圆曲线计算公式平方差公式(一)说课稿

《平方差公式（一）》说课稿
扫阿联
一、教材分析：
（一）教材的地位与作用。
《平方差公式》是北师大版义务教育课程标准实验教科书《数学》 七年级
（下）第一章《整式的运算》第七节的内容。平方差公式是特殊的乘法公式，
它既是前面 知识“多项式乘多项式”的应用，也是后继知识如因式分解，分式
等的基础，对整个教科书也起到了承上 启下的作用，在初中阶段占有很重要的
地位。
本节课主要研究的是平方差公式的推导和平方差 公式在整式乘法中的应
用。它是学生在已经掌握单项式乘法、多项式乘法基础上的拓展和再创造，一方面是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结；另一方面，
通过乘法公式的学习可 以简化某些整式的运算、培养学生的求简意识。
（二）教学重难点、关键：
1、重点：平方差公式的探索和应用。
2、难点：理解平方差公式的结构特征，准确运用公式。
3、关键：准确找到a，b。
二、目标分析：
学生在前一节课中已经学习了多项式乘以多项式，容易得出
(a+b )(a-b)=a
2
-b
2
，但理解和掌握公式的结构特征，准确运用公式是 难点，所以
应该进一步发展学生的观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理的思考及
语言表 达能力。因此我觉得本节课应关注学生对公式的探索过程，让学生经历
“特例→归纳→猜想→证明”的知 识发生过程，有意识的培养学生的推理能力，
数感和符号感，真正理解公式的来源、本质和应用。 参照《数学课程标准》的要求及教材的特点和学生的认知水平与数学思维
特征，确定本节课的教学目 标如下：
(1)知识与技能目标：了解平方差公式的几何背景，理解并掌握公式的结
构特征 ，能利用公式进行简单的计算。
1

(2)过程与方法目标：经历探索平方差公 式的过程，培养学生观察、分析、
归纳和推理能力，通过讨论几何图形的面积，来验证公式，进而感受数 形结合
思想。
(3)情感态度目标：让学生在合作探究学习的过程中体验成功的喜悦；在< br>感悟数学美的同时激发学习兴趣和信心；发展学生的符号感和有条理推理的能
力。
三、教学过程：
（一）情景引入
李大爷有一块菜地，如图正方形中的阴影部分。为 了创建和谐村庄，欲在
此地建一个公园，以供村民休闲，李大爷非常高兴，欣然应允。村里决定另批给李大爷一块长方形菜地，它的一边比原正方形边长多y米，另一边比原正方
形边长少y米。你能帮 李大爷判断一下，李大爷现在的这块长方形菜地与原来
菜地的面积是否发生变化了?




（设计说明：以问题形式引入，激发学生探索本节课知识的热情，同时 渗
透数形结合的思想，为后面的图形验证公式奠定基础）
（二）自主探究
【看一看】：观察下列各式,它们有什么特征? 你能用字母把这个特征表示
出来吗？
(1) (x+2)(x-2) (2) (1+3a)(1-3a) (3) (x+5y)( x-5y) (4) (2y+3z)(2y-3z)
各式的特征: （a+b）(a-b)
【做一做】：计算下列各式,并请你观察它们的运算结果,你发现了什么规律?
把你的发现和同学进行交流,能用字母把这个规律表示出来吗？
(1) (x+2)(x-2) (2)(1+3a)(1-3a) (3) (x+5y)( x-5y) (4) (2y+3z)(2y-3z)
运算结果的特征: a
2
-b
2

【猜一猜】：观察以上算式及其运算结果，你发现了什么规律？能不能大胆
猜测得出一个一般性 的结论？你能将猜测的这个结论写成公式吗?
2
2x
2x
s
1
y
s
2

在算式及其运算结果中
左边是两个二项式相乘；在两个二项式中有一项完全相同，另一项互为 相
反数；右边为相同项的平方减去互为相反数的项的平方.
规律： 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。
（a+b）(a-b) =a
2
-b
2

