表面积的公式平方差教学设计

一、内容和内容解析

内容

人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级上册“15.2乘法公式”
（第一课时）

内容解析

《平方差公式》是在学习了有理数运算、列简单的代数式 、一次方程及不等
式、整式的加减及整式乘法等知识的基础上，在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范
例.对它的学习和研 究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为以后
的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母 有理化、解一元二次方程、函数等
内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法.因此，平 方差公式
在初中阶段的教学中也具有很重要地位，是初中阶段的第一个公式.

本节课的教学重点是：经历探索平方差公式的全过程，并能运用公式进行简
单的运算.

二、目标和目标解析

目标

1.经历平方差公式的探索过程，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳
能力；

2.掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简单的运算；

3.会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法.

目标解析：

1.让学生经历“特例──归纳──猜想──验证──用数学符号表示”这一
数学 活动过程，积累数学活动的经验，进一步发展学生的符号感、推理能力、归
纳能力，同时体会数学的简洁 美、培养他们的合情推理和归纳的能力以及在解决
问题过程中与他人合作交流的重要性.

2.让学生了解平方差公式产生的背景，理解平方差公式的意义，掌握平方差
公式的结构特征， 并能灵活运用平方差公式解决问题.在数学活动中，引导学生
观察、分析公式的结构特征以及公式中字母 的广泛含义，并在练习中，对发生的
错误做具体分析，加深学生对公式的理解.

3.通过自主探究与合作交流的学习方式，让学生经历探索新知、巩固新知和
拓展新知这一过程，发挥学 生的主体作用，增强学生学数学、用数学的兴趣.同
时，让学生在公式的运用中积累解题的经验，体会成 功的喜悦.

三、教学问题诊断分析

学生已熟练掌握了幂的运算和 整式乘法，但在进行多项式乘法运算时常常会
确定错某些项符号及漏项等问题．学生学习平方差公式的困 难在于对公式的结构
特征以及公式中字母的广泛含义学生的理解．因此，教学中引导学生分析公式的结构特征，并运用变式训练揭示公式的本质特征，以加深学生对公式的理解．

本节课 的教学难点：利用数形结合的数学思想方法解释平方差公式，灵活运
用平方差公式进行计算．

四、教学过程设计

（一）创设情境，引出课题

问题１：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？

（1）（
x
+1）（
x
-1）= ；

（2）（
m
+2）（
m
-2）= ；

（3）（2
x
+1）（2
x
-1）= ．

【设计意图】通过对特殊的多项式与多项式相乘的计算，既复习了旧知，又
为下面 学习平方差公式作了铺垫，让学生感受从一般到特殊的认识规律，引出乘
法公式----平方差公式．

（二）探索新知，尝试发现

问题２：依照以上三道题的计算回答下列问题：

①式子的左边具有什么共同特征？

②它们的结果有什么特征？

③能不能用字母表示你的发现？

师生活动：教师提问，学生通过自主 探究、合作交流，发现规律，式子左
边是两个数的和与这两个数的差的积，右边是这两个数的平方差，并 猜想出：
．

【设计意图】根据“最近发展区”理论，在学生已掌握的多项乘法法 则的基
础上,探索具有特殊形式的多项式乘法──平方差公式，这样更加自然、合理．

（三）数形结合，几何说理

问题3：活动探究：将长为（
a
+
b
），宽为（
a
－
b
）的长方形，剪下宽为
b
的长方形条，拼成有空缺的正方形，并请用等式表示你剪拼前后的图形的面积关
系．

【设计意图】通过学生小组合作，完成剪拼游戏活动,利用这些图形面积的
相等关系,进一步从 几何角度验证了平方差公式的正确性,渗透了数形结合的思
想，让学生体会到代数与几何的内在联系．引 导学生学会从多角度、多方面来思
考问题．对于任意的
a
、
b
，由学 生运用多项式乘法计算：
，验证了其公式的正确性．

