电线公式《平方差公式》案例分析

《平方差公式》案例分析
xxx 20XX年12月29日 10:31
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一、教材分析：

[本小节在教材中的作用和地位]：

本节内容是在学习整式乘法的基础上进行的，它 是代数以至整个数学中应用
最广泛的公式之一，是构建学生代数知识结构，培养学生化归的数学思想和换 元
的数学方法的重要载体，在教材中起着承上启下的作用.

二、目标分析：

[教学目标]：

1、知识与技能目标

(1)经历探索平方差公式的过程，熟悉平方差公式；

(2)能说出平方差公式的结构特征，会用平方差公式进行简单运算；

(3)会推导验证平方差公式，能灵活运用平方差公式进行运算.

2、过程与方法目标：

通过创设问题情境，让学生在数学活动中建立平方差公式模型 ，感受数学公
式的意义和作用.养学生的数学建模能力，抽象思维能力，感悟换元变换的思想
方 法，在运用公式解决实际问题的过程中培养学生的化归思想，逆向思维，从而
提高学生灵活运用公式的能 力.

3、情感态度价值观目标：

让学生感受到数学既来源于生活实际，又 是解决生活中许多问题的工具，学
习是有价值的学习，从而促使学生热爱数学研究数学.

[教学重点和难点]：

重点：理解和掌握平方差公式.

难点：灵活应用平方差公式.

三、教法分析与学法分析：

[学情分析]：

学生在知识方面已掌握了整式的概念、整式的加减与乘法运算.在情 感态度
方面个性活泼、思维活跃，已初步具有对熟悉问题进行合作探究的能力.在思维
方面逐渐 具有一定的抽象思维能力，并能较好地利用数形结合的思想解决一些数
学问题.

[教法分析]：


基于本节课内容的特点和八年级学生的特征.遵循教必须 以学为立足点的教
学理念.我以探究体验的教学法为主，为学生创造一个良好的学习情境，通过学
生的自主探究，加深对公式的理解.同时，考虑到学生的个体差异，在各个环节
采用分层教学.

[学法分析]：

以问题为线索，让学生在动口、动手、动脑的活动中学习知识， 让学生进一
步理解“探索发现——归纳验证——应用拓展”这一学习与研究数学问题的方法.

四.教学过程

1.创设情境

将一个边长为m的正方形草坪一边减 少4米,一边增加4米,改建后的草坪形
状发生了怎样的变化?


（从实际生活中引出数学知识,感受数学处处存在）

2.探索活动

师：形的面积怎样变化?

生:面积不变.

师:那就请你通过剪拼手中的长方形纸片与正方形纸片来验证你的猜想!

(学生认为一边减少4边增加4米, 一边减少4米,少的与加的一样,所以面积不
变,此时, 就势提出让学生来验证自己的猜想,学生通过课前准备的10cm×10cm
与8cm×12cm的纸片 来剪纸拼图)

师展示学生拼图：谁的面积大?

生:正方形.

(学生通过剪纸拼图的方式对自己先前的猜想予于否定)

师:多的这部分在拼成的图形中是哪一块的面积?

生:……

师:它是一个什么图形?

生: ……

师:多出的面积是多少?

生: ……

师:如果原来的正方形减少与增加的长度都是n呢？


生: ……

师：如果将多出部分剪掉,所得的图形的面积怎么求?

(通过展示剪掉多出部分 这一过程,让学生感受图形面积可由大的正方形面积
减去小正方形的面积得到)

师：过剪纸拼图的方法来计算出这个图形的面积吗？

(学生很自然的想到这个图形就是被剪的长方形拼成的)

生甲：可以拼成长方形.

生乙:可以拼成梯形.

生丙:可以拼成平行四边形.

……

师:对于同一个图形，不论用 什么方法来求它的面积，这个面积改不改变？那么
你能从中发现什么？” ……

（学 生通过拼图来探索这一图形面积的求法，在此过程中，教师对学生所拼图形
给予充分的评价并鼓励学生从 中发现知识，交流自己的观点）

师:你能用你学过的多项式乘多项式的知识来验证你的发现吗？

（学生利用多项式乘多项式的法则计算(a+b)(a-b)，验证自己的猜想）

3．概念认识

(a+b)(a-b)=a
2
-b
2
这个公式称为平方差公式

师：你能用语言叙述这个公式吗？

生甲:两个数的和乘以两个数的差等于一个数的平方减去另一个数的平方.

师:说的非常好，还有哪位同学来试着说说看？

生乙:两个多项式相乘，其中两个项 都相等，另两个项符号不同，等于符号相同
的数的平方减去符号不同数的平方.

