初一的公式八年级上数学(平方差公式)

14.2乘法公式
14.2.1 平方差公式
一、新课导入
1.导入课题:
某同学在计算98×102时将其变成（100-2）（100+2）并很快 得出结果，你
知道他运用了什么知识吗？这节课我们一起来探讨上述计算的规律.
2.学习目标:
（1）掌握平方差公式的推导及应用.
（2）了解平方差公式的几何意义，体会数形结合的思想方法.
3.学习重、难点:
重点：平方差公式及应用.
难点：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式.
二、分层学习

1.自学指导:
（1）自学内容：探究平方差公式.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：通过计算多项式乘以多项式，观察等式两边的结构特点进
行总结规律.
（4）探究提纲：
①用多项式相乘的方法计算（x+1）(x-1)=x
2
-1.
(m+2)(m-2)=m
2
-4.
2
(2x+1)(2x-1)=4x-1.

②再来计算(a+b)(a- b)=a
2
-ab+ab-b
2
=a
2
-b
2.
③观察上面的结果，你发现了什么规律？把你发现的规律写出来.
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
④用你发现的规律直接写出结果.
(a+1)(a-1)=a
2
-1;(x+3)(x-3)=x
2
- 9;
⑤你能根据图1中图形的面积说明平方差公式吗？

方法一：设矩形EBNM的面积+矩形ADFE的面积=S.
S=(a-b)b+(a-b)a=a
2
-b
2
.
方法二 ：如果剪下矩形EBNM拼到FBND的位置，如图2，则S=S四边形
AEBN=(a+b)(a-b ).

- 1 -

2.自学：学生结合探究提纲进行自主探究.
3.助学：
（1）师助生:
①明了学情:了解学生能否从计算中发现规律并用数学式子表达规律.
②差异指导:引导学困生理解公式中a、b表示的意义及思考图中面积S的计
算方法.
（2）生助生:互讲推导过程与方法，有异议的地方可合作交流探讨.
4.强化：
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方
差.即(a+b)(a-b) =a
2
-b
2
.
（2）直接利用公式计算（3x+y）(3x-y )=9x
2
-y
2
.
1.自学指导:
（1）自学内容：教材第108页例1、例2.
（2）自学时间：6分钟.
（3）自学方法：注意运用平方差公式时如何确定公式中a、b分别表示什么？
（4）自学参考提纲：
①例1中，式子(-x+2y)(-x-2y)可以将-x
看成公式中的a,2y
看成公式中的b,结果是x
2
-4y
2
.
②例2中，（y-1）(y+5)为什么没有用平方差公式进行运算？
不符合平方差公式的条件，不能写成一个式子的平方与另一个式子的平方差
的形式.
③例2中，102×98=(100+2)(100-2)=100
2
-2
2
=10000-4=9996，这是数字计算
中的一种巧算，试想想怎样的两个数能用平方差公式进行简 便运算？
2.自学：学生可结合自学指导进行自学.
3.助学：
(1)师助生：
①明了学情:了解学生是否看懂例题是如何运用公式的，公式中的a,b各代
表什么？
②差异指导:强化不同层次学生对平方差公式适用的条件的理解及公式中
a,b代表的式子的确定.
(2)生助生：学生之间相互交流探讨解决问题.
4.强化：
（1）无论是“两数 和乘以两数差”还是“两项式乘以两项式，一项相同，
另一项互为相反数”，都应该符合平方差公式的要 求，都能运用公式进行计算.
（2）认真分析式子的特点，特别注意符号变化.
（3）下列式子能用平方差公式计算吗？

- 2 -

① （3x+2）(3x-2); ② (b+2a)(2a-b); ③ （-x+2y）(-x-2y);
能.9x
2
-4 能.4a
2
-b
2
能.x
2
-4y
2

④ 102×983；⑤ （-x+y）(x-y).
不能. 不能.
三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：学生代表交流自己的学习收获和学后
体会.
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：对学生的学习态度、方法、收效及不足进行点评.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）：
平方差公式 体现了特殊多项式相乘的结果，教师可引导学生由多项式乘法法
则推出，然后引导学生观察公式的结构特 征，从本质上认识符合公式特征的多项
式相乘，以便于灵活解决实际问题.



一、基础巩固（每题10分，共70分）
1.下列多项式中，可以用平方差公式计算的是（B）
A.(2a-3b)(-2a+3b) B.(-3a+4b)(-4b-3a)
C.(a-b)(b-a) D.(a-b-c)(-a+b+c)
2.下列各式中，运算结果为x
2
-36y
2
的是（D）
A.(x+4y)(x-9y) B.(-6y+x)(-6y-x)
C.(-6y+x)(6y-x) D.(-6y-x)(6y-x)
3.下列计算结果正确的是（C）
A.(x+2)(x-2)=x
2
-2 B.(x+2)(3x-2)=3x
2
-4
C.(ab-c)(ab+c)=a
2
b
2
-c
2
D.(-x-y)(x+y)=x
2
-y
2

4.(x
n< br>+4)(x
n
-4)=x
2n
-16,(-a+2b)(-a-2b) =a
2
-4b
2

1
1
1
11
1
5.计算：(+x) (-x=-x
2
.
2
4
2
44
16
6. 计算：（a+3）(-a+3)=9-a
2
.
7.用简便方法计算:
12
（1）20×19
33
18
111
解：原式=（20+）（20-） =20
2
-（）
2
=400-=399
99
333
2
（2）2015-2014×2016
解：原式=2015
2
-（2015-1）（2015+1）
=2015
2
-［2015
2
-1］=1

二、综合应用（每题10分，共20分）
8.计算(x-3)(x
2
+9)(x+3)
224
解：原式=(x-9)(x+9)=x-81

- 3 -

11
b)(a-b)-(3a-2b)(3a+2b)
22
1< br>15
解：原式=a
2
-b
2
-(9a
2
-4 b
2
)= b
2
-8a
2

4
4

三、拓展延伸（共10分）
10.已知x
2
-y
2
=34,x-y=2,求3y-x的值.
解：∵x
2
-y
2
=(x+y)(x-y)=34
9.计算(a+
2(x+y)=34
x+y=17
3y-x=(x+y)-2(x-y)
=17-2×2
=13

- 4 -