缓和曲线计算公式8.3《平方差公式与完全平方公式》典型例题精析

8.3 完全平方公式与平方差公式


1．了解乘法公式的几何背景，掌握公式的结构特征，并能熟练
运用公式进行简单的计算． < br>2．感受生活中两个乘法公式存在的意义，养成“观察—归纳—
概括”的数学能力，体会数形结合 的思想方法，提高学习数学的兴趣
和运用知识解决问题的能力，进一步增强符号感和推理能力．

1．完全平方公式
(1)完全平方公式：
(
a
＋b
)
2
＝
a
2
＋2
ab
＋
b
2
，
(
a
－
b
)
2
＝
a
2
－2
ab
＋
b
2
.
上式用语言叙述 为：两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的
平方和加(或减)这两个数乘积的2倍．
(2)完全平方公式的证明：
(
a
±
b
)
2＝(
a
±
b
)(
a
±
b
)
＝
a
2
±
ab
±
ab
＋
b
2(多项式乘多项式)
＝
a
2
±2
ab
＋
b< br>2
(合并同类项)．
(3)完全平方公式的特点：
①左边是一个二项式的完 全平方，右边是一个二次三项式，其中
有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中 两
项乘积的2倍．可简单概括为“首平方，尾平方，积的2倍夹中央”．
②公式中的
a
，
b
可以是单项式，也可以是多项式．
③对于符合两数和(或差)的平方的乘法，均可用上述公式计算．
【例1－1】用完全平方公式计算
(1)(
x
＋2
y
)< br>2
；(2)(2
a
－5)
2
；
(3)(－2
s
＋
t
)
2
；(4)(－3
x
－4
y< br>)
2
；
(5)(2
x
＋
y
－3
z
)
2
.
分析：第(1)、(2)两题可直接用和、差平方公式计算；第(3)题
可先把它变成(
t
－2
s
)
2
，然后再计算，也可以把－2
s
看 成一项，用和
平方公式计算；第(4)题可看成－3
x
与4
y
差的平 方，也可以看成－
3
x
与－4
y
和的平方；(5)可把2
x
＋
y
看成一项，用差平方公式计算，
然后再用和平方公式计算，也可以把它看 成2
x
与
y
－3
z
的和平方，
再用差平方公式计算 ．
解：(1)(
x
＋2
y
)
2

＝x
2
＋2·
x
·2
y
＋(2
y
)2
＝
x
2
＋4
xy
＋4
y
2
；
(2)(2
a
－5)
2
＝(2
a
)
2
－2·2
a
·5＋5
2

＝4
a
2
－20
a
＋25；
(3)(－2
s
＋
t
)
2
＝(
t
－2
s
)< br>2

＝
t
2
－2·
t
·2
s
＋(2
s
)
2
＝
t
2
－4
ts
＋4
s
2
；
(4)(－3
x
－4
y
)
2

＝(－3< br>x
)
2
－2·(－3
x
)·4
y
＋(4y
)
2

＝9
x
2
＋24
xy
＋16
y
2
；
(5)(2
x
＋
y
－3
z
)
2
＝[2
x
＋(
y
－3
z< br>)]
2

＝(2
x
)
2
＋2·2
x
·(
y
－3
z
)＋(
y
－3
z
)
2

＝4
x
2
＋4
xy
－12
x z
＋
y
2
－2·
y
·3
z
＋(3
z
)
2

＝4
x
2
＋
y
2
＋9
z
2
＋4
xy
－12
xz
－6
yz
.
(1)千万不要与公式(
ab
)
2
＝
a
2
b
2
混淆，发生类似(
a
±
b
)
2< br>＝
a
2
±
b
2
的错误；(2)切勿把“乘积项”2< br>ab
中的2漏掉；(3)计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的
条件，如符合 ，则可以直接套用公式进行计算；如不符合，应先变形，
使其具备公式的结构特点，再利用公式进行计算 ，如变形后仍不具备
公式的结构特点，则应运用乘法法则进行计算．此外，在运用公式时
要灵活 ，如第(4)题，由于(－3
x
－4
y
)
2
与(3
x
＋4
y
)
2
是相等关系，故
可以把(－3
x－4
y
)
2
转化为(3
x
＋4
y
)< br>2
，再进行计算，再如(5)题，也有
许多不同的方法．
(4)完全平方公式的几何解释．
如图是对(
a
＋
b
)< br>2
＝
a
2
＋2
ab
＋
b
2
几何意义的阐释．大正方形的面
积可以表示为(
a
＋
b
)
2
，也可以表示为
S
＝
S
Ⅰ
＋
S
Ⅱ
＋
S
Ⅲ
＋
S
Ⅳ
，又
S
Ⅲ
，
S
22222
Ⅰ
，
S
Ⅳ
，
S
Ⅱ
分别等于
a
，
ab
，
ab
，
b
，所以S
＝
a
＋
ab
＋
ab
＋
b
＝
a
＋
2
ab
＋
b
2
.从而验证了完全平方 公式(
a
＋
b
)
2
＝
a
2
＋2< br>ab
＋
b
2
.

