圆柱体的公式14.2.1 平方差公式

14
.
2
.
1

平方差公式


知识与技能：
1
.
经历探索平方差公式的过程
.

2
.
会推导平方差公式,并能运用公式进行简单的运算
.

过程与方法：
1
.
在探索平方差公式的过程中,培养学生的符号感和推理能力
.

2
.
培养学生观察、归纳、概括的能力
.

情感与价值观：
在计算的过程中发现规律,并能用符号表示,从而体会数学的简洁美
.


【重点】

平方差公式的推导和应用
.

【难点】

理解平方差公式的结构特征,灵活应用平方差公式
.


【教师准备】

教材图14
.
2
-
1的投影图片
.

【学生准备】

复习多项式乘法的有关计算法则
.



导入一:

在一次智力抢答赛中,主持人提供了两道题:
1
.
21×19=?

2
.
103×97=?
主持人话音刚落,就立刻有一个学生刷地站起来抢答说:“第一题等于399,第二题等于9991.
”其速度之快,
简直就是脱口而出
.
同学们,你知道他是如何计算的吗 ?你想不想掌握他的简便、快速的运算招数呢?
[设计意图]

通过“速算王的绝招 ”这一故事的情境创设,引发学生学习的兴趣,同时激发了学生的好奇心
和求知欲,顺利引入新课
.

导入二:

【小小设计师】
现在有一块边长为
a< br>米的正方形草皮要建成街心公园,但在运输的过程中一角遭到损坏,使得正方形草
皮一角有边长为
b
米的小正方形草皮无法使用,请你帮助设计一下,将不规则草皮通过剪拼变成规则的图形来建成街心公园,看谁的方法多!

【思考】

不规则草皮的面积怎样用代数式表示?规则草皮的面积怎样表示?它们之间又有什么关系?
导入三:

从前,有一个狡猾的庄园主,把一块边长为
a
米的正方形 土地租给张老汉种植,第二年,他对张老汉说:“我
把这块地的一边增加5米,另一边减少5米,继续租 给你,租金不变,你也没有吃亏,你看如何?”张老汉一听觉得
好像没有吃亏,就答应了,回到家中,把 这事和邻居们一讲,邻居们都说:“张老汉,你吃亏了!”张老汉非常吃惊
.
同
学们, 你知道张老汉为什么吃亏吗?
通过本节课的学习,你将能解释其中的原因!
[设计意图]

导入二与导入三都是通过问题情境,让学生感受生活中的数学知识,积 极投入到本节课的学
习之中,激发了学生学习本节课知识的热情
.



[过渡语]

某些特殊形式的多项式相乘,可以写成公式的形式,当遇到 相同形式的多项式相乘时,就可以
直接运用公式写出结果
.

一、公式的推导

思路一
探究:计算下列多项式的积,你能发现它们的运算形式与结果有什么规律吗?
(1)(
x
+1)(
x-
1);
(2)(
m
+2)(
m-
2);
(3)(2
x
+1)(2
x-
1)
.

解:(1)(
x
+1)(
x-
1)
=
x
2
-x
+
x-
1
=
x
2
-
1
.

(2)(
m
+2)(
m-
2)
=
m
2
-
2
m
+2
m-
4
=
m
2
-
4
.

(3)(2
x
+1)(2
x-
1)
=4
x
2
-
2
x
+2
x-
1
=4
x
2
-
1
.

引导学生用自己的语言叙述所发现的规律,允许学生之间互相补充,教师不急于概括
.

归纳:上面几个算式都是形如
a
+
b
的多项式与形如
a-b
的多项式相乘
.

[平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式,在教学 中,首先应让学生思考:你能发现什么吗?让学
生经历观察(每个算式和结果的特点)、比较(不同算式 之间的异同)、归纳(可能具有的规律)、提出猜想的过
程,学生在发现规律后,还应通过符号运算对规 律进行证明]
再举几个这样的运算例子
.

