指南录后序原文-学习空姐
平方差公式及其应用（含解析）
一、单选题
1. 3
（
22+1
）（
24+1
）（
28+1
）
…
（232+1
）
+1
的个位数是（
）
A. 4 B. 5 C. 6
D. 8
2.
下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（ ）
A.
（
x+a
）（
x
﹣
a
）
B.
（﹣
x
﹣
b
）（
x
﹣
b
）
C.
（
a+b
）（﹣
a
﹣
b
）
D.
（
b+m
）（
m
﹣
b
）
3.
下列各式中，不能用平方差公式计算的是
（
）
A.
（
x-y
）（
-x+y
）
B.
（
-x+y
）（
-x-y
）
C.
（
-x-y
）（
x-y
）
D.
（
x+y
）（
-x+y
）
4.
下列各式能用平方差公式计算的是
( )
A. (2a
＋
b)(2b
－
a) B.
5.
下列各式中能用平方差公式的是（ ）
A.
（
2a
﹣
3
）（﹣
2a+3
）
B.
（
a+b
）（﹣
a
﹣
b
）
C.
（
3a+b
）（
b
﹣
3a
）
D.
（
a+1
）（
a
﹣
2
）
6.
计算（
a+b
）
(-a+b)
的结果是（ ）
A. b
7.
下列各式中，能用平方差公式计算的是（
）
A.
（
2a-b
）（
-2a+b
）
B.
（
a-2b
）（
2a+b
）
C.
（
2a-b
）（
-2a-b
）
D.
（
-2a-b
）（
2a+b
）
8.
下列能用平方差公式计算的是（
）
A. B. C.
（﹣
a+b
）（a
﹣
b
）（
x+2
）（
2+x
）
D.
（
x
﹣
2
）（
x+1
）
-a B. a -b C. -a -2ab+b D. -a +2ab+b
C. (a
＋
b)(a
－
2b) D. (2x
－
1)(
－
2x
＋
1)
9.
若（
x+m
）
2=x2+kx+4
是一个完全平方式，则
k
的值 是（ ）
A. 2 B. 4 C. ±2 D. ±4
10.
下列各式中，不能用平方差公式计算的是（
）
A.
（
-a-1
）（
-a+1
）
B.
（
-a-1
）（
-a+1
）
C.
（
-a-1
）（
-a+1
）
D.
（
a-1
）（
-a-1
）
E.
（
a-1
）（
-a-1
）
11.
下列各式中，计算结果为
81
﹣
x2
的是（ ）
A.
（
x+9
）（
x
﹣
9
）
B.
（
x+9
）（﹣
x
﹣
9
）
C.
（﹣
x+9
）（﹣
x
﹣
9
）
D.
（﹣
x
﹣
9
）（
x
﹣
9
）
12.
为了应用平方差公式计算（
x+2y
﹣
1
）（
x
﹣
2y+1
），下列变形正确的是（
）
A. [x
﹣（
2y+1
）
]2 B. [x+
（
2y+1
）
]2
C. [x
﹣（
2y
﹣
1
）
][x+
（
2y
﹣
1
）
] D. [
（
x
﹣
2y
）
+1][
（
x
﹣
2y
）﹣1]
13.
下列各式中不能用平方差公式计算的是（
）
A.
（
x
﹣
y
）（﹣
y
﹣
x< br>）
B.
（
x2
﹣
y2
）（
x2+y2
）
C.
（
a+b
﹣
c
）（﹣
c
﹣
b+a
）
D.
（﹣
x+y
）（
x
﹣
y
）
14.
下列运算结果错误的是（ ）
A.
（
x+y
）（
x
﹣
y
）
= x2
﹣
y2 B.
（
a
﹣
b
）
2=a2
﹣
b2
C.
（
x+y
）（
x
﹣
y
）（
x2+y2
）
=x4
﹣
y4 D. （
x+2
）（
x
﹣
3
）
=x2
﹣x
﹣
6
15.
下列多项式中，与
-x-y
相乘的结果 是
x2-y2
的多项式是
( )
A. y-x B. x-y C. x+y
D. -x-y
二、填空题
16.