学生活动：快速计算这四道题，为后面讨论做准备。
（设计说明：提供一组与推导平方差公式有关的计算题，通过看一看、做
一做、猜一猜三步使学 生初步感知平方差公式的结构特征及其运算结果规律。
分步的好处在于分散难点，循序渐进，更易于学生 记忆。）
做一做后提出问题：按说两个二项式相乘，应得到四项，为什么这四道题
结果只有两项呢？ < br>（设计说明：这个问题虽说很简单，但不能小看它的作用，第一，它让学
生的思想在问题的启发下 变得活跃；第二，为后面的探究活动作一铺垫，起到
承上启下的作用。）
猜一猜问题化：
（1）等式左边的两个多项式有什么特点？
（2）等式右边的多项式有什么规律？
（3）你能从中猜想出一般性的结论吗？
（4）你能将猜测的这个结论用字母表示出来吗?
学生活动：小组合作，解决上面三个问题。并向全班汇报自己小组讨论的
成果，提出猜想(a
+
b
) (
a
-
b
)=
a
2
-
b
2
。
（设计说明：根据看一看、做一做两步，出示猜一猜，提出四个问题 ，引
领学生进行探究，让学生带着问题探究，进一步发展学生的观察、归纳、类比、
概括等能力 ，发展有条理的思考及语言表达能力。）
（三）验证猜想
【代数验证】：运用乘法分配律将 多项式乘多项式转化为单项式乘多项式，
进一步体会转化的思想，从而验证猜想。
(
a
+
b
) (
a
-
b
)=a( a+b)-b(a+b)=
a
2
+
a
b -
a
b -
b
2
=
a
2
-
b
2
【归纳公式】：得出平方差公式：(
a
+
b
) (
a
-
b
)=
a
2
-
b
2

学生活动：尝试用所学知识验证这一猜想，并用自己的语言叙述平方差公
3

式。
（设计说明：让学生经历“特例→归纳→猜想→证明”的知识发生过程，
用所学 知识解决问题，有意识的培养学生的推理能力和语言表达能力，从而真
正理解公式的来源。）
【几何验证】
在一块边长为
a
的正方形纸板上，因实际需要在一角上剪去一块边长为
b

的正方形，剩下部分的面积是多少？
方法一：用大正方形面积减去小正方形面积，即
a
2
-
b
2
方法二：割补法。可以把剩下的部份分割成两个矩形，然后拼成一个矩形
来计算。得到新矩形的 面积为(
a
+
b
)(
a
-
b
)
利用面积相等推得平方差公式： (
a
+
b
)(
a
-
b
)=
a
2
-
b
2
学生活动：教师启发引导，演示剪拼动画，学生动脑思考。
（设计说明：让学生用面积相等来 验证平方差公式的准确性，更好地理解
和掌握公式，培养学生多角度思考问题的习惯，教会学生一种计算 面积的方法
——割补法，渗透数形结合思想。）
（四）公式分析
使用平方差公式可 以简化运算，那什么样的多项式相乘才能用平方差公式
来计算呢？也就是说，平方差公式具有什么样的特 征？
（1）公式的结构特征：
左边是两个二项式相乘；在两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相
反数；
右边为相同项的平方减去互为相反数的项的平方.
（2）字母的广泛含义：
公式中 的a，b可以表示数，也可表示单项式或多项式（即a，b表示代数
式），只要符合公式的结构特征，就 可用此公式来计算。
学生活动：尝试用语言来叙述，总结公式的结构特征，并加以理解掌握，
以便能够准确运用。
（设计说明：理解并掌握公式的结构特征，是这节课的重点，也为下一个
环节：平方差公式的准 确应用打下基础。因此，应让学生充分思考，体会，发
表自己的看法，达到真正理解的目的。）
4

（五）知识运用
【试一试】：寻找a，b
现在我们已经 知道什么样的运算可以用平方差公式来做了，那么下一步的
关键是要解决什么问题？运算的结果是a2
-b
2
，要套用公式，必须要知道谁是a，
谁是b。
（a+b)(a-b)
（2+y)(2-y)
(1+5b)(1-5b)
a


b




a
2
-b
2





最后结果




(2m+3n)(2m-3n)
(-x+1)(x+1)
反思：如何寻找a，b？
两个多项式中，a前的符号相同，b前的符号相反。找a，b的关键 是找符
号相同的项和符号相反的项。谁是a，谁是b，并不以先后为准，而是以符号为
准。
学生活动：思考，口答，填充表格，总结规律。
（设计说明：以填表的形式让学生初步尝试运 用公式，分清结构，找准a、
b，学会公式的应用，有效地进行难点突破。）
【练一练】：运用平方差公式计算：
(1) (5+6x)(5-6x) (2) (ab+8)(ab-8)
(3) (-x-y)(-x+y) (4) (m+n)( m-n)+3n
2

