倍数的公式组合数学教案.

组合数学教案
（1）使学生正确理解组合的意义，正确区分排列、组合问
题； （2）使学生掌握组合数的计算公式、组合数的性质用组合数与排列数
之间的关系； （3）通过学习组合知识，让学生掌握类比的学习方法，并提
高学生分析问题和解决问题的能力； （4）通过对排列、组合问题求解与剖
析，培养学生学习兴趣和思维深刻性，学生具有严谨的学习态度。 教学建议
一、知识结构 二、重点难点分析 本小节的重点是组合的定义、组合数
及 组合数的公式，组合数的性质。难点是解组合的应用题。突破重点、难点的
关键是对加法原理与乘法原理 的掌握和应用，并将这两个原理的基本思想贯穿
在解决组合应用题当中。 组合与组合数，也有上面 类似的关系。从n个不
同元素中任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中任取m个元< br>素的一个组合。所有这些不同的组合的个数叫做组合数。从集合的角度看，从
n个元素的有限集中 取出m个组成的一个集合（无序集），相当于一个组合，
而这种集合的个数，就是相应的组合数。 解排列组合应用题时主要应抓住
是排列问题还是组合问题，其次要搞清需要分类，还是需要分步．切记： 排组
分清（有序排列、无序组合），加乘明确（分类为加、分步为乘）． 三、教法
设计 1．对于基础较好的学生，建议把排列与组合的概念进行对比的进行
学习，这样有利于搞请这两组概念的 区别与联系． 2．学生与老师可以合
编一些排列组合问题，如“45人中选出5人当班干部有多少 种选法？”与“45
人中选出5人分别担任班长、副班长、体委、学委、生委有多少种选法？”这
是两个相近问题，同学们会根据自己身边的实际可以编出各种各样的具有特色
的问题，教师要引导学生 辨认哪个是排列问题，哪个是组合问题．这样既调动
了学生学习的积极性，又在编题辨题中澄清了概念． 为了理解排列与组合
的概念，建议大家学会画排列与组合的树图．如，从a,b,c,d 4个元素中取出
3个元素的排列树图与组合树图分别为： 排列树
图 由排列树图得到，从a,b,c,d 取出3个元
素的所有排列有24个，它们分别是：
abc ,abd,,adc,adb,bac,bad,bca,bcd,bda,bdc.……dca,dcb. 组合树
图 由组合树图可得，从a,b,c,d中取出3个元素的组合有4个，它们
是 (abc),(abd),(acd),(bcd). 从以上两组树图清楚的告诉我们，排列树图
是对称的，组合图式不是对称的，之所以排列树图具有对称性，是因为对于
a,b,c,d四个字母哪一 个都有在第一位的机会，哪一个都有在第二位的机会，
哪一个都有在第三位的机会，而组合只考虑字母不 考虑顺序，为实现无顺序的
要求，我们可以限定a,b,c,d的顺序是从前至后，固定了死顺序等于无 顺序，
这样组合就有了自己的树图． 学会画组合树图，不仅有利于理解排列与组
合的概念，还有助于推导组合数的计算公式． 3．排列 组合的应用问题，
教师应从简单问题问题入手，逐步到有一个附加条件的单纯排列问题或组合问
题，最后在设及排列与组合的综合问题． 对于每一道题目，教师必须先让
学生独立思考，在进行全 班讨论，对于学生的每一种解法，教师要先让学生判
断正误，在给予点播．对于排列、组合应用问题的解 决我们提倡一题多解，这
样有利于培养学生的分析问题解决问题的能力，在学生的多种解法基础上教师< br>要引导学生选择最佳方案，总结解题规律．对于学生解题中的常见错误，教师
一定要讲明道理，认 真分析错误原因，使学生在是非的判断得以提
高． 4．两个性质定理教学时，对定理1，可以用下 例来说明：从4个不
同的元素a，b，c，d里每次取出3个元素的组合及每次取出1个元素的组合分< br>别是 这就说明从4个不同的元素里每次取出3个元素的组合与从 4个
元素里每次取出1个元素的组合是—一对应的． 对定理2，可启发学生从