分解因式：
17.
分解因式：
________·
________
18.
计算：（
2m
﹣
n）（
n+2m
）
=________
．
1 9.
已知
a2
﹣
b2=6
，
a
﹣
b=2< br>，则
a+b=________
．
20.
若
x2
﹣
y2=6
，
x+y=3
，则
x
﹣
y=________
．
21.
计算：
(2x+5)(2 x
－
5)
－
(4+3x)(3x
－
4)=________
．
22.
分解因式：
4m2
﹣
9n2= ________
．
三、计算题
23.
计算：
（
1
）（
5m
﹣
6n
）（﹣
6n
﹣
5m
）；
（
2
）（
x2y2+3m
）（﹣
3m+ x2y2
）．
24.
计算：（
5+1
）（52+1
）（
54+1
）（
58+1
）（
516+1< br>）
+
25.
王红同学在计算（
2+1
）（
22+1
）（
24+1
）时，将积式乘以（
2
﹣
1
）得：< br>
解：原式
=
（
2
﹣
1
）（
2+1
）（
22+1
）（
24+1
）
=
（22
﹣
1
）（
22+1
）（
24+1
）
=
（
24
﹣
1
）（
24+1
）
=28
﹣
1
根据上题求：（
2+1
）（
22+1
）（
24+1
）（
28+1
）
…
（
232 +1
）
+1
的个位数字．
26.
计算：（
1
﹣
x
）（
1+x
）
=1
﹣
x2
．
（
1
﹣
x
）（
1+x+x2）
=1
﹣
x3
．
（
1
﹣
x
）（
1+x+x2+x3
）
=1
﹣
x4
．
（
1
）请你仔细观察以上运算，作出大胆猜想：
（
1< br>﹣
x
）（
1+x+x2+x3+…+xn
）
=_______ _
；
（
2
）根据你的猜想进行下列运算：
< br>（
a
）（
1
﹣
2
）（
1+2+22+23+ 24
）
=________
；
（
b
）（
x
﹣
1
）（
x99+x98+…+x2+x+1
）
=___ _____
；
（
3
）计算：
2+22+23+…+2n
．
四、解答题
27.
解方程：
5x+6
（
3x+2
）（
-2+3x
）
-54
（
x-
28.
计算：
（
1
）（
）﹣
1+2×
（﹣
2
）﹣
2-
（﹣
π+3.14
）
0
﹣（
）﹣
3
）
?
（
x+
）
126
﹣4101×
（
2
）用简便方法计算：
1252
﹣
124 ×
（﹣
0.25
）
99
．
29.< br>如果一个正整数数能写成两个连续非负偶数的平方差，我们就把这个数叫做奇异数．例
如
4=22
﹣
02
，
12=42
﹣
22
，
4
和
12
就是奇异数，两个连续正偶数分别用
2k+2
和
k
表
示（
k
是非负整数）．
（
1
）小雷说一个奇异数一定是
4
的倍数，你能说出其中的理由吗？
（
2
）小华说：
“
不是所有的
4
倍数都是奇异数．
”
你认为她的说法对吗？若认为正确，举出
一个不是奇异数的
4
的倍 数．
（
3
）如果一个正整数数能写成两个连续非负奇数的平方差， 我们就把这个数叫做美丽数．①
若一个美丽数一定是
m
的倍数，
m=
；
②
m
的倍数一定
（填是或不是）美丽数；
③是否存在一个正整数，它既是奇异数，又是美丽数？若存 在，写出一个这样的数；若不存
在，简要说明理由．
五、综合题
30.
