知y≥245，z≥245，求高三年级女生比男生多的概率．




x
解：(1)∵＝0.19，∴x＝380，
2000
高三年级人数为y＋z＝2000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层抽样的方法在全 校抽
48
取48名学生，应在高三年级抽取的人数为×500＝12.
2000(2)设“高三年级女生比男生多”为事件A，高三年级女生、男生数记为(y，z)．由(1)知y＋z< br>＝500，且y，z∈N
*
，
则基本事件空间包含的基本事件有
( 245,255)，(246,254)，(247,253)，(248,252)，(249,251)，( 250,250)，(251,249)，(252,248)，
(253,247)，(254,24 6)，(255,245)，共11个，
事件A包含的基本事件有
(251,249)，( 252,248)，(253,247)，(254,246)，(255,245)，共5个，
55
∴P(A)＝.故高三年级女生比男生多的概率为.
1111



高考对本节内容的考查形式既有选择题、填空题，也有解答题 ，主要考查古典概
型概率公式的应用．尤其是古典概型与互斥事件、对立事件的综合问题更是高考的热点 ，
2010年福建高考将古典概型与向量等知识结合考查，代表了高考的一个重要考向．

[考题印证] (2010·福建高考)(12分)设平面向量a
m
＝(m,1)，b
n
＝(2，n)，其中m，n∈
{1,2,3,4}．
(1)请列出有序数组(m，n)的所有可能结果；
(2)记“使得a
m
⊥ (a
m
－b
n
)成立的(m，n)”为事件A，求事件A发生的概率．


[规范解答] (1)有序数组(m，n)的所有可能结果为：
(1, 1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1) ，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，
(4,3)，(4,4)，共16 个．
……………………………………………………………(6分)
(2)由a
m< br>⊥(a
m
－b
n
)得m
2
－2m＋1－n＝0，即n ＝(m－1)
2
.
……………………………………………………………(8分) < br>由于m，n∈{1,2,3,4}，故事件A包含的基本事件为(2,1)和(3,4)，共2个．又基本 事件的总数
为16，故所求的概率为P(A)＝
21
＝.………………………………… …………(12分)
168


1．求古典概型概率的步骤
(1)分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m.
m
(2)利用公式P(A)＝求出事件A的概率．
n
2．有放回抽样和无放回抽样的概率
在古典概型的概率中，将涉及两种不同的抽取 方法，设袋内装有n个不同的球，现从中依
次摸球，每次只
摸一只，具有两种摸球的方法．
(1)有放回．
每次摸出一只后，仍放回袋中，然后再摸一只，这种摸
球的方法称为有放回的抽样，显然，对于有放回的抽
样，每次摸出的球可以重复，且摸球可无限地进行下去．
(2)无放回．
每次摸出一只后，不放回原袋中，在剩下的球中再摸一
只，这种摸球方法称为无放回的抽样．显然，对于无放
回的抽样，每次摸出的球不会重复出现，且摸球只能进
行有限次．



1．(2011·黄冈模拟)设集合P＝{b,1}，Q＝{c,1,2}，P
b＝c的概率是 ( )
1113
A. B. C. D.
8424
?
Q，若b，c∈{2,3,4,5,6,7,8,9}，则
解析：依题意得当b＝2时，c可从3,4,5,6,7,8,9中选取，此时b≠c；当b从3,4,5,6, 7,8,9中
71
选取时，有b＝c.因此，b＝c的概率为＝.
7＋7
2
2
2．(2011·银川模拟)将一骰子抛掷两次，所得向上的点数分别为m和n，则函数y＝ mx
3
3
－nx＋1在[1，＋∞)上为增函数的概率是 ( )
15
A. B.
26
32
C. D.
43
2
解 析：由题可知，函数y＝mx
3
－nx＋1在[1，＋∞)上单调递增，所以y′＝2mx2
－n≥0
3
在[1，＋∞)上恒成立，所以2m≥n，则不满足条件的(m，n )有(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，
2
(2,6)共6种情 况，所以满足条件的共有30种情况，则函数y＝mx
3
－nx＋1在[1，＋∞)上
3
305
单调递增的概率为＝.
366
3．(2010·安徽高考)甲从正 方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形
四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则 所得的两条直线相互垂直的概率是 ( )
34
A. B.
1818
56
C. D.
1818
解析：甲 从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形的四个顶点中任
6×6
意选择 两个顶点连成直线，所得的直线共有＝18(对)，而相互垂直的有5对，故根据古
2
5
典概型概率公式得P＝.
18
4．(2010·辽宁高考)三张卡片上分别写上字母E，E ，B，将三张卡片随机地排成一行，恰
好排成英文单词BEE的概率为________．



解析：
21
基本事件总数为6，所含基本事件个数为2，所以所求的概率是P＝＝.
63< br>5．一笼里有3只白兔和2只灰兔，现让它们一一出笼，假设每一只跑出笼的概率相同，则
先出笼 的两只中一只是白兔，而另一只是灰兔的概率是__________．
解析：法一：设3只白免分别 为b
1
，b
2
，b
3,
2只灰兔分别为h
1
，h
2
.则所有可能的情况是(b
1
，
h
1
)， (b
1
，h
2
)，(b
2
，h
1
)，(b
2
，h
2
)，(b
3
，h
1
)，(b3
，h
2
)，(h
1
，b
1
)，(h
2
，b
1
)，(h
1
，b
2
)，(h
2< br>，
b
2
)，(h
1
，b
3
)，(h
2
，b
3
)，(b
1
，b
2
)，(b
1< br>，b
3
)，(b
2
，b
1
)，(b
2
，b
3
)，(b
3
，b
1
)，(b
3
， b
2
)，(h
1
，
h
2
)，(h
2
，h
1
)，共20种情况，其中符合一只白兔而另一只是灰兔的情况有12种，∴所求概123
率为＝.
205
法二：从笼子中跑出两只兔子的情况有A
2
5
＝20种情况．
111
C
1
3
C
2
＋C
2
C3
123
设事件A：出笼的两只中一只是白兔，另一只是灰兔．则P(A)＝＝＝. 2
A
5
205
6．(2010·山东高考)一个袋中装有四个形状大小完 全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
(2)先从袋中随机取 一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，
该球的编号为n，求n＜m＋2 的概率．
解：(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和 4,2和
3,2和4,3和4，共6个．
从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2,1和3两个．
21
因此所求事件的概率P＝＝.
63
(2)先从袋中随机取一个球，记下 编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，
其一切可能的结果(m，n)有：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，( 3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，
(4,3)，(4,4) ，共16个．
又满足条件n≥m＋2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个，所以满 足条件n≥m＋2的事件
3
的概率为P
1
＝.
16
313
故满足条件n＜m＋2的事件的概率为1－P
1
＝1－＝.
1616