公式编写《平方差公式》教案2 北师大版

《平方差公式》教案
§1.7.1 平方差公式(一)
●教学目标
(一)教学知识点
.经历探索平方差公式的过程.
.会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.
(二)能力训练要求
.在探索平方差公式的过程中，发展学生的符号感和推理能力.
.培养学生观察、归纳、概括等能力.
(三)情感与价值观要求
在计算的过程中发现规律，并能用符号表达，从而体会数学语言的简捷美.
●教学重点
平方差公式的推导和应用.
●教学难点
用平方差公式的结构特征判断题目能否使用公式.
●教学方法
探究与讲练相结合.
使学生在计算的过程中发现规律，并运用自己的语言进行表达，用符号证明这个规
律，并探索出 平方差公式的结构特点，在老师的讲解和学生的练习中学会应用.
●教具准备
投影片四张
第一张：做一做，记作(§)
第二张：例，记作(§1.7.1 )
第三张：例，记作(§1.7.1 )
第四张：练一练，记作(§1.7.1 )
●教学过程
Ⅰ.创设情景，引入新课
［师］你能用简便方法计算下列各题吗？
()×；()－
［生］可以.在()中×()(－)－－×－－,在()中－(－)－(－)(－)－－－－－. ［师］很好！我们利用多项式与多项式相乘的法则，将()()中的，，化成为整千整
百的运算，从 而使运算很简便.我们不妨观察第()题，和，一个比大，于是可写成与的和，
一个比小，于是可写成与 的差，所以×就是与这两个数的和与差的积，即()(－)；再观
察利用多项式与多项式相乘的法则算出 来的结果为：－，恰为这两个数与的平方差.即
()(－)－.
那么其他满足这个特点的运算是否也有类似的结果呢？
我们不妨看下面的做一做.
Ⅱ.使学生在计算的过程中，通过观察、归纳发现规律，并用自己的语言和符号表
示其规律
［师］出示投影片(§)
做一做：计算下列各题：
()()(－);
()()(－);
()()(－);
()()(－).
观察以上算式，你发现什么规律？运算出结果，你又发现什么规律？再举两例验证
你的发现？
［生］上面四个算式都是多项式与多项式的乘法.
［生］上面四个算式每个因式都是两项.
［生］除上面两个同学说的以外，更重要的是：它们都是两个数的和与差的积.例如：
算式() 是“”与“”这两个数的和与差的积；算式()是“”与“”这两个数的和与差的
积；算式()是“”与 “”的和与差的积；算式()是“”与“”这两个数的和与差的积.
［师］我们观察出了算式的结构特 点.像这样的多项式与多项式相乘，它们的结果如
何呢？只要你肯动笔、动脑，相信你一定会探寻到答案 .
［生］解：()()(－)
－－－；
()()(－)
－－－；
()()(－)
－－
－；
()()(－)
－－
－
(如有必要的话可以让学生利用乘法分配律将多项式与多项式相乘转化成单项式与
多项式相乘， 进一步体会乘法分配律的重要作用以及转化的思想)
［生］从刚才这位同学的运算，我发现：