下面问题的讨论得出．从n个不同元素 ， ，…， 里每次取出m个不同
的元素（ ），问：（1）可以组成多少个组合；（2）在这些组合里，有多少
个是不含有 的； （3）在这些组合里，有多少个是含有 的；（4）从
上面的结果，可以得出一个怎样的公式．在此基础上引出定理2． 对
于 ，和 一样，是一种规定．而学生常常误以为是推算出来的，因此，教
学时要讲清楚． 教学设计示例 教学目标 （1）使学生正确理解组
合的意义，正确区分排列、组合问题； （2）使学生掌握组合数的计算公
式； （3）通过学习组合知识，让学生掌握类比的学习方法，并提高学生
分析问题和解决问题的能力； 教学重点难点 重点是组合的定义、组合数
及组合数的公式； 难点是解组合的应用题． 教学过程设计 （－）导入新
课 （教师活动）提出下列思考问题，打出字幕． ［字幕］一条 铁路
线上有6个火车站，（1）需准备多少种不同的普通客车票？（2）有多少种不
同票价的普 通客车票？上面问题中，哪一问是排列问题？哪一问是组合问题？
（学生活动）讨论并回答． 答案提示：（1）排列；（2）组
合． ［评述］问题（1）是从6个火车站中任选两个，并按一定 的顺序排
列，要求出排法的种数，属于排列问题；（2）是从6个火车站中任选两个并成
一组， 两站无顺序关系，要求出不同的组数，属于组合问题．这节课着重研究
组合问题． 设计意图：组合 与排列所研究的问题几乎是平行的．上面设计
的问题目的是从排列知识中发现并提出新的问题． （二）新课讲授 ［提
出问题 创设情境］ （教师活动）指导学生带着问题阅读课文． ［字
幕］1．排列的定义是什么？ 2．举例说明一个组合是什么？ 3．一个
组合与一个排列有何区别？ （学生活动）阅读回答． （教师活动）
对照课文，逐一评析． 设计意图：激活学生的思维，使其将所学的知识迁
移过渡，并尽快适应新的环境． 【归纳概括 建立新知】 （教师活
动）承接上述问题的回答，展示下面知识． ［字幕］模型：从 个不同
元素中取出 个元素并成一组，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个
组合． 如前面思考题：6个火车站中甲站→乙站和乙站→甲站是票价相同的车
票，是从6个元素中取出2个元素 的一个组合． 组合数：从 个不同元
素中取出 个元素的所有组合的个数，称之，用符号 表示，如从6个元素
中取出2个元素的组合数为 . ［评述］区分一个排列与一个组合的关键< br>是：该问题是否与顺序有关，当取出元素后，若改变一下顺序，就得到一种新
的取法，则是排列问 题；若改变顺序，仍得原来的取法，就是组合问题． （学
生活动）倾听、思索、记录． （教师活动）提出思考问题． ［投
影］ 与 的关系如何？ （师生活动）共同探讨．求从 个不同元素中取
出 个元素的排列数 ，可分为以下两步： 第1步，先求出从这 个
不同元素中取出 个元素的组合数为 ； 第2步，求每一个组合
中 个元素的全排列数为 ． 根据分步计数原理，得到 ［字幕］公
式1： 公式2： （学生活动）验算 ，即一条铁路上6个火车站
有15种不同的票价的普通客车票． 设计意图： 本着以认识概念为起点，
以问题为主线，以培养能力为核心的宗旨，逐步展示知识的形成过程，使学生< br>思维层层被激活、逐渐深入到问题当中去． 【例题示范 探求方法】 （教师
活动）打出字幕，给出示范，指导训练． ［字幕］例1 列举从4个元
素 中任取2个元素的所有组合． 例2 计算：（1） ；
（2） ． （学生活动）板演、示范. （教师活动）讲评并指出用两种方法计
算例2的第2小题． ［字幕］例3 已知 ，求 的所有值. （学生活
动）思考分析． 解 首先，根据组合的定义，有 ① 其
次，由原不等式转化为 即 解得 ② 综合①、②，
得 ，即 ［点评］这是组合数公式的应用，关键是公式的选择． 设计