化简
（
1
）
( x- y)( x+ y) ( x2+ y2) ( x4+ y4)·…·(x16+ y16)
；
（
2
）
(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)
．< br>
答案解析部分
一、单选题
1. 3
（
22+1
）（
24+1
）（
28+1
）
…
（
232+1
）
+1
的个位数是（
）
A. 4 B. 5 C. 6
D. 8
【答案】
C
【考点】平方差公式
【解析】【解答 】解：
3
（
22+1
）（
24+1
）（
28+1< br>）
…
（
232+1
）
+1=
（
22
﹣
1
）（
22+1
）（
24+1
）
（
28 +1
）
…
（
232+1
）
+1
=
（24
﹣
1
）（
24+1
）（
28+1
）
…
（
232+1
）
+1…=264
﹣
1+1=264
，
∵
21=2
，
22=4
，
23=8
，
24=16
，
25=32
，
…
，
∴个位上数字以
2
，
4
，
8
，
6
为循 环节循环，
4=16
，
∵
64÷
∴
2 64
个位上数字为
6
，即原式个位上数字为
6
．
故选
C
．
【分析】原式中的
3
变形为
2 2
﹣
1
，反复利用平方差公式计算即可得到结果．
2.
下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（ ）
A.
（
x+a
）（
x
﹣
a
）
B.
（﹣
x
﹣
b
）（
x
﹣
b
）
C.
（
a+b
）（﹣
a
﹣
b
）
D.
（
b+m
）（
m
﹣
b
）
【答案】
C
【考点】平方差公式
【解析】【解答】解 ：
A
、
B
、
D
符合平方差公式的特点，故能运用平方差公式 进行运算；
C
、两项都互为相反数，故不能运用平方差公式进行运算．
故选
C
．
【分析】根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且 这两个二项式中有一项完全相同，
另一项互为相反数解答．
3.
下列各式中，不能用平方差公式计算的是
（
）
A.
（
x-y
）（
-x+y
）
B.
（
-x+y
）（
-x-y
）
C.
（
-x-y
）（
x-y
）
D.
（
x+y
）（
-x+y
）
【答案】
A
【考点】平方差公式
【解析】
【分析】根据公式（
a+b)
（
a-b)=a2-b2
的左边的形式，判断能否使用．
【解答】
A
、由于两个括号中含
x
、
y
项的符号都相反， 故不能使用平方差公式，
A
正确；
B
、两个括号中，
-x
相同，含
y
的项的符号相反，故能使用平方差公式，
B
错误；
C
、两个括号中，含
x
项的符号相反，
y
项的符号相同 ，故能使用平方差公式，
C
错误；
D
、两个括号中，含
x
项的符号相反，
y
项的符号相同，故能使用平方差公式，
D
错误；< br>
故选：
A
．
4.
下列各式能用平方差公式计算的是
( )
A. (2a
＋
b)(2b
－
a) B.
2x
＋
1)
【答案】
B
【考点】平方差公式
【解析】【解答】能用平方差公式计算的，必须是两项的和与这两项的差的积
.
故选
B.
5.
下列各式中能用平方差公式的是（ ）
A.
（
2a
﹣
3
）（﹣
2a+3
）
B.
（
a+b
）（﹣
a
﹣
b
）
C.
（
3a+b
）（
b
﹣
3a
）
D.
（
a+1
）（
a
﹣
2
）
【答案】
C
【考点】平方差公式
【解析】【解答】解 ：
A
、∵（
2a
﹣
3
）（﹣
2a+3
）< br>=
﹣（
2a
﹣
3
）（
2a
﹣
3）
=
﹣（
2a
﹣
3
）
2
，
∴不能用平方差公式，故本选项错误；
B
、∵（< br>a+b
）（﹣
a
﹣
b
）
=
﹣（
a+ b
）（
a+b
）
=
﹣（
a+b
）
2
，
∴不能用平方差公式，故本选项错误；
C
、∵（< br>3a+b
）（
b
﹣
3a
）
=
（
b+ 3a
）（
b
﹣
3a
），
∴两多项式的一项互为相反数，一项相等，符合平方差公式，
即能用平方差公式，故本选项正确；
D
、∵平方差公式的特点是两多项式的 一项互为相反数，一项相等，
a
和
a
相等，﹣
1
和﹣
2
不互为相反数，
∴不能用平方差公式，故本选项错误；
故选
C
．
【分析】提取﹣
1
后得出﹣（
2a
﹣
3
）（
2a
﹣
3
）推出﹣（
2a< br>﹣
3
）
2
，
即可判断
A
；提 取
﹣
1
后得出﹣（
a+b
）（
a+b
）推出﹣（< br>a+b
）
2
，
即可判断
B
；根据平方 差公式的特点是
两多项式相乘，且两多项式的一项互为相反数，一项相等，即可判断
C
、
D
．
6.