即两个数的和与差的积等于这两个数的平方差.这和我们前面的一个简便运算得出
同样的结果.
即

［师］你还能举两个例子验证你的发现吗？
［生］可以.例如：
()×()(－)－－－－；
()(－)(－－)(－)(－)－－(－)－－.
即

上面两个例子，同样可以验证：两个数的和与差的积，等于它们的平方差.
［师］为什么会有这样的特点呢？
［生］因为利用多项式与多项式相乘的运算法则展开后，中 间两项是同类项且系数
互为相反数，所以相加后为零.只剩下这个数的平方差.
［师］很好！你能用一般形式表示上述规律，并对规律进行证明吗？
［生］可以.上述规律用符号表示为：
()(－)－①
其中可以表示任意的数，也可以表示代表数的单项式、多项式.
利用多项式与多项式相乘的运算法则可以对规律进行证明，即
()(－)
.
你能给我们发现的规律()(－)－起一个名字吗？能形象直观地反映出此规律的.
［生］我们可以把()(－)－叫做平方差公式.
［师］大家同意吗？
［生］同意.
［师］好了！这节课我们主要就是学习讨论这个公式的.你能用语言描述这个公式
吗？
［生］可以.这个公式表示两数和与差的积，等于它们的平方差.
［师］平方差公式是多项式 乘法运算中一个重要的公式.用它直接运算会很简单，但
要注意必须符合公式的结构特点才能利用它进行 运算.
Ⅲ.体会平方差公式的应用，感受平方差公式给多项式乘法运算带来的方便，进一步
熟 悉平方差公式.
出示投影片(§1.7.1 )
［例］()下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是( )
.()().(
1
)(－
1
)
22
.(－)(－).(－)()
.(－－)(－).(－)()
()利用平方差公式计算：
()(－);(－)();
(－)(－－).
［生］()中只有、、能用平方差公式.因为.(
1
)(－
1
)利用加法交 换律可得(
1
)(－
222
1
2
)(
1
) (－
1
),表示与
1
这两个数的和与差的积，符合平方差公式的特点；.(－ －)(－),同样
222
可利用加法交换律得(－－)(－)(－－)(－),表示－与这两个 数和与差的积，也符合平方差
公式的特点；.(－)()利用加法和乘法交换律得(－)()()(－) ，表示与这两个数和与差的积，
同样符合平方差公式的特点.
［师］为什么、、不能用平方差公式呢？
［生］、、表示的不是两个数的和与差的积的形式.
［师］下面我们就来做第()题，首先分析它们分别是哪两个数和与差的积的形式.
［生］( )(－)是与这两个数的和与差的形式；(－)()是与这两个数的和与差的形式；
(－)(－－)是－ 与这两个数的和与差的形式.
［师］很好！下面我们就来用平方差公式计算上面各式.
［生］()(－)－()－;
(－)()－()－;
(－)(－－)(－)－－.
［师］这位同学的思路非常清楚.下面我们再来看一个例题.
出示投影片(记作§1.7.1 )
［例］利用平方差公式计算：
()(－
1
－)(－
1
);
44
()()(－);
()()(－).
［师］同学们可先交流、讨论，然后各小组派一代表到黑板上演示.然后再派一位
同学讲评.
［生］解：()(－
1
－)(－
1
)——(－
1
) 与的和与差的积
444
(－
1
)－——利用平方差公式得(－
1< br>)与的平方差
44
1
16
－——运算至最后结果
()()(－)——与的和与差的积
()－——利用平方差公式得与的平方差
－——运算至最后结果
()()(－)——据运算顺序先计算与的和与差的积
(－)——利用平方差公式
－——去括号
——合并同类项至最简结果
［ 生］刚才这位同学的运算有条有理，有根有据，我觉得利用平方差公式计算必须
注意以下几点：
()公式中的字母、可以表示数，也可以是表示数的单项式、多项式即整式.
()要符合公式的结构特征才能运用平方差公式.
()有些多项式与多项式的乘法表面上不能 应用公式，但通过加法或乘法的交换律、
结合律适当变形实质上能应用公式.
［生］还需注意最后的结果必须最简.
［师］同学们总结的很好！下面我们再来练习一组题.
投影片(§1.7.1 )
.计算：
()()(－);
()()(－);
()(－)(－－);
()(－)(－－).
.把下图左框里的整式分别乘(),所得的积写在右框相应的位置上.

解：.()()(－)－－;
()()(－)()－()－;
()(－)(－－)(－)－－;
()(－)(－－)(－)－－.
.()()()();
(－)()－;
(－)()()(－)－;
(－－)()－()－()
－－－－
－－－
(教师在让学生做练习，可巡视练习的情况，对确实有困难的学生要给以指导)
Ⅳ.课时小结
［师］同学们有何体会和收获呢？
［生］今天我们学习了多项式乘法运算中的一个重要公式——平方差公式即()(－)
－.
［生］应用这个公式要明白公式的特征：
()左边为两个数的和与差的积；
()右边为两个数的平方差.
［生］公式中的、可以是数，也可以是代表数的整式.
［生］有些式子表面上不能用公式，但通过适当变形实质上能用公式.
［师］同学们总结的很 好！还记得刚上课的一个问题吗？计算－，现在想一想，能
使它运算更简便吗？
［生］可以－可以看成与的平方差，从右往左用平方差公式可得：
－－()(－)×. ［师］我们发现平方差公式的应用是很灵活的，只要你准确地把握它的结构特征，
一定能使你的运算 简捷明了.
Ⅴ.课后作业
课本，习题，第题.
Ⅵ.活动与探究
有位乒 乓球选手进行单循环赛(每两人间均赛一场)，用顺次表示第号选手胜与负的
场数，用顺次表示第号选手 胜与负的场数，……用顺次表示第号选手胜与负的场数.则名
选手胜的场数的平方和与他们负的场数的平 方和相等，即
……,为什么？
经过：由于是单循环赛，每名运动员恰好参加局比赛，即(其 中、、、…)，在比赛
中一人胜了，另一人自然败了，则……,这两个隐含条件是解题的关键，从作差比 较入手.
［结果］由题意知(、、、…)且……
(…)－(…)
(－)(－)…(－)
()(－)()(－)…()(－)
［(－)(－)(－)…(－)］
［(…)－(…)］

