翻棱公式《平方差公式》典型例题

《平方差公式》典型例题
典型例题
例1 下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能？
（1） ； （2） ；
（3）
（5）
； （4）

．
分析：两个多项式 相乘，只有当这两个多项式各分为两部分之后，它们的一部分完全相同，
而另一部分只有符号不同，才能 够运用平方差公式．
解：（1）两个二项式的两项分别是 ， 和 ， 两部分的符号都不相同，
没有完全相同的项，所以不能用平方差公式．
（2）这两个二项式的两项分别是 ，
完全相同的项，所以不能用平方差公式．
（3） 与 ， 与 ， 与
和 ， ，所含字母不相同，没有
，没有完全相同的项，不能用平方差公式．
（4）两个二项式中， 完全相同，但
的指数不同，所以不能用平方差公式．
（5） 与
用平方差公式．
例2 计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
；
；
；
．
， 与
与 除去符号不同外，相同字母
，只有符号不同， 完全相同，所以可以用平方差公式．可
分 析：在应用乘法公式进行实际问题的计算时，多项式的系数、指数、符号、相对位置不一
定符合公式的标 准形式，但只要对题目的结构特征进行认真观察，就可以发现这几个题目都可以
应用平方差公式进行计算 ．
解：（1）原式

（2）原式




或原式


（3）原式






（4）原式



说明：1）乘法公式中的字母

，可以表示数，也可以表示字母 ，还可以表示一个单项
式或多项式；2）适当添加括号，将有利于应用乘法公式，添加括号的方法不同， 一题可用多种
解法，得出相同的结果；3）一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形 式的
题目，加以调整，使它变化为符合公式标准的形式．
例3 计算 ．
分析：本题有四种思路，①它属于多项式乘法可以直接用法则计算．②若将原式整理为
可用平方差公式计算．③观察两因式中，都有
数的两项， 和 ，也可以直接用平方差公式计算，可得
，得
解：



或






．符号变
，两因式中都有



．
，又有互为相反
．④可变形为
说明：根据平方差公式的特征，一般常见的变形有位置变化 ，如
化，系数变化，还有一些较复杂的变形，如
，并且 与 互为相反数，因此，可以凑成平方差公式的结构特征，即
．
例 4 利用平方差公式计算 ：
（1）1999×2001； （2） ．
分析：运用 平方差公式可使与例2类似的计算题变得十分简便．运用平方差公式计算两个有
理数的积时，关键是要将 其写成平方差法：（1）观察法．如第（1）题适合此法；（2）平均数
法．如第（2）题中，
解：（1）1999×2001=


（2）

说明：在进行有理数运算时适当运用平方差公式会使运算简便．
例5 计算：(
a-2
b
)(2
a
-
b
)-(2
a
-< br>b
)(
b
+2
a
)
分析：前两个相乘的多项式 不符合平方差公式特征，只能用“多项式乘多项式”；后两个多
项式相乘可以用平方差公式，算出的结果 一定要打上括号，再进行下面的计算.
解：(
a
-2
b
)(2
a
-
b
)-(2
a
-
b
)(
b< br>+2
a
)
=2
a
-
ab
-4
ab
+2
b
-［(2
a
)-
b
］ 打括号
=2
a
-5
ab
+2
b
-(4
a-
b
)
=2
a
-5
ab
+2
b
-4
a
+
b

=-2
a
-5
ab
+3
b

说明：当进行计算 时，用平方差公式计算出的结果一定要打上括号再与其他项进行加、减、
乘、除等运算！

22
2222
2222
2222