师:很好，请大家根据这一特征来完成下列练习：

（根据学生层次的不同，若学生在 此不能观察出公式特征，教师可增加启发性的
问题,如：等式左边的两个多项式有什么相同，有什么不同 ？两项的符号都不同
吗？等于什么？……学生由此观察发现公式的特征）

练习：（1） 据公式特征，判断下列计算哪些可以用平方差公式?

1)(a+2)(a-2)


2)(5a+b)(5a+b)

3)(-m+n)(-m-n)

4)(2x-3)(-2x+3)

5)(m-2n)(-m-2n)

6)(-5-a)(5+a)

7)(-b+9a)(b+9a)

（学生根据公式左边两个多项式中有两项符号相同 两项符号不同这一特征来判
断哪些计算可以套用平方差公式）

（2）填空

1)(x+2)(x-2)=( )
2
-( )
2

2)(-m+n)(-m-n) =( )
2
-( )
2

3)(m-2n)(-m-2n)= ( )
2
-( )
2

4)(-b+9a)(b+9a)= ( )
2
-( )
2

（这是对公式右边特征的巩固训练，学生根据公式右边是用符号相同项的平方减
去符号不同项的 平方这一特征来填空）

4.例题教学

例1.利用平方差公式计算

1)（3x+2y）(3x-2y)

2）（-7+2m
2
）（-7-2m
2
）

解：1）原式=（3x）
2
-（2y）
2
=9x-4y
2

2) 原式=（-7）
2
-（2m
2
）
2
=49-4m
4

（规范书写步骤，第二小题由学生先自己尝试，再交流答案，对错误进行辨析）

5.巩固练习

计算

1)(a+6)(a-6)

2)(1+x)(1-x)

3)(x+2y)(x-2y)



（形成性训练，学生通过联系熟悉解题过程，规范书写格式）

6.小结：

通过本节课的学习,你认为:

1) .最重要的知识是：

2).最难的知识是：

3).最有感触的是：

4).最想问的问题是：

（让知识从课堂引申到课外）

7.作业

1) .阅读课本34—35页内容

2).（必做题）P
36
A组1、2.


3).(选做题) P
36
B组1、2.


五.教学设想

本节课是在 学习了多项式乘多项式和完全平方公式的基础上学习的又一个
新的乘法公式.本节课由情景入手,设置疑 问,让学生猜想正方形在一边增加4m
一边减少4m的情况下,面积怎样变,然后让学生通过动手剪纸拼 图来验证自己的
猜想.在此过程中,学生可能回有多种拼图方法,教师应尽可能的加以鼓励和引导.由此,学生在探索中验证自己的猜想,同时也感受和认识知识的发生和发展的过
程,得出(a+b) (a-b)=a
2
-b
2
.然后再引导学生从数的角度加以验证自己发现的公 式.
此时,教师给出公式的名称.之后,通过学生尝试对公式的语言叙述来认识公式本
质和特征 .在此过程中,教师应鼓励学生大胆的尝试用自己的语言叙述公式,并从
中抓住学生叙述中闪光之处,抓 住能揭示公式特征的语言加以启发,引导学生充
分认识公式特征.之后,通过先判断哪些计算能用公式, 再到怎么用,让学生先掌
握公式左边特征.再掌握公式右边的特征,从而真正认识和理解公式.之后通过 例
题教学来规范书写,例题教学中对于学生易错的问题让学生先自己尝试,再交流
辨析,对错误 进行剖析和指正.之后通过巩固训练来检测本节课的效果.最后,再
把数学知识应用于生活.在给出应用 题之前,教师通过”看谁算的快”来引导学生

利用所学知识解决问题,在此过程中好学生与学 困生之间可能存在反应速度的不
同,教师顺势引导,让学困生思考其中的”技巧”,让算出答案的反应快 的同学自
己尝试去编题,让不同的人在数学上得到不同的发展.之后再过度到应用题,这样
学生 就能很顺利的解决这个应用题.小结是通过四最让学生回顾本节课的知识,
同时也把知识引申到课堂之外 .

六.教后反思

1.新课标中强调了学生对知识的自主建构与交流探究相 结合的学习方式,本节课
学生在自主探索中发现知识，在交流讨论中辨析知识.

2. 学生通过观察，猜想，操作,验证解决问题,是新课标中所提倡的新的学习方式
----问题探究学习.

3.以折纸活动充分调动学生的参与性，让学生做课堂的主人，教师是活动的参与
者 ，合作者.

4．从学生认识事物的规律和顺序出发，逐步设置问题，引导发现公式特征.