让学生独立思考,每人在组内举 一个例子(可口述或书写),然后由其中一个小组的代表来汇报
.

[这里是对前边进行的运算的讨论,为下一步运用公式进行简单计算打下基础]
计算(
a
+
b
)(
a-b
)
.

让学生计算,归纳算式的特征,说明结果的形式
.

解:(
a
+
b
)(
a-b
)=
a
2
-ab
+ab-b
2
=
a
2
-b
2
.

然后,教师系统总结平方差公式
.

平方差公式:(
a
+< br>b
)(
a-b
)=
a
2
-b
2
.< br>
语言叙述: 两个数的和乘以这两个数的差等于这两个数的平方差
.
这个公式 叫做(乘法的)平方差公式
.

教师引导学生归纳这个公式的一些特点:如公式左、右 两边的结构,教给学生记忆公式的方法
.

[知识拓展]

公式的结 构特征:(1)公式左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另
一项互为相反数< br>.
(2)公式右边是二项式中的两项的平方差,即相同项的平方减去相反项的平方
.(3)平方差公
式的推导体现了从特殊到一般的数学思想方法
.

思路二
请同学们计算:
(1)(
a
+
b
)(
a-b);(2)(
x
+3)(
x-
3)
.

解:(1)(
a
+
b
)(
a-b
)
=
a
2
-ab
+
ab-b
2

=
a
2
-b
2
.

(2)(
x
+3)(
x-
3)
=
x
2
-
3
x
+3
x-
9
=
x
2
-
9
.

思考下列问题:
1
.
等式左边的两个多项式有什么特点?
2
.
等式右边的多项式有什么规律?
3
.
你能用上面的规律直接计算下列各式吗?
(1)(
a
+2)(
a-
2);
(2)(3
a
+1)(3
a-
1)
.

解: (1)(
a
+2)(
a-
2)=
a
2
-
2
2
=
a
2
-
4
.

(2)(3
a
+1)(3
a-
1)=(3
a
)
2
-
1
2
=9
a
2
-
1
.

4
.
你能用一句话归纳出上述等式的规律吗?
5
.
你有什么不清楚的问题想问老师吗?
【教师质疑总结】
对问题系列中的关键问题进行提问答疑,教师提出两数和乘这两数的差的公式
.
(
a
+
b
)(
a-b
)=
a
2
-b
2
.

【学生解决问题】

学生根据教师交给的问题,分组讨论,由小组长做好记录
.

学生反馈问题:
每组自告奋勇回答,把解决问题的过程和结果向教师和全班同学汇报,并提出自己小组存在的问题
.

【学生提出】
(1)为什么两数和乘这两数的差的公式是对的?
( 2)(
a
+2)(
a-
2)型,可以用两数和乘它们的差的公式完成吗? < br>(3)怎样形式的多项式相乘可以用两数和乘这两数的差的公式?(当然,我们的学生还可能会问出许多我
们事先不曾预料到的问题)
波利亚曾说:“如果你不能解决所提出的问题,可先解决一个与此 有关的问题
.
”故先构筑这一系列的与两
数和乘这两数的差的公式推导有关的问题,让 学生积极探索,勇于创新
.

一方面,人人尝试了问题的解决,另一方面,鼓励学生 发现问题
.
正如爱因斯坦所说:提出一个问题比解决
一个问题更重要
.
因为它需要创造性的想象力得出两数和乘这两数的差的公式的基本特征:两个二项式相乘,
一项相同, 一项相反,且相同的写在前面
.

二、新知应用


[过渡语]

刚才通过探究,我们掌握了平方差公式的格式以及计算方法,利用这个公 式我们可以计算具有
这种特点的多项式乘法
.

思路一

运用平方差公式计算
.

(1)(3
x
+2)(3
x-
2);
(2)(
- x
+2
y
)(
-x-
2
y
)
.