计算（
a+b
）
(-a+b)
的结果是（ ）
A. b
【答案】
A
【考点】平方差公式
-a B. a -b C. -a -2ab+b D. -a +2ab+b
C. (a
＋
b)(a
－
2b) D. (2x
－1)(
－
【解析】解答：（
a+b
）
(-a+b)=
（
b+a
）
(b-a)= b-a.
分析：本题考查了平方差公式，掌
握运算法则是解答本题的关键
.
故选
A.
7.
下列各式中，能用平方差公式计算的是（
）
A.
（
2a-b
）（
-2a+b
）
B.
（
a-2b
）（
2a+b
）
C.
（
2a-b
）（
-2a-b
）
D.
（
-2a-b
）（
2a+b
）
【答案】
C
【考点】平方差公式
【解析】【分析】两数之和与两数差的积等于这两个数的平方差，据此作答即可．
【解答】
A
、不是两数之和与两数差的积，不能使用平方差公式；
B
、不是两数之和与两数差的积，不能使用平方差公式；
C
、是两数之和与两数差的积，能使用平方差公式；
D
、是两数之和与两数差的积，不能使用平方差公式．
故选
C
．
【点评】本题考查了平方差公式，解题的关键是注意必须是两数之和与两数差的积．
8.
下列能用平方差公式计算的是（
）
A. B. C.
（﹣
a+b
）（a
﹣
b
）（
x+2
）（
2+x
）
【答 案】
C
【考点】平方差公式
【解析】【解答】解：
A
、两项都是互为相反数，不符合平方差公式；
B
、两项都完全相
同，不符合平方差公式；
C
、两项有一项完全相同，另一项互为相反数，符合平方差公式；
D
、有一项﹣
2
与
1
不同，不符合平方差公式．
故选
C
．
【分析】根据能用平方差公式计算的式子的特点是：两个 二项式相乘，并且这两个二项式中
有一项完全相同，另一项互为相反数，对各选项分析判断后利用排除法 求解．
9.
若（
x+m
）
2=x2+kx+4
是 一个完全平方式，则
k
的值是（ ）
A. 2 B. 4 C. ±2 D. ±4
【答案】
D
【考点】平方差公式
【解析】【解答】解 ：∵（
x+m
）
2=x2+2mx+m2=x2+kx+4
是一个完全平方式 ，
∴
2m=k
，
m2=4
，
2
，
k=±4
，
解得：
m=±
故选
D
．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出
k
的值．
10.
下列各式中，不能用平方差公式计算的是（
）
D.
（
x
﹣
2
）（
x+1
）
A.
（
-a-1
）（
-a+1
）
B.
（
-a-1
）（
-a+1
）
C.
（
-a-1
）（
-a+1
）
D.
（
a-1
）（
-a-1
）
E.
（
a-1
）（
-a-1
）
【答案】
D
【考点】平方差公式
【解析】【分析】根 据平方差公式的结构特点，两个数的和乘以两个数的差，对各选分析判
断即可得解．
【解答】
A
、（
-a-1)
（
-a+1)
，是
-a
与
1
的和与差的积，符合公式结构，故本选项正确；
B
、 （
a-1)
（
-a-1)
，是
-1
与
a
的 和与差的积，符合公式结构，故本选项正确；
C
、（
a-1)
（< br>1+a)
，是
a
与
1
的和与差的积，符合公式结构，故本选项 正确；
D
、（
a+1)
（
-a-1)
，
a
与
1
都是相反数，不符合公式结构，故本选项错误．
故选
D
．
【点评】本题考查了平方差公式，熟记公式结构是解题的关键，是基础题，难度不大
11.
下列各式中，计算结果为
81
﹣
x2
的是（ ）
A.
（
x+9
）（
x
﹣
9
）
B.