如图是对(
a
－
b
)＝
a
－2
ab
＋
b
几何意义的阐释． 正方形Ⅰ的面
积可以表示为(
a
－
b
)
2
，也可以 表示为
S
Ⅰ
＝
S
大
－
S
Ⅱ
－S
Ⅳ
＋
S
Ⅲ
，又
S
大
，
S< br>Ⅱ
，
S
Ⅲ
，
S
Ⅳ
分别等于
a
2
，
ab
，
b
2
，
ab
，所以
S
Ⅰ
＝
a
2
－
ab
－
ab
＋b
2
＝
a
2
－2
ab
＋
b
2
.从而验证了完全平方公式(
a
－
b
)
2
＝
a
2
－2
ab
＋
b
2
.
222

【例1－2】下图是四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图
中的 空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于
a
，
b
的恒等式：
__ ________________.

解析：根据图中的面积写一个恒等式，需要用两种方 法表示空白
正方形的面积．首先观察大正方形是由四个矩形和一个空白正方形组
成，所以空白正 方形的面积等于大正方形的面积减去四个矩形的面
积，即(
a
＋
b
)
2
－4
ab
，空白正方形的面积也等于它的边长的平方，即
(
a
－
b
)
2
，根据面积相等有(
a
＋
b
)
2
－4
ab
＝(
a
－
b
)2
.
答案：(
a
＋
b
)
2
－4ab
＝(
a
－
b
)
2

2．平方差公式
(1)平方差公式：
(
a
＋
b
)(
a
－
b
)＝
a
2
－
b
2.
上式用语言叙述为：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两
个数的平方差．
(2)平方差公式的证明：
(
a
＋
b
)(
a
－
b
)
＝
a
2
－
ab
＋
ab
＋
b
2< br>(多项式乘多项式)
＝
a
2
－
b
2
(合并同类项)．
(3)平方差公式的特点：
①左边是两个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互
为相反数；
②右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去互为相反数项
的平方)；
③公式中的
a
和
b
可以是具体的数，也可以是单项式或多项式． < br>利用此公式进行乘法计算时，应仔细辨认题目是否符合公式特
点，不符合平方差公式形式的两个二 项式相乘，不能用平方差公式．如
(
a
＋
b
)(
a
－2
b
)不能用平方差公式计算．
【例2－1】计算：(1)(3
x
＋2
y
)(3
x
－2
y
)；
(2)(－
m
＋
n
)(－
m
－
n
)；
(3)(－2
x
－3)(2
x
－3)．
分析：(1)本题 符合平方差公式的结构特征，其中3
x
对应“
a
”，
2
y< br>对应“
b
”；(2)题中相同项为－
m
，互为相反数的项为
n
与－
n
，
故本题也符合平方差公式的结构特征；(3)利用加法交换律将 < br>原式变形为(－3＋2
x
)(－3－2
x
)，然后运用平方差公式计算 ．
解：(1)(3
x
＋2
y
)(3
x
－2
y
)＝(3
x
)
2
－(2
y
)
2
＝9
x
2
－4
y
2
.
(2)(－
m< br>＋
n
)(－
m
－
n
)＝(－
m
)< br>2
－
n
2
.
(3)(－2
x
－3)(2< br>x
－3)＝(－3＋2
x
)(－3－2
x
)＝(－3)
2
－(2
x
)
2
＝
9－4
x
2
.
利用公式计算，关键是分清
哪一项相当于公式中的
a
，哪一项相当于公式 中的
b
，通常情况下，
为防止出错，利用公式前把相同项放在前面，互为相反数的项放 在后
面，然后套用公式．
(4)平方差公式的几何解释
如图，阴影部分的面积可以 看成是大正方形的面积减去小正方形
的面积，即
a
2
－
b
2
；若把小长方形Ⅲ旋转到小长方形Ⅳ的位置，则此
时的阴影部分的面积又可以看成
S< br>Ⅰ
＋
S
Ⅲ
＝
S
Ⅰ
＋
S
Ⅳ< br>＝(
a
＋
b
)(
a
－
b
)．从而验证了平方差公式(
a
＋
b
)(
a
－
b)＝
a
2
－
b
2
.

