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阶乘的公式数学教案-平方差公式

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-10 09:30
tags:平方差公式

成语大全及解释40000-山东省协和学院


初中数学教案
----平方差公式
备课人:
14. 平方差公式

1.掌握平方差公式的推导和运用,以及对平方差公式的几何背景的理解.(重点)
2.掌握平方差公式的应用.(重点)

一、情境导入
1.教师引导学生回忆多项式与多项式相乘的法则.
学生积极举手回答.
多项式与多项式相乘的法则:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每 一项分别乘以
另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
2.教师肯定学生的表现,并讲解一种特殊形式的多项式与多项式相乘——平方差公式.
二、合作探究
探究点:平方差公式
【类型一】 判断能否应用平方差公式进行计算
下列运算中,可用平方差公式计算的是( )
A.(
x

y
)(
x

y
)
B.(-
x

y
)(
x

y
)
C.(-
x

y
)(
y

x
)
D.(
x

y
)(-
x

y
)
解析:A中含
x

y
的项符号相同,不能用平方差公式计算,错误; B中(-
x

y
)(
x

y
)
= -(
x

y
)(
x

y
),含
x

y
的项符号相同,不能用平方差公式计算,错误;C中(-
x
-< br>y
)(
y

x
)=(
x

y
)(
x

y
),含
x
的项符号相同,含
y
的项符号相反,能用平方差公式计算,正确;
D中(
x

y
)(-
x

y
)=-(
x

y
)(
x< br>+
y
),含
x

y
的项符号相同,不能用平方差公式 计算,
错误;故选C.
方法总结:对于平方差公式,注意两个多项式均为二项式且两个二项式 中有一项完全相
同,另一项互为相反数.
【类型二】 直接应用平方差公式进行计算
利用平方差公式计算:
(1)(3
x
-5)(3
x
+5);
(2)(-2
a

b
)(
b
-2
a
);
(3)(- 7
m
+8
n
)(-8
n
-7
m
); 2
(4)(
x
-2)(
x
+2)(
x
+4).
解析:直接利用平方差公式进行计算即可.
222
解:(1)(3
x
-5)(3
x
+5)=(3
x
)-5=9
x
-25; < br>2222
(2)(-2
a

b
)(
b
-2< br>a
)=(-2
a
)-
b
=4
a

b

2222
(3)(-7
m
+8
n
)(-8n
-7
m
)=(-7
m
)-(8
n
)=49< br>m
-64
n

2224
(4)(
x
-2) (
x
+2)(
x
+4)=(
x
-4)(
x
+4)=
x
-16.
方法总结:应用平方差公式计算时,应注意以下几个问题:(1 )左边是两个二项式相乘,
并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数;(2)右边是相同 项的平方减去相
反项的平方;(3)公式中的
a

b
可以是具体数, 也可以是单项式或多项式.
【类型三】 平方差公式的连续使用
248
求2(3+1)(3+1)(3+1)(3+1)的值.
解析:根据平方差公式,可把2看成是(3-1),再根据平方差公式即可算出结果.
248 24822
解:2(3+1)(3+1)(3+1)(3+1)=(3-1)(3+1)(3+1)(3 +1)(3+1)=(3-1)(3
484488816
+1)(3+1)(3+1)=(3- 1)(3+1)(3+1)=(3-1)(3+1)=3-1.
方法总结:连续使用平方差公式,直到不能使用为止.
【类型四】 应用平方差公式进行简便运算
利用平方差公式简算:
12
(1)20×19;(2)×.
33
1211
解析:(1)把 20×19写成(20+)×(20-),然后利用平方差公式进行计算;(2)把
3333
× 写成(13+×(13-,然后利用平方差公式进行计算.
121118
解:(1)20×19=(20+)×(20-)=400-=399;
333399
(2)×=(13+×(13-=169-=.
方法总结:熟记平方差公式的结构并构造出公式结构是解题的关键.
【类型五】 化简求值
先化简,再求值:(2
x

y
)(
y
+2
x
)-(2
y

x
)(2
y

x
),其中
x
=1,
y
=2.
解析:利用平方差公式展开并合并同 类项,然后把
x

y
的值代入进行计算即可得解.
2222222 22
解:(2
x

y
)(
y
+2
x
)-(2
y

x
)(2
y

x
)=4< br>x

y
-(4
y

x
)=4
x
y
-4
y

x
=5
x

2 22
5
y
.当
x
=1,
y
=2时,原式=5×1- 5×2=-15.
方法总结:利用平方差公式先化简再求值,切忌代入数值直接计算.
【类型六】 利用平方差公式探究整式的整除性问题
对于任意的正整数
n
,整式(3
n
+1)(3
n
-1)-(3-
n
)(3+n
)的值一定是10的倍数吗?
解析:利用平方差公式对代数式化简,再判断是否是10的倍数.
222
解:原式= 9
n
-1-(9-
n
)=10
n
-10=10(
n
+1)(
n
-1),∵
n
为正整数,∴(
n
-1) (
n
+1)为整数,即(3
n
+1)(3
n
-1)-(3-
n
)(3+
n
)的值是10的倍数.
方法总结:对于平方差中的< br>a

b
可以是具体的数,也可以是单项式或多项式,在探究
整除性或倍 数问题时,要注意这方面的问题.
【类型七】 平方差公式的实际应用
王大伯家把一块边 长为
a
米的正方形土地租给了邻居李大妈.今年王大伯对李大妈说:
“我把这块地一边 减少4米,另外一边增加4米,继续租给你,你看如何?”李大妈一听,
就答应了.你认为李大妈吃亏了 吗?为什么?
解析:根据题意先求出原正方形的面积,再求出改变边长后的面积,然后比较二者的大
小即可.
22
解:李大妈吃亏了.理由:原正方形的面积为
a
,改变边长后面积为(< br>a
+4)(
a
-4)=
a
22
-16,∵
a

a
-16,∴李大妈吃亏了.
方法总结:解决实际问题的关键是根据题意列出算式,然后根据公式化简解决问题.
【类型八】 平方差公式的几何背景
如图①,在边长为
a
的正方形中剪去 一个边长为
b
的小正方形(
a

b
),把剩下部分拼
成一个梯形(如图②),利用这两幅图形的面积,可以验证的乘法公式是______________.

1
22
解析:∵左图中阴影部分的面积是
a

b
,右图中梯形的面积是(2
a
+2
b
)(
a
b
)=(
a
2

b
)(
a

b
),∴
a

b
=(
a

b
)(
a

b
),即可验证的乘法公式为:(
a

b)(
a

b
)=
a

b
.
2222
方法总结:通过几何图形之间的数量关系可对平方差公式做出几何解释.
三、板书设计
平方差公式
文字语言:两数和与这两数差的积,等于它们的平方差
22
符号语言:(
a

b
)(
a

b
)=
a

b


学生通过“做一做”发现平方 差公式,同时通过“试一试”用几何方法证明公式的正确
性.通过这两种方式的演算,让学生理解平方差 公式.本节教学内容较多,因此教材中的练
习可以让学生在课后完成.

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