44
11
学生活动：独立练习，并有同学上台板演。
（设计说明：通过一组 例题，逐渐加深题目难度，让学生能够熟练利用公
式计算，从而完善学生认知结构。同时，让学生初步感 知换元、整体代换的思
想方法，通过思考解法的多样性，培养学生的创新精神。）
【想一想】：判断正误
(1) (-a-b)(a-b)=-a
2
+b
2
(2) (-a+b)(a-b)=-a
2
-b
2

(3) (2x+3)( 3-2x)=2x
2
-9 (4) (y
3
+z
3
)( y
3
-z
3
)= y
9
-z
9
(5) (x
2
+y)( x-y
2
)=x
3
-y
3
学生活动：独立思考，举手回答，在疑难处进行适当讨论。
5

（设计 说明：通过练习，帮助学生总结解决问题过程中的经验教训，理顺
思路。从而进一步明确平方差公式的结 构特征，完善学生的认知结构。）
【想一想】：思维拓展
在(-3a+2b)( )的括号内，填入怎样的式子，才能用平方差公式计
算。
（设计说明：通过拓展练习，提高学 生认知水平，进一步深化对平方差公
式的理解，培养学生逆向思维和发散思维能力。）
问题解决：解决情景引入中的问题。
（设计说明：达到前后呼应，使学生产生成就感，进一步调动学生学习数
学的积极性。）
（六）反思小结
【议议说说】：本节课你学到了什么，你能给自己和同学一个客观的评价
吗？
学生活动：认真回顾，总结本节课所学到的知识及数学思想方法并对自己
和同学进行评价。 < br>（设计说明：小结是构建和完善学生认知结构的重要环节，先让学生总结
本节课收获，再让学生自 己及互相之间进行评价，体现新课标提出的多元化评
价，利于学生养成良好的课堂学习习惯，最后教师对 公式的掌握和运用作最后
强调。）
（七）、课外作业：
P36知识技能: 第 1大题 P37联系拓广: 第1题
P57 选做 第6题
课后问题探究：你还能利用几何拼图给出平方差公式一个几何解释吗?





6

（设计说明：前两道题为基础型题要求全体完成，后两 道题针对学有余力的学
生完成，体现差生能消化，中等生吃的好，优等生吃得饱。课后问题探究进一步体会数形结合思想，培养学生发散思维。）
四、教学反思
这一课时的重点是要学生明 白平方差公式的推导，并能应用平方差公式简
化运算。而其中的关键是要学生明确平方差公式的结构特征 ，准确找到a、b。
为了让学生对平方差公式有个全面的认识和了解，我在教学设计方面打破了教
材原来的安排，把第二课时中的几何解释融入第一课时。先让学生从代数的角
度入手，利用多项式乘多 项式的知识，推导出平方差公式，紧接着从几何角度
加以解释。在此基础上，通过分析公式的结构特征， 加深对公式的理解。之后，
设计了一个“寻找a、b”的环节，通过这个练习进行难点突破。引导学生反 思
练习过程，得出“谁是a，谁是b，并不以先后为准，而是以符号为准”这一结
论。紧接着给 出两组例题，考察学生对公式的应用。最后通过一组判断题和补
充练习，拓展学生的思维水平。
为了给学生渗透数形结合的思想，要从代数、几何两个角度证明平方差公式，
但是从哪个角度入手，有 利于知识的衔接，便于学生理解。最终决定给让学生
猜想结论，再用代数方法加以证明，后给出几何解释 ，符合知识的发生过程。
对于课本中的公式文字说明是“两数和与这两数差的积”的理解：公式中“a 、
b不仅表示一个数或字母，还可以表示代数式”。但这里说的是“两数”，原因是
所有的规律 最初都是在具体的数字中发现的，然后才推广到字母。所以这里说
的数不再是具体的数，而是代表一个整 体；公式中说的“两数和与两数差的积”，
从这个角度说，这两项应是完全相同的，差别只在于运算符号 上。但由于我们
之前介绍过“代数和”，（a+ b）（a-b）也可以理解为（a+ b）[a（-b ）]，就像
许多教参上说的，是相同项与互为相反数的项，这样就与课本定义发生矛盾。
为了避 免这个问题，我在介绍公式结构特征时，只说“有一项完全相同，另一
项只有符号不同”，学生可以自己 去理解。
我对教材的理解和把握是否妥当，还请各位专家同仁给以指点。

7