（四）总结归纳，发现新知

问题4：你能用文字语言表示所发现的规律吗？

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．



【设计意图】鼓励学生用自己的语言表述，从而提高学生的语言组织与表达
能力．

（五）剖析公式，发现本质

在平方差公式

中，其结构特征为：
①左边是两个二项式相乘，其中“
a
与
a”是相同项，“
b
与-
b
”是相反项；
右边是二项式，相同项与 相反项的平方差，即

；
②让学生说明以上四个算式中，哪些式子相当于公式中的
a
和
b
，明确公式
中
a
和
b
的广 泛含义，归纳得出：
a
和
b
可能代表数或式．

【设计 意图】通过观察平方差公式，体验公式的简洁性并通过分析公式的本
质特征掌握公式．在认清公式的结构 特征的基础上，进一步剖析
a
、
b
的广泛含
义，抓住了概念的核心， 使学生在公式的运用中能得心应手，起到事半功倍的效
果．

（六）巩固运用，内化新知

问题5：判断下列算式能否运用平方差公式计算：

（1）（2
x
+3
a
）（2
x
–3< br>b
）； （2）

；
（3）（－
m+
n
）（
m
－
n
）； （4）

；
（5）

．
【设计意图】学生经过思考 、讨论、交流，进一步熟悉平方差公式的本质特
征，掌握运用平方差公式必须具备的条件．巩固平方差公 式，进一步体会字母
a
、
b
可以是数，也可以是式，加深对字母含义广泛性的 理解．

问题6：判断下列计算是否正确：

（1）（2
a
–3
b
）（2
a
–3
b
）=4
a
2
－
9
b
2
（ ）

（2）（
x
+2）（
x
– 2）=
x
2
－
2 （ ）

（3）（－3
a
－2）（3
a
－2）=9
a
2
－
4 （ ）

（4）
（ ）

【设计 意图】对学生常出现的错误，作具体的分析，以加深学生对公式的理
解，进一步掌握平方差公式的本质特 征和运用平方差公式必须具备的条件．

问题7：计算：

（1）（2
x
+3）（3
x
－3）；（2）（
b
+2
a
）（2a－
b
）．

解：（1）（2
x
+ 3）（2
x
–3）=（2
x
）
2
－3
2
= 4
x
2
－9

（2）（
b
+2
a
）（2a－
b
）

=（2
a
）
2
－
b
2


=4
a
2
－
b
2


【设计意图】解决操作层面问题．可提议用不同方法计算，以体现学生的创
造性．

（七）拓展深化，发展思维

问题8：计算：

（1）98×（－102）； （2）

．
【设计意图】把相乘两数 转化成两数和与两数差的乘积形式，此题体现了转
化的思想和数式通性；另一题是平方差公式与一般多项 式乘法的综合，注意不能
用公式的仍按多项式乘法法则进行．

问题9：小明 家有一块“
L
”形的自留地，现在要分成两块形状、面积相同
的部分，种上两种不同的 蔬菜，请你来帮小明设计，并算出这块自留地的面积．

【设计意图】 运用平方差公式解决实际问题，体现了数学来源于生活，服务
于生活，学生感受到学习了有用的数学，设 计此题与平方差公式的几何意义相吻
合，加深学生对平方差公式的理解．

（八）小试牛刀，挑战自我

1．在下列括号中填上合适的多项式：



2．看谁算得快：


【设计意图】设计此组题旨 在从正反两方面灵活运用平方差公式，由结果追
溯算式中的相同项和相反项，关键在于理解公式结构特征 ，同时锻炼了学生逆向
思维能力，也为后续的学习做了铺垫．第2个填空题有两种填法，属开放设计．目
的是加强学生对公式结构特征的理解，同时也锻炼学生的发散思维．

（九）总结概括，自我评价

问题10：这节课你有哪些收获？还有什么困惑？

【设计意图】从知识和情感态度两个方面加以小结，使学生对本节课的知识
有一个 系统全面的认识．

（十）课后作业

必做题：P156习题15.2 1

选做题：1．

，则
A
的末位数是_______．
2．计算：（1）

；
（2）

；
（3）

；
（4）

．
【 设计意图】作业分层处理有较大的弹性，体现作业的巩固性和发展性原则，
尊重学生的个体差异，满足多 样化的学习需要，让不同的人在数学上得到不同的
发展．

五、目标检测设计

一、选择题：

1．下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）

A.

B.
C.
二、填空题：

D.
2．计算：


；
3．计算：

4．(__ ___－4
b
)(_____+4
b
)=9
a
2
－ 16
b
2
．

三、计算：

；
5.

；
6．

四、解答题：

； 7．53×47.
8.已知：两个正方形的周长之和等于32cm，它们的面积之差为48cm
2
，求这
两个正方形的边长