意图：例题教学循序渐进，让 学生巩固知识，强化公式的应用，从而培养学生
的综合分析能力． 【反馈练习 学会应用】 （教师活动）给出练
习，学生解答，教师点评． ［课堂练习］课本P99练习第2，5，6
题． ［补充练习］ ［字幕］1．计算： 2．已知 ，
求 . （学生活动）板演、解答． 设计意图：课堂教学体现以学生为本，
让全体学生参与训练，深刻揭示排列数公式的结构、特征及应用． 【点评矫
正 交流提高】 （教师活动）依照学生的板演，给予指正并总结． 补充练习
答案： 1．解：原式： 2．解：由题设得 整理化简
得 ， 解之，得 或 （因 ，舍去）， 所以 ，所
求 ［字幕］小结： 1．前一个公式主要用于计算具体的组合数，而
后一个公式则主要用于对含有字母的式子进行化简和论证 ． 2．在解含组
合数的方程或不等式时，一定要注意组合数的上、下标的限制条件． （学生活
动）交流讨论，总结记录． 设计意图：由“实践——认识——一实践”的
认识论 ，教学时抓住“学习—一练习——反馈———小结”这些环节，使教学
目标得以强化和落实． （三）小结 （师生活动）共同小结． 本节主要内容有
1．组合概念． 2．组合数计算的两个公式． （四）布置作业 1．课
本作业：习题10 3第1（1）、（4），3题． 2．思考题：某学习小组有
8个同学，从男生中选2人，女生中选 1人参加数学、物理、化学三种学科竞
赛，要求每科均有1人参加，共有180种不同的选法，那么该小 组中，男、女
同学各有多少人？ 3．研究性题： 在 的 边上除顶点 外有 5
个点，在 边上有 4个点，由这些点（包括 ）能组成多少个四边形？能组
成多少个三角形？ （五）课后点评 在学习了排列知识 的基础
上，本节课引进了组合概念，并推导出组合数公式，同时调控进行训练，从而
培养学生分 析问题、解决问题的能力． 作业参考答案 2．解；
设有男同学 人，则有女同学 人，依题意有 ，由此解得 或 或
2．即男同学有5人或6人，女同学相应为3人或2人． 3．能组
成 （注意不能用 点为顶点）个四边形， 个三角形． 探究活动 同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年
卡，那么四张不同的分 配万式可有多少种？ 解 设四人分别为甲、乙、
丙、丁，可从多种角度来解． 解法一 可将拿贺卡的情况，按甲分别拿
乙、丙、丁制作的贺卡的情形分为三类，即： 甲拿乙制作的贺卡时，则贺
卡有3种分配方法． 甲拿丙制作的贺卡时，则贺卡有3种分配方
法． 甲拿丁制作的贺卡时，则贺卡有3种分配方法． 由加法原理得，贺
卡分配方法有3+3+3=9种． 解法二 可从利用排列数和组合数公式角度
来考虑．这时还存在正向与逆向两种思考途径． 正向思考，即从 满足题设
条件出发，分步完成分配．先可由甲从乙、丙、丁制作的贺卡中选取1张，
有 种取法，剩下的乙、丙、丁中所制作贺卡被甲取走后可在剩下的3张贺卡
中选取1张，也有 种，最后剩下2人可选取的贺卡即是这2人所制作的贺
卡，其取法只有互取对方制作贺卡 1种取法．根据乘法原理，贺卡的分配方法
有 （种）． 逆向思考，即从4人取4张不同贺卡的 所有取法中排除不
满足题设条件的取法．不满足题设条件的取法为，其中只有1人取自己制作的
贺卡，其中有2人取自己制作的贺卡，其中有3人取自己制作的贺卡（此时即
为4人均拿自己制作的贺卡 ）．其取法分别为 1．故符合题设要求的取
法共有 （种）． 说明（1）对一类元素不 太多而利用排列或组合计算公
式计算比较复杂，且容易重复遗漏计算的排列组合问题，常可采用直接分类 后
用加法原理进行计算，如本例采用解法一的做法． （2）设集合 ，如果
S中元素的一个排列 满足 ，则称该排列为S的一个错位排列．本例就属
错位排列问题．如将S的所有错位排列数记为 ，则 有如下三个计算公式
（李宇襄编著《组合数学》，北京师范大学出版社出版）：
① ② ③