（
x+9
）（﹣
x
﹣
9
）
C.
（﹣
x+9
）（﹣
x
﹣
9
）
D.
（﹣
x
﹣
9
）（
x
﹣
9
）
【答案】
D
【考点】平方差公式
【解析】 【解答】解：
81
﹣
x2=
（﹣
x
﹣
9
） （
x
﹣
9
）或者（
9+x
）（
9
﹣
x
）．
故选
D
．
【分析】本题是平方差公式 的应用，选项
D
中，﹣
9
是相同的项，互为相反项是
x
与﹣
x
，
据此即可解答
．
12.
为了应用 平方差公式计算（
x+2y
﹣
1
）（
x
﹣
2y+1
），下列变形正确的是（
）
A. [x
﹣（
2y+1
）
]2 B. [x+
（
2y+1
）
]2
C. [x
﹣（
2y
﹣
1
）
][x+
（
2y
﹣
1
）
] D. [
（
x
﹣
2y
）
+1][
（
x
﹣
2y
）﹣1]
【答案】
C
【考点】平方差公式
【解析】 【解答】解：（
x+2y
﹣
1
）（
x
﹣
2y+1< br>）
=[x
﹣（
2y
﹣
1
）
][x+
（
2y
﹣
1
）
]
，
故选
C
．
【分析】根据平方差公式（
a+b
）（
a
﹣
b
）
=a2
﹣
b2
的特点进行计算即 可．
13.
下列各式中不能用平方差公式计算的是（
）
A.
（
x
﹣
y< br>）（﹣
y
﹣
x
）
B.
（
x2
﹣
y2
）（
x2+y2
）
C.
（
a+b
﹣
c
）（﹣
c
﹣
b+a
）
D.
（﹣
x+y
）（
x
﹣
y
）
【答案】
D
【考点】平方差公式
【解析】【解答】解 ：
A
、（
x
﹣
y
）（﹣
y
﹣
x< br>）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计
算，故本选项不符合题意；
B
、（
x2
﹣
y2
）（
x2+y2
）符合平方差公式的特点， 能用平方
差公式计算，故本选项不符合题意；
C
、（
a+b
﹣
c
）（﹣
c
﹣
b+a
）符合平方差公式的特点，能用平 方差公式计算，故本选项不符
合题意；
D
、（﹣
x+y
） （
x
﹣
y
）不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式进行计算，故本选项
符合题意．
故选：
D
．
【分析】能用平方差公 式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反，对各选项
分析判断后利用排除法．
14.
下列运算结果错误的是（ ）
A.
（
x+y
）（
x
﹣
y
）
= x2
﹣
y2 B.
（
a
﹣
b
）
2=a2
﹣
b2
C.
（
x+y
）（
x
﹣
y
）（
x2+y2
）
=x4
﹣
y4 D. （
x+2
）（
x
﹣
3
）
=x2
﹣x
﹣
6
【答案】
B
【考点】平方差公式
【解析】【解答】解：
A
、（
x+y
）（
x
﹣y
）
=x2
﹣
y2
，
正确，不符合题意；
B
、（
a
﹣
b
）< br>2=a2
﹣
2ab+b2
，
错误，符合题意；
C
、（
x+y
）（
x
﹣
y
）（
x 2+y2
）
=
（
x2
﹣
y2
）（
x2+y 2
）
═x4
﹣
y4
，
正确，不符合题意；
D
、（
x+2
）（
x
﹣
3
）
=x2
﹣
x
﹣
6
，正确，不符合 题意．
故选
B
．
【分析】根据平方差公式、完全平方公式和多项式乘多项式法则计算后利用排除法求解．
15.
下列多项式中，与
-x-y
相乘的结果是
x2-y2
的多 项式是
( )
A. y-x B. x-y C. x+y
D. -x-y
【答案】
A
【考点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：因为（
x+y
）（
x-y
）
=
（
-x-y
）（
y-x
）
=x2-y2
．故答案为：A
【分析】
根据平方差公式
(a+b)(a-b)=a2-b2
，
求出代数式
.