【例2－2】 下图由边长为
a
和
b
的两个正方形组成，通过用不
同的方法，计算图 中阴影部分的面积，可以验证的一个乘法公式是
____________________．

分析：要表示阴影部分的面积，可以从两个方面出发：一是观察
阴影部分是由边长为
a
的正方形除去边长为
b
的正方形得到的，所以
它的面积等于
a
2
－
b
2
；二是阴影部分是由两个直角梯形构成的，所以
1
它的面积又等于两个梯形的面积之和．这两个梯形的面积都等于(
b
2
＋
a
)(
a
－
b
)，所以梯形的面积和是(
a
＋
b
)(
a
－
b
)，根据阴影部分的面
积不变， 得(
a
＋
b
)(
a
－
b
)＝
a< br>2
－
b
2
.因此验证的一个乘法公式是(
a
＋
b
)(
a
－
b
)＝
a
2
－
b< br>2
.
答案：(
a
＋
b
)(
a
－< br>b
)＝
a
2
－
b
2

3．运用乘法公式简便计算
平方差公式、完全平方公式不但是研究整式运算的基础，而且在< br>许多的数字运算中也有广泛地运用．不少数字计算题看似与平方差公
式、完全平方公式无关，但若 根据数字的结构特点，灵活巧妙地运用
平方差公式、完全平方公式，常可以使运算变繁为简，化难为易．
解答此类题，关键是分析数的特点，看能否将数改写成两数和的
形式及两数差的形式，若改写成 两数和的形式乘以两数差的形式，则
用平方差公式；若改写成两数和的平方形式或两数差的平方形式，则
用完全平方公式．

【例3】计算：(1)2 013
2
－2 014×2 012；(2)103
2
；(3)198
2
.
分析：(1)2 014＝2 013＋1,2 012＝2 013－1，正好符合平方差
公 式，可利用平方差公式进行简便运算；(2)可将103
2
改写为(100＋
3)2
，利用两数和的平方公式进行简便运算；(3)可将198
2
改写为(200< br>－2)
2
，利用两数差的平方公式进行简便运算．
解：(1)2 013
2
－2 014×2 012
＝2 013
2
－(2 013＋1)×(2 013－1)
＝2 013
2
－(2 013
2
－1
2
)
＝2 013
2
－2 013
2
＋1＝1.
(2)103
2
＝(100＋3)
2
＝100
2
＋2×100×3＋3
2

＝10 000＋600＋9＝10 613.
(3)198
2
＝(200－2)
2
＝200
2
－2×200×2＋2
2

＝40 000－800＋4＝39 204.

4．利用乘法公式化简求值
求代数式的值时 ，一般情况是先化简，再把字母的值代入化简后
的式子中求值．在化简的过程中，合理地利用乘法公式能 使整式的运
算过程变得简单．
在代数式化简过程中，用到
平方差公式及完全平方公式时，要特别注意应用公式的准确性． < br>【例4】先化简，再求值：5(
m
＋
n
)(
m
－n
)－2(
m
＋
n
)
2
－3(
m－
n
)
2
，
1
其中
m
＝－2，
n
＝.
5
解：5(
m
＋
n
)(
m－
n
)－2(
m
＋
n
)
2
－3(m
－
n
)
2
＝5(
m
2
－
n
2
)－2(
m
2
＋
2
mn
＋
n< br>2
)－3(
m
2
－2
mn
＋
n
2< br>)＝5
m
2
－5
n
2
－2
m
2－4
mn
－2
n
2
－3
m
2
＋6mn
－
?
1
?
1
222
3
n
＝－10
n
＋2
mn
.当
m
＝－2，
n
＝ 时，原式＝－10
n
＋2
mn
＝－10×
??
5
?
5
?
16
2
＋2×(－2)×＝－.