所以，…….
●板书设计
§1.7.1 平方差公式(一)
做一做
解：()()(－)－－－;
()()(－)－－－;
()()(－)－－－;
()()(－)－－－.
归纳、猜想规律
()(－)－
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.
用符号运算证明
()(－)－－－.
应用、升华
例.(抓住平方差公式的特征，准确地利用平方差公式计算)
例.(对公式中、含义的理解，既可以是具体的数也可以是整数)
随堂练习(熟悉平方差公式).
●备课资料
参考例题
［例］用简便方法计算：
()× ()××
解：()原式(－)()－;
()原式(－)()()
(－)()
(－)()
－
－.
［例］计算：
()(－)()()
()［－()(－)］［(－)()(－)()］
分析：()题可利用乘法交换律和结合律， 先求(－)与()的积，所得结果再与()相乘，
可两次运用平方差公式；()
()(－),( －)(),(－)()都可直接运用平方差公式计算.
解：()(－)()()
［(－)()］()
(－)()
()－
－
()［－()(－)］［(－)()(－)()］
［－(－)］［()(－)(－)()］
［－］［－－］
()(－)
()－()
－
［例］计算： < br>()(
x
2
4
3
)(－
x
2
43
)
()(－)(－)
()()(－)()
分析：()题中，可把 相同的项放在对应的位置上，再把互为相反数的项放在对应的
位置上，使之满足()(－),然后用平方 差公式；()题先逆用积的乘方公式，然后用平方差公
式.
解：()(
x
(
2
3
2
4
3
)(－
x
4
2
4
3
)
x
3
4
)(
2
－
x
)
3
(
2
)－(
x
)
4
4
9
－
1
16

()(－)(－)
［(－)］［－(－)］
－(－)
－(－)
－－
()()(－)()
［()(－)()］
［(－)()］
［－］
－.



、每个人身上都有惰性和消极情绪，成功的人都是懂得 管理自己的情绪和克服自己的惰性，并像太阳一样照亮身边的人，激励身边的人。
、你心里最崇拜谁，不 必变成那个人，而是用那个人的精神和方法，去变成你自己。
、你今天必须做别人不愿做的事，好让你明 天可以拥有别人不能拥有的东西。
、不要觉得全心全意去做看起来微不足道的事，是一种浪费，小事做的 得心应手了，大事自然水到渠成。
、别着急要结果，先问自己够不够格，付出要配得上结果，工夫到位了 ，结果自然就出来了。
、你没那么多观众，别那么累。做一个简单的人，踏实而务实。不沉溺幻想，更不 庸人自扰。
、别人对你好，你要争气，图日后有能力有所报答，别人对你不好，你更要争气望有朝一日， 能够扬眉吐气。
、奋斗的路上，时间总是过得很快，目前的困难和麻烦是很多，但是只要不忘初心，脚踏 实地一步一步的朝着目标前进，最后的结局交给时间来定夺。
、运气是努力的附属品。没有经过实力的原 始积累，给你运气你也抓不住。上天给予每个人的都一样，但每个人的准备却不一样。不要羡慕那些总能撞大运的 人，你必须很努力，才能遇上好运气。
10、你的假装努力，欺骗的只有你自己，永远不要用战术上的勤 奋，来掩饰战略上的懒惰。
11、时间只是过客，自己才是主人，人生的路无需苛求，只要你迈步，路就 在你的脚下延伸，只要你扬帆，便会有八面来风，启程了，人的生命才真正开始。
12、不管做什么都不 要急于回报，因为播种和收获不在同一个季节，中间隔着的一段时间，我们叫它为坚持。
13、你想过普 通的生活，就会遇到普通的挫折。你想过最好的生活，就一定会遇上最强的伤害。这个世界很公平，想要最好，就 一定会给你最痛。
14、成长是一场和自己的比赛，不要担心别人会做得比你好，你只需要每天都做得比 前一天好就可以了。
15、最终你相信什么就能成为什么。因为世界上最可怕的二个词，一个叫执着，一 个叫认真，认真的人改变自己，执着的人改变命运。只要在路上，就没有到不了的地方。
16、你若坚持 ，定会发光，时间是所向披靡的武器，它能集腋成裘，也能聚沙成塔，将人生的不可能都变成可能。
17 、人生，就要活得漂亮，走得铿锵。自己不奋斗，终归是摆设。无论你是谁，宁可做拼搏的失败者，也不要做安于 现状的平凡人。
18、过自己喜欢的生活，成为自己喜欢的样子，其实很简单，就是把无数个今天过好， 这就意味着不辜负不蹉跎时光，以饱满的热情迎接每一件事，让生命的每一天都有滋有味。
19、上天不 会亏待努力的人，也不会同情假勤奋的人，你有多努力时光它知道。
20、成长这一路就是懂得闭嘴努力 ，知道低调谦逊，学会强大自己，在每一个值得珍惜的日子里，拼命去成为自己想成为的人。