二、填空题
16.
分解因式：
【答案】
(x+3)(x-3)
【考点】平方差公式及应用
________·
【解析】 【解答】解：原式
=(x+3)(x-3)
。故答案为：
(x+3)(x-3) 【分析】观察此多项式的特点，没有公因式，符合平方差公式的特点，因此利用平方差公式
分解因式 即可。
17.
分解因式：
【答案】
【考点】平方差公式
【解析】【解答】
故答案为：
=
．
________
．【分析】本题考查了用平方差公式法进行因式分解的能力，应
用公式的前提是准确 认清公式的结构
.
18.
计算：（
2m
﹣
n
）（
n+2m
）
=________
．
【答案】
4m2
﹣
n2
【考点】平方差公式
【解析】【解答】解：原式
=4m2
﹣
n2
．
故答案为：
4m2
﹣
n2
【分析】原式利用平方差公式计算即可得到结果．
19.
已知
a2
﹣
b2=6
，
a
﹣
b=2
，则
a+b=_ _______
．
【答案】
3
【考点】平方差公式
【解析】【解答】解：∵
a2
﹣
b2=
（
a+b
）（
a
﹣
b
）
=6，
a
﹣
b=2
，
∴
a+b=3
，
故答案为：
3
．
【分析】根据平方差公式
a2
﹣
b2=
（
a+b
）（< br>a
﹣
b
），把
a
﹣
b=2
代入，求出
a+b
的值
.
20.
若
x2
﹣
y2=6
，
x+y=3
，则
x
﹣
y=________
．
【答案】
2
【考点】平方差公式
【解析】【解答】解：∵
x2
﹣
y2=6
，
∴（
x+y
）（
x
﹣
y
）
=6
，
∵
x+y=3
，
∴
x
﹣
y=2
，
故答案为：
2
．
【分析】根据已知第一个等式左边利用平方差公式 变形，将第二个等式代入求出
x-y
的值即
可
.
21.
计 算：
(2x+5)(2x
－
5)
－
(4+3x)(3x
－< br>4)=________
．
【答案】－
5x2-9
【考点】平方差公式
【解析】【解答】
(2x+5)(2x
－
5)
－
(4+3x)(3x
－
4)=
（
4x2< br>－
25
）
—
（
9x2
－
16
）
=4x2
－
25
－
9x2+16=
－
5x2-9
故填－
5x2-9.
【分析】先利用平方差公式进行乘法运算，再去括号合并同类项
.
22.
分 解因式：
4m2
﹣
9n2=________
．
【答案】（
2m+3n
）（
2m
﹣
3n
）
【考点】平方差公式
【解析】【解答】解：
4m2
﹣
9n2=
（
2m+3n
）（
2m
﹣
3n
）．
故答案为：（
2m+3n
）（
2m
﹣
3n
） ．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可．
三、计算题
23.
计算：
（
1
）（
5m
﹣
6n
）（﹣
6n
﹣
5m
）；
（
2
）（
x2y2+3m
）（﹣
3m+ x2y2
）．
【答案】（
1
）解：（
5m
﹣
6n
）（﹣
6n
﹣
5m
），
=
（﹣
6n
）
2
﹣（
5m
）
2
，
=36n2
﹣
25m2
（
2
）解：（
x2y2+3m
）（﹣
3m+ x2y2
），
=
（
x2y2
）
2
﹣（
3m
）
2
，
= x4y4
﹣
9m2
．
【考点】平方差公式
【解析】【分析】（
1
）观察可知含< br>m
的项是符号相反的平方项，含
n
的项是符号相同的平
方项，利用平方 差公式进行计算即可；（
2
）观察可知含
m
的项是符号相反的平方项，含xy
的项是符号相同的平方项，利用平方差公式进行计算即可．
24.
