回购公式“平方差公式概念”教学案例及评析

“平方差公式的概念”教学案例及评析
【摘 要】 初中数学课的教学应结合具体的数学内容采用“创
设问题情境、建立知识的模型”的模式展开. 特别对 于抽象的概念
教学，要关注概念的实际背景与形成过程，帮助学生克服记忆概念
的学习方式. 本文以“平方差公式的概念”为例，阐述如何“创设
问题情境、建立知识的模型”的过程.
【关键词】 初中数学；教学案例；过程；评析
一、教学过程
师：我们已经学过了 多项式的乘法，哪个小组能告诉我，“两个
二项式相乘，在合并同类项之前应该有几项？”
生a（抢答）：我认为应该有四项.
师：我也同意a同学的说法（教师给这个小组加上一颗五角星）.
但不知同学们有没有注意到 我刚才说的是合并同类项之前，那
么在合并同类项之后会出现什么情况呢？
（教师多媒体给出 问题串：两个二项式相乘，在没有合并同类
项之后，有没有只有三项的？有没有只有两项的？举例说明. 独立
完成后，今天的小组长组织小组成员交流，记录员把各成员的结果
以自己的方式记在记录本 上）
……
师：哪个组来回答？（话一说完就有很多组的同学站了起来，
最后决定用 剪刀石头布的方式来确定哪个组来回答）
生b：我回答第一个问题，我组分别写出了以下四种情况.（通

过实物投影展示，接着又有几个组的同学把结果通过实物投影仪展
示出来，教师对学生的回答进 行及时有效的评价，并对相应的组打
上星）
生c：我回答第二个问题，我们组写出了以下四种情况：
1. （x + 1）（x - 1） = x2 - x + x - 1 = x2 - 1；
2. （x + 2）（x - 2） = x2 - 2x + 2x - 4 = x2 - 4；
3. （x + y）（x - y） = x2 - xy + xy - y2 = x2 - y2；
4. （x - 3）（x + 3） = x2 + 3x - 3x - 9 = x2 - 9.
（通过实物投影展示，接着 又有几个组的同学把结果通过实物
投影仪展示出来，教师对学生的回答进行及时有效的评价，并对相应的组打上星）
……
师：从上面的例子可以看出两个二项式相乘，合并同类项后积可以是二项式，那么具备什么样的特征时积才会是二项式呢？它们
的积有什么特征？（媒体给出问题 串，要求学生独立完成后，小组
长组织小组成员交流，记录员把各成员的结果以自己的方式记在记
录本上）
……
生d：我们组交流后，认为两个因式的两项中分别有一项相同，
而 另一项互为相反数，积一定是二项式.
生e：我们组交流后认为，当乘式是两个数之和以及这两数之差
相乘时积一定是二项式.

师：我也同意他们的意见. 他们从不同的角度分析了乘式的特
征，用两数和及这两数的差表达 乘式的特征既简单又确切（教师给
这两组打上星）. 那么它们的积有什么特征呢？
生g：积等于乘式中这两数的平方差.
师：我也同意他们的意见. 这组同学特别是用了“这 两个数”
四个字实在是太好了，说明他观察得很仔细，表达也很贴切（教师
给这组打上一颗星） .
师：我们再看一下，为什么具备以上特点的两个二项式相乘，
积会是两项呢？
生 f：具备这样特点的两个二项式相乘时，积的四项中会出现互
为相反数的两项，而这两项合并后为零，所 以就剩下两项了.
师：很好，假如我们用a，b来表示这两个数，你能用这两个字
母表达出刚 才我们所说的等式吗？
生h：（a - b）（a + b） = a2 - b2.
师：非常好，这就是我们今天要学习的平方差公式.
师：你们能算出下面两图中第ⅰ块和第ⅲ块的面积之和吗？（几
何画板给出）
二、案例评析
1. 设置疑问，引入课题
鲁宾斯坦说过，思维通常总是开始于疑问或者问题，开始于惊
奇或者疑惑，开始于矛盾. 适当 的悬念，巧布某种卡壳，引起学生
的好奇，能激发学生的学习兴趣和动机，而学习兴趣能使学生的主
动性积极性剧增，产生良好的效果. 本案例将“两个二项式相乘，
积可能有几项”的问题作为课题引入，目的是激发学生的学习兴趣.
2. 突出了数学课堂教学中的探索性
通过学生自己的试算、观察、发现、总结、归纳，得出 为什么
有的两个二项式相乘其积为两项，因为其中两项是两个数的平方
差，而另两项恰是相反数 ，合并同类项时为零. 让学生经历前人发
现这个概念的“浓缩”过程，让学生尝到了成功的喜悦，激发 了学
生发现思维的火花. 从而培养了学生的观察、概括能力，发展学生
的符号感和推理能力；
3. 引进了计算机（“几何画板”）技术
通过拼图游戏给出平方差公式的一个几何解释，目的是使学生
对此公式有一个更直观的认识.
4. 恰当地处理自主、探究、合作的关系
自主探究合作学习是新课程改革中追求的一种学习 方法，但合
作学习必须建立在学生的独立探索的基础上，否则合作学习将会流
于形式，不能起到 应有的效果，所以我在上课时强调学生先独立思
考，再由当天的小组长组织进行，并由当天的记录员记录 小组成员
的活动情况.
5. 把竞争机制引入课堂，同时进行恰当地评价
让学生在 合作中学习，在竞争中收获，及时对各小组的发言进
行恰当地评价，能调节课堂的气氛，同时也是时代对 我们的要求.
6. 充分发挥课堂教学的民主

在课堂教学中多次用到“你们同意吗？”、“我同意”的话语，
让学生体验到他们才是学习的主 人，教师是他们平等的合作者.