55
5．乘法公式的运用技巧
一些多项式的乘法或计算几个有理数的积时，表面上看 起来不能
利用乘法公式，实际上经过简单的变形后，就能直接运用乘法公式进
行计算了．有些题 目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的
公式以使计算更简便．
在运用平方差公式时，注意以下几种常见的变化形式：
①位置变化：
(
b
＋
a
)(－
b
＋
a
)＝
a
2－
b
2
.
②符号变化：
(－
a
＋
b
)(－
a
－
b
) < br>＝(－
a
)
2
－
b
2
＝
a
2
－
b
2
.
③系数变化：
(0.5
a
＋3
b
)(0.5
a
－3
b
)
＝(0.5
a
)
2
－(3
b
)
2
.
④指数变化：
(
a
2
＋
b
2
)(
a
2
－
b
2
)
＝(
a
2
)
2
－(< br>b
2
)
2
＝
a
4
－
b
4< br>.
⑤增项变化：
(
a
－
b
－
c
)(
a
－
b
＋
c
)＝(
a
－
b< br>)
2
－
c
2
，
(
a
＋
b
－
c
)(
a
－
b
＋
c
)＝
a
2
－(
b
－
c
)
2
.
⑥增因式变化：
(
a
＋
b
)(
a
－b
)(－
a
－
b
)(－
a
＋
b
)
＝(
a
2
－
b
2
)(
a
2
－
b
2
)＝(
a
2
－
b
2
)
2
.
⑦连用公式变化：
(
a
－
b
)(
a
＋
b
)(
a
2
＋
b
2)(
a
4
＋
b
4
)
＝
a
8
－
b
8
.

【例5－1】 计算：(1)(
a
＋
b
＋1)(
a
＋
b
－ 1)；
(2)(
m
－2
n
＋
p
)
2
；
(3)(2
x
－3
y
)
2
(2
x
＋3
y
)
2
.
解：(1)(
a
＋
b＋1)(
a
＋
b
－1)
＝[(
a
＋
b
)＋1][(
a
＋
b
)－1]
＝(
a
＋
b
)
2
－1＝
a
2
＋2
ab
＋
b
2
－1.
(2)(
m
－2
n
＋
p
)
2