计算：（
5+1
）（
52+1
）（
54+1
）（
5 8+1
）（
516+1
）
+
【答案】解：（
5+1）（
52+1
）（
54+1
）（
58+1
）（
516+1
）
+
，
=
（
5
﹣
1< br>）（
5+1
）
（
52+1
）（
54+1
）（
58+1
）（
516+1
）
+
，
=
（
532
﹣
1
）
+
，
=
．
【考点】平方差公式
【解析】【分析】本题是平方 差公式的应用，把多项式：（
5+1
）（
52+1
）（
54+1）（
58+1
）
（
516+1
）
+
（
532
﹣
1
）
+
转化为
（
5
﹣
1
）（
5+1
）（
52+1
）（54+1
）（
58+1
）（
516+1
）
+
（
516?2
﹣
1
）
+ =
．
=
的形式，然后再利用平方差公式计算
25.
王红同学在计算（
2+1
）（
22+1
）（
24+1
）时，将积式乘以（2
﹣
1
）得：
解：原式
=
（
2﹣
1
）（
2+1
）（
22+1
）（
24+1< br>）
=
（
22
﹣
1
）（
22+1< br>）（
24+1
）
=
（
24
﹣
1
）（
24+1
）
=28
﹣
1
根据上题求：（
2+1
）（
22+1
）（
24+1
）（
28+1
）
…
（
232 +1
）
+1
的个位数字．
【答案】解：原式
=< br>（
2
﹣
1
）（
2+1
）（
22+1
）（
24+1
）（
28+1
）
…
（
232+1）
+1
=
（
22
﹣
1
）（
22+1
）（
24+1
）（
28+1
）
…
（
232 +1
）
+1
=
（
24
﹣
1
）（
24+1
）（
28+1
）
…
（
232+1
）
+1
=264
﹣
1+1
=264
∵
264
个位数字是
6
，
∴（
2+1< br>）（
22+1
）（
24+1
）（
28+1
）
…
（
232+1
）
+1
的个位数字是
6
．
【考点】平方差公式
【解析】【分析】先变式得出（
2
﹣< br>1
）（
2+1
）（
22+1
）（
24+1
） （
28+1
）
…
（
232+1
）
+1
，< br>在依次根据平方差公式进行计算，最后即可得出答案．
26.
计算：（
1
﹣
x
）（
1+x
）
=1
﹣
x2
．
（
1
﹣
x
）（
1+x+x2）
=1
﹣
x3
．
（
1
﹣
x
）（
1+x+x2+x3
）
=1
﹣
x4
．
（
1
）请你仔细观察以上运算，作出大胆猜想：
（
1< br>﹣
x
）（
1+x+x2+x3+…+xn
）
=_______ _
；
（
2
）根据你的猜想进行下列运算：
< br>（
a
）（
1
﹣
2
）（
1+2+22+23+ 24
）
=________
；
（
b
）（
x
﹣
1
）（
x99+x98+…+x2+x+1
）
=___ _____
；
（
3
）计算：
2+22+23+…+2n
．
【答案】（
1
）
1
﹣
xn+1
（
2
）
-31
；﹣
1+x100
（
3< br>）解：∵（
1
﹣
2
）（
1+2+22+23+…+2n
）
=1
﹣
2n+1
，
∴
2+22+23+…+2n=2n+1
﹣
2
，
【考点】平方差公式
【解析】【解答】解：（
1
）（
1
﹣
x
）（
1+x+x2+x3+…+xn
）
=1
﹣
xn+1
；（
2
）（
a
）（
1
﹣2
）
（
1+2+22+23+24
）
=1
﹣
2 5=1
﹣
32=
﹣
31
；（
b
）（
x﹣
1
）（
x99+x98+…+x2+x+1
）
=
﹣（
1
﹣
x
）
（
x99+x98+…+x2+x+1
）
=
﹣
1+x100
；故答案为：（
1
）
1
﹣
xn+1
；（
2
）（
a
）﹣
31
；（< br>b
）﹣
1+x100
【分析】（
1
）根据已知等式猜想即可得 到结果；（
2
）原式各项利用得出的结论计
算即可得到结果；（
3
） 原式变形后，利用得出的结论计算即可得到结果．
四、解答题
27.解方程：
5x+6
（
3x+2
）（
-2+3x
）
-54
（
x-
）
?