填表:
(
a
+
b
)(
a-b
)
(3
x
+2)(3
x-
2)
(
-x
+2
y
)(
-x-
2
y
)
a



b

a
2
-b
2
最后结果


2 (3
x
)
2
-
2
2


< br>对本例的第(1)小题可以采用学生独立完成,然后抢答的形式;第(2)小题可以采用小组讨论的形式, 要求
学生在给出表格所提示的解法之后,思考别的解法:提取后一个因式里的负号,将2
y看作“
a
”,将
x
看作“
b
”,然后
运用平方 差公式计算
.

(1)正确理解公式中字母的广泛含义,是正确运用这一公式的关键, 设计本环节,旨在通过将算式中的各项
与公式里的
a
,
b
进行对照, 进一步体会字母
a
,
b
的含义,加深对字母含义广泛性的理解:即它们既可以 是数,也
可以是含字母的整式
.

(2)在具体计算时,当有一个二项式两 项的符号都为负时,往往不易判断
a
,
b
,如第(2)小题,此时可以通过< br>小组合作交流,放手让学生去思考、讨论,有助于学生思维互补、有条理地思考和表达,更有助于学生合作 精
神的培养
.

(3)通过例1第(2)小题引导学生多角度思考问题,可以加深对公式的理解
.


计算
.

(1)(
y
+2)(
y-2)
-
(
y-
1)(
y
+5);
(2)102×98
.

〔解析〕

此处仍先让学生独立思 考,然后自主发言,口述解题思路,允许他们算法的多样化,然后通过比
较,优化算法,达到简便计算的 目的
.

[运用平方差公式进行数的简便运算的关键是根据数的形式特征,把相乘的两 数化成两数和与两数差的
乘积形式,教学时可让学生自己寻找相乘两数的形式特征]
你能根据下面的两个图形解释平方差公式吗?

演示图形的变换过程,体会过程中不变的量,并能用代数恒等式表示
.

[ 此处将教材的图分解为两个图形,是考虑到学生数与形结合的思想方法掌握得不够熟练;利用两个图
形可 以清楚变化的过程,便于联想代数的形式]
思路二
教师提出问题:你会用两数和乘这两数的差的公式了吗?
请你计算:(独立思考)
1
.
(1)(
a
+3)(
a-
3);
( 2)(2
a
+3
b
)(2
a-
3
b
);
(3)(1+2
c
)(1
-
2
c
);
( 4)(
-
2
x-y
)(2
x-y
)
.
< br>2
.
观察:(
-
2
x
+
y
)(
)
.

在括号内填入怎样的代数式,才能运用两数和乘它们的差的公式进行计算?由此你想到了什么规律?
【几何解释】
(1)请表示图(1)中阴影部分的面积
.

(2) 将阴影部分拼成了一个长方形,如图(2)所示,这个长方形的长和宽分别是多少?你能表示出它的面积
吗?
(3)比较前两问的结果,你有什么发现?

S
阴
=
a
2
-b
2
S
阴
=(
a
+
b
)(
a-b
)
所以(
a
+
b
)(
a-b
)=
a
2
-b
2
.

学生由面积相等推得两数和乘这两数的差的公式
.

(
a
+
b
)(
a-b
)=
a< br>2
-b
2
.

3
.
练习(巩固公式,学会计算)
.

(1)(
-
4
a-
0
.
1)(4
a
+0
.
1 );
(2)(2
x
+
y
)(
y-
2
x< br>);
(3) (
a
2
+2) (
a
2

-
2);
(4)(
-a
+
b
)(
a+
b
),
上面各式能不能用两数和乘以这两数的差的公式进行计算?如果能的话 ,每一式可以看作是哪两式(或
数)的和与差的积?你能计算吗?
[分组讨论,达成共识;合作讨论,互相启发;互相学习,激发灵感]
学生对于第(2)小题 提出把(
y-
2
x
)中的“
-
”号提出,变为
-< br>(2
x-y
),然后运用两数和乘以这两数的差的公式进
行计算的创新思维.