＝[(
m
－2
n
)＋
p
]
2
< br>＝(
m
－2
n
)
2
＋2·(
m
－2
n
)·
p
＋
p
2

＝
m
2
－4
mn
＋4
n
2
＋2
mp
－4
np
＋
p
2
.
(3)(2
x
－3
y< br>)
2
(2
x
＋3
y
)
2

＝[(2
x
－3
y
)(2
x
＋3
y
)]< br>2

＝(4
x
2
－9
y
2
)
2
＝(4
x
2
)
2
－2×4
x
2
×9< br>y
2
＋(9
y
2
)
2

＝16x
4
－72
x
2
y
2
＋81
y
4
.
在运用平方差公式时，应分
清两个因式是否是两项之和与差的形式，符合形式 才可以用平方差公
式，否则不能用；完全平方公式就是求一个二项式的平方，其结果是
一个三项 式，在计算时不要发生：(
a
＋
b
)
2
＝
a
2
＋
b
2
或(
a
－
b
)
2＝
a
2
－
b
2
这样的错误；当因式中含有三项或三项以 上时，要适当的分组，看成
是两项，从而应用平方差公式或完全平方公式．
【例5－2】计算 ：(2＋1)(2
2
＋1)(2
4
＋1)(2
8
＋1)…( 2
2
n
＋1)的值．
分析：为了能便于运用平方差公式，观察到待求式中都 是和的形
式，没有差的形式，可设法构造出差的因数，于是可乘以(2－1)，这
样就可巧妙地 运用平方差公式了．
解：(2＋1)(2
2
＋1)(2
4
＋1)( 2
8
＋1)…(2
2
n
＋1)
＝(2－1)(2＋1)( 2
2
＋1)(2
4
＋1)(2
8
＋1)…(2
2< br>n
＋1)
＝(2
2
－1)(2
2
＋1)(2
4
＋1)(2
8
＋1)…(2
2
n
＋1)
＝( 2
4
－1)(2
4
＋1)(2
8
＋1)…(2
2< br>n
＋1)
＝…＝(2
2
n
－1)(2
2
n
＋1)＝2
4
n
－1.
6．乘法公式的实际应用
在解决 生活中的实际问题时，经常把其中的一个量或几个量先用
字母表示，然后列出相关式子，进而化简，这往 往涉及到整式的运
算．解题时，灵活运用乘法公式，往往能事半功倍，使问题得到快速
解答．< br>
【例6】一个正方形的边长增加3 cm，它的面积就增加39 cm
2
，
这个正方形的边长是多少？
分析：如果设原正方形的边长为
x
cm，根据题意和正方形的面
积公式可列 出方程(
x
＋3)
2
＝
x
2
＋39，求解即可．
解：设原正方形的边长为
x
cm，则(
x
＋3)
2
＝
x
2
＋39，
即
x
2
＋6
x
＋9＝
x
2
＋39，解得< br>x
＝5(cm)．
故这个正方形的边长是5 cm.

7．完全平方公式的综合运用

学习乘法公式应注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”，
注意为使用公式创造条件．
(1)完全平方公式变形后可得到以下一些新公式：
①
a
2
＋b
2
＝(
a
＋
b
)
2
－2
a b
；
②
a
2
＋
b
2
＝(
a－
b
)
2
＋2
ab
；
③(
a
＋
b
)
2
＝(
a
－
b
)
2＋4
ab
；
④(
a
－
b
)
2
＝(
a
＋
b
)
2
－4
ab
；
⑤(
a
＋
b
)
2
＋(
a
－
b)
2
＝2(
a
2
＋
b
2
)；
⑥(
a
＋
b
)
2
－(
a
－
b< br>)
2
＝4
ab
等．
在公式(
a
±
b
)
2
＝
a
2
±2
ab
＋
b2
中，如果把
a
＋
b
，
ab
和
a2
＋
b
2
分别
看做一个整体，则知道了其中两个就可以求第三个 ．
(2)注意公式的逆用
不仅会熟练地正用公式，而且也要求会逆用公式，乘法公式均可< br>逆用，特别是完全平方公式的逆用——
a
2
＋2
ab
＋
b
2
＝(
a
＋
b
)
2
，
a2
－2
ab
＋
b
2
＝(
a
－
b
)
2
.

a
＋
b
22
【例7－ 1】已知
a
＋
b
＋4
a
－2
b
＋5＝0， 则的值是
a
－
b
__________．
解析：原等式可化为(< br>a
2
＋4
a
＋4)＋(
b
2
－2
b
＋1)＝0，即(
a
＋2)
2
＋(
b
－1)
2
＝0，根据非负数的特点知
a
＋2＝0且
b
－1＝0，从而可知
a
＋
b
a
＝－2且
b
＝1.然后将其代入求的值即 可．
a
－
b
1
答案：
3
【例7－2】已知a
＋
b
＝2，
ab
＝1，求
a
2
＋< br>b
2
的值．
分析：利用完全平方公式有(
a
＋
b< br>)
2
＝
a
2
＋2
ab
＋
b
2
，把2
ab
移到
等式的左边，可得(
a
＋
b)
2
－2
ab
＝
a
2
＋
b
2
，然后代入求值即可．
解：∵(
a
＋
b
)
2＝
a
2
＋2
ab
＋
b
2
，∴
a
2
＋
b
2
＝(
a
＋
b
)
2
－2
aB．
∵
a
＋
b
＝2，
ab＝1，∴
a
2
＋
b
2
＝2
2
－2×1 ＝2.
涉及两数和或两数差及其乘
积的问题，就要联想到完全平方公式．本题也可从条件出发 解答，如
因为
a
＋
b
＝2，所以(
a
＋
b
)
2
＝2
2
，即
a
2
＋2
ab< br>＋
b
2
＝4.把
ab
＝1代入，
得
a
2
＋2×1＋
b
2
＝4，于是可得
a
2
＋
b
2
＝4－2＝2.