（
x+
）
【答案】解：
5x+6
（
3x+2
）（
3x
﹣2
）﹣
54
（
x
﹣
）
?
（
x+
）
=2
，
5x+6（
9x2
﹣
4
）﹣
54
（
x2
﹣
5x=20
，
x=4
．
）
=2
，
【考点】平方差公式
【解析】 【分析】分别利用平方差公式计算，再利用去括号法则去掉括号，然后合并同类项
整理出简单的一元一次 方程，系数化为
1
即可．
28.
计算：
（
1
）（
）﹣
1+2×
（﹣
2
）﹣
2-
（﹣
π+3.14
）
0
﹣（
）﹣
3
126
﹣
4101×
（
2
）用简便方法计算：
1252
﹣
124×
（﹣
0.25
）
99
．
【答案】（
1
）解：原式
=2+2×
=2+0.5-28
=-25.5
（
2
）解：原式
=
=
=1+4
=5
【考点】平方差公式
【解析】【分析】（
1
）考查负整数次幂的法则
(a
不为
0)
，及非零数的
0
次幂为
-1-27
1
；（
2
）运用平方差公式，积的乘方的逆运算进行简便计算
. < br>29.
如果一个正整数数能写成两个连续非负偶数的平方差，我们就把这个数叫做奇异数．例如
4=22
﹣
02
，
12=42
﹣
22
，
4
和
12
就是奇异数，两个连续正偶数分别用
2k+2
和
k
表
示（
k
是非负整数）．
（
1
）小雷说一个奇异数一定是
4
的倍数，你能说出其中的理由吗？
（
2
）小华说：
“
不是所有的
4
倍数都是奇异数．
”
你认为她的说法对吗？若认为正确，举出
一个不是奇异数的
4
的倍 数．
（
3
）如果一个正整数数能写成两个连续非负奇数的平方差， 我们就把这个数叫做美丽数．①
若一个美丽数一定是
m
的倍数，
m=
；
②
m
的倍数一定
（填是或不是）美丽数；
③是否存在一个正整数，它既是奇异数，又是美丽数？若存 在，写出一个这样的数；若不存
在，简要说明理由．
【答案】（
1
）解：由题意得：（
2k+2
）
2
﹣（
2k
）2=4
（
2k+1
），
所以奇异数一定是
4
的倍数；
（
2
）解：说法正 确．
4
的偶数倍不是奇异数，如
16=42
﹣
02
不是奇异 数；
（
3
）解：①
m=8
；②是；③不存在．因为奇异数 一定是
4
的奇数倍，而美丽数是
8
的倍数，
即是
4
的偶数倍，所以不存在既是奇异数又是美丽数的数．
【考点】平方差公式
【解析】【分析】（
1
）根据
“
奇异数
”
的定义， 只需看能否把
2k+2
和
k
这两个数写成两个连
续偶数的平方差即可 判断；
（
2
）运用平方差公式进行计算，进而判断即可；
（
3
）运用平方差公式进行计算，进而判断即可．
五、综合题
30.
化简
（
1
）
( x- y)( x+ y) ( x2+ y2) ( x4+ y4)·…·(x16+ y16)
；
（
2
）
( 22+1)(24+1)(28+1)(216+1)
．
【答案】（
1
）解：原式
=( x2- y2)( x2+ y2)( x4+ y4)·…·(x16+ y16)=( x4- y4)( x4+ y4)·…·(x16-
y16)
＝
…
＝
x32- y32
(22-1)
（
2
）解：原式＝
(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+ 1)÷
(22-1)
＝
(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)÷
(22-1)
＝
(28-1)(28+1)(216+1)÷
(22-1)
＝
(28-1) (28+1) (216+1)÷
(22-1)
＝
(232-1)÷(22-1)
＝
(216-1) (216+1)÷
= (232-1)
【考点】平方差公式
【解析】【分析】（
1
）根据平方差公式
(a+b)(a-b)=a2-b2
，
逐步计算，得到结果；（
2）
把原式乘以（
22-1
），再除以（
22-1
），得到平方差 公式的形式，计算出结果
.
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