用面积相等来证明两数和乘以这两数的差的公式的准确性,让学生熟悉公式,学会公式 的应用,有趣味、
有挑战性的问题,激发学生的兴趣,培养学生一题多解的发散思维,要求学生解答并继 续前进,不只满足于用某
种方法求得问题的解答,而不再进行进一步的思考
.
对于(2
x
+
y
)(
y-
2
x
),应培养学生的创 新精神,思考它解法的
多样性
.

【老师提出问题】


1
.
你已经学到了两数和乘以这两数的差的公式的哪些知识?(小组讨论,汇报结果)
2
.
判断正误:(独立练习,得出答案)
(1)(
-a-b
)(
a-b
)=
a
2
+
b
2
;
(2)(
-a
+
b
)(
-a-b
)=
-a
2
-b
2
;
(3)(2x
+3)(2
x-
3)=2
x
2

-
9;
(4)(3
x-
1)(
-
3
x-
1)=9
x
2
—1
.

3
.
(独 立思考,分组讨论)化简:(
x-y
)(
x
+
y
)
-
(
x-
2
y
)(2
x
+
y
)< br>.

[知识拓展]

利用几何方法验证平方差公式是有局限性的,因为 图形中的
a
,
b
只能是正数,且有
a
>
b
,而公
式中的
a
,
b
并无此限制
.

< br>1
.
平方差公式:(
a
+
b
)(
a-b)=
a
2
-b
2
.

2
.
应用平方差公式计算时,应注意以下几个问题:
(1)左边是两个二项 式相乘,并且这两个二项式有一项完全相同,另一项互为相反数
.

(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方
.

(3)公式中的
a
,
b
可以看作是具体的数,也可以是单项式或多项式
.

( 4)对形如两数和与这两数差相乘的算式,都可以运用这个公式计算,相比用多项式乘以多项式法则简便
.


14
.
2
.
1

平方差公式
1
.
公式的推导
文字语言
符号语言 (
a
+
b
)(
a-b
)=
a
2
-b
2

2
.
新知应用
例1
例2


本节课教师从智力抢答赛入手,在教学设计时提供充分探索与交流的空间,使学生经历观察、 猜测、推理、
交流等活动
.
学生刚接触这类乘法,对于公式中的字母
a
,
b
用其他代数式替换,让学生在题目中先找出
a
和
b
,
左边为两数的和乘以两数的差,在这两个二项式中有一项(
a
)完全相同,另一项(< br>b
与
-b
)互为相反数,右边为这
两个数的平方差,即完全相同的项的 平方减去符号相反的项的平方
.
公式中的
a
,
b
不仅可以表 示具体的数字,
还可以是单项式、多项式等代数式
.
提醒学生利用平方差公式计算,首 先观察是否符合公式的特点,这两个数
分别是什么,其次要区别相同的项和相反的项,表示两数平方差时 要加括号
.

平方差公式(
a-b
)(
a
+
b
)=
a
2
-b
2
,它是特殊的整式的乘法,运用这一公 式可以简捷地计算出符合公式特征的
多项式乘法的结果
.
教师很细致地给学生讲了以上 特点,学生容易接受,课堂气氛活跃,收到了一定的效果
.


1
.
在公式得出后,教师急于代替学生说出公式的结构特点,而不是让学生自己独立说出,此举不利于加深< br>学生对公式结构的掌握,在后来的学习中也就难以灵活运用,同时也不利于培养学生的口头表达能力
.

2
.
在用几何推理验证平方差公式的时候,学生掌握得不好
.
没有明确图形的变化过程,教师指导不够到
位
.


公式 的推导是本节课的关键,要让学生自己去发现公式的结构特点,自己总结概括出乘法公式,并且能正确地
加以应用
.
在进行计算时,要指导学生找到相同的项和互为相反数的项,然后再进行计算
.
引导学生理解平方差
公式的几何意义时,可以事先准备图片,通过拼图验证公式的正确性< br>.
那么,学生就能明白我们为什么要学习平
方差公式
.
从激发学生的学 习兴趣考虑,此举效果可能更好