排列组合的公式初二代数——平方差公式

平方差公式
一、教学目的和要求
1. 使学生能运用多项式乘法法则导出平方差公式，培养学生分析问题的能力和罗辑思维
的能力。
2. 要求学生牢固地掌握平方差公式，并能熟练地掌握和应用公式进行计算。
二、教学重点和难点
重点：平方差公式的应用。
难点：运用公式过程中出现的系数的差错和符号的变换。
三、教学过程
(一)复习、引入
提问：
1. 多项式乘法法则是什么？
2. 分别用代数式表示a与b的和、差、平方差。（a＋b，a－b， ）
3. 计算
(1)(3＋a)(3－a) (2)(2x＋y)(2x－y)
(3)(2a－1)(2a＋1) (4)(3a＋2b)(3a－2b)
(二)新课
观察以上各式左边的特点与计算结果有什么关系？可以得到乘法公式： ，由于公式右
边是两个 数的平方差的形式，我们称它为平方差公式。因语言叙述出来，即：两个数的
和与这两个数的差的积，等 于这两个数的平方差。
启发学生进一步仔细分析这个公式的结构特征：
1. 公式的左边是 两个二项式的乘积，在这两个二项式中，有一项完全相同，另一项仅相
差一个符号，右边是这两个数的平 方差。
2. 对平方差公式的认识与应用。
(1)公式中的a，b可以表示数（正数或负数 ）也可以表示单项式或多项式，只要符合公
式的结构特征，就可用此公式进行计算。
(2)公式中的 是不可颠倒的，注意是相同项的平方减去相反项的平方，还要注意字母的
系数和指数。
例1 计算
(1)(2x＋3y)(2x－3y)

(2)(－x＋a)(－x－a)
(3)

(4)(－4a－1)(4a－1)
解：
(1)



(2)



(3)



(4)





或



例2 运用平方差公式计算
(1)
102×98
(2)

解：
(1)




(2)



(三)巩固练习
1. 判断对错，如果有错，如何改正？

2. 运用平方差公式计算
(1)
(x＋a)(x－a)
(2)
(3)
(3＋2a)(－3＋2a)
(4)
(5)
(4x－5y)(4x＋5y)
(6)
(a＋3b)(a－3b)




(7)
103×97
(8)

巩固练习答案：
1. (1)错，应是
(2)错，应是
(3)错，应是
(4)错，应是
(5)错，应是
(6)对
(7)错，应是
(8)对
2.
(1)
(3)
(5)
(7) 9991
(2)
(4)

(6)
(8)







(四)小结
1. 记住平方差公式的左边和右边。
2. 运用平方差公式计算时应注意几点：
(1)必须符合平方差公式的结构特征。
(2)若不能直接运用公式，有的只需变换符号后就可以运用。
(3)计算时要注意字母的系数和指数的变化。
(4)在计算过程中，有时可以反复应用公式。
(五)作业
1. 运用平方差公式计算
(1)
(1－5a)(1＋5a)
(2)
(－2x－5)(2x－5)
(3)
(－2x－y)(y－2x)
(4)

(5)
59×61
(6)
39.8×40.2
2. 计算
(1)
(x＋y)(x－y)＋(2x＋y) (2x－y)
(2)
4x(x＋2)－(4x＋3y)(4x－3y)
(3)

(4)
[x＋(y＋1)][x－(y＋1)]
(5)

(6)

(7)

(8)
(a＋2b＋3c)(a－2b－3c)
答案及提示
玉珠)
作业
1.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5) 3599 (6) 1599.96
2.
(1)

(2)

(3) 0 (4)

(5)

(6)

(7) (8)


(佘

完全平方公式

一、教学目的和要求
1. 使学生理解完全平方公式的推导过程。
2. 使学生掌握完全平方公式的结构特点。
3. 要求学生能正确熟练地运用乘法公式进行计算。
二、教学重点和难点
重点：掌握公式特点，熟记公式。
难点：正确、熟练、灵活地运用完全平方公式。
三、教学过程
(一)复习、引入
提问：
1. 多项式的乘法法则是什么？
2. 计算
(1)(a＋b)(a＋b) (2)(a－b)(a－b)
(二)新课
由上面的二个乘法运算得到两个乘法公式：

由于两个公式的右边都是完全平方式，我们称它为完全平方公式。记住文字叙述：两数
和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或者减去）它们的积的2倍。
再让学生观察图形分析，加强对完全平方公式的理解。
图5中，大正方形的面积是 ，它是由两个小正方形的面积 和两个相等的长方形面积（ab）
组成的。

图6中，大正方形的面积是 ，两个小正方形的面积分别是 和 ，而两个长方形的面积
都是(a－b)b，所以有
即



此时进一步总结公式的结构特点：

1. 公式的左边是两数和（或差）的平方，右 边是一个三项式，其中两项是这两个数的平
方，另一项是这二个数积的2倍。（可记住顺口溜：“首平方 ，末平方，首末两倍中间
放”）。两个完全平方公式的右边的三项中，仅有中间一项的符号相反（＋2a b与－2ab），
其余两项完全相同。
2. 完全平方公式与平方差公式都是由多项式相乘后 化简得到的，但结构特征是不同的。
如果在公式
方公式，
中，取a＝b＝y，那么公式变为和的平
，同理，取a＝b＝－y，那么公式变为差的平方公式，
，取a＝x，b＝－y，那么公式变为平方差公式：
，由此可见，运用“换元”法，可以从某些公式中推出新的
公式，公式
式。
是完全平方公式及平方差公式的一般形
3. 完全平方公式有两个，在运用公式中要搞清公式中的a，b是表示什么数或式子。
例如

（把2x与3y分别看成公式中的a和b）
例1 运用完全平方公式计算
(1)

(3)

(5)


解:
(1)



(2)



(3)



(4)



(2)

(4)

(6)


(5)



(6)





例2 填空：
(1)

(2)

(3)

(4)

(5)
解：(1)4ab (2)－4ab (3)4ab
(4)2ab (5)－3ab
(三)巩固练习
1. 运用完全平方公式计算
(1)

(3)

(5)

(7)

(2)

(4)
(6)
(8)





2. 下面各式的计算对不对？应怎样改正？

巩固练习答案：
1.

2. (1)不对，应是
(2)不对，应是
(3)不对，应是




(四)小结
1. 熟记二个完全平方公式。
2. 认清完全平方公式与平方差公式结构特征的区别。
3. 运用公式时要搞清是用“和”或“差”的完全平方公式，应具体问题具体分析，灵活
应用。
(五)作业
1. 判断正误，并改错。


2. 填空：


3，运用完全平方公式计算


答 案 及 提 示

作业：
1. (1)错 应为
(2)对
(3)错 应为
(4)错 应为



(5)对
(6)错 应为
(7)错 应为
(8)对
2.

3.