地量选股公式例说平方差公式、完全平方公式的结构特征

例说平方差公式、完全平方公式的结构特征
师：同学们，我们已经学习了如下两个乘法公式：
平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a
2
－b
2

完全平 方公式：(a±b)
2
＝a
2
±2ab＋b
2

你能说出它们的结构特征吗？
快嘴朱春明没举手就迅速站起来说：“平方差公式的左边是两个 数的和乘以这两个数的
差，右边是这两个数的平方差。”
小百灵陈海田也不甘示弱，道：“完 全平方公式的结构特征是左边是两个数的和（或差）
的平方，右边是这两个数的平方和加上（或减去）这 两个数乘积的2倍。”
小眼镜于政慢条斯理地接着说：“左边都是二项式乘以二项式，右边只是一个多项式。”
细心 的许洪秀象发现新大陆一样，激动地说：“这两个公式，从左向右看，属于整式的
乘法运算，从右向左看 ，属于因式分解。”
平时在符号上常出错的牛川同学说：“平方差公式中的两个平方项是异号，一正一 负；
而完全平方公式中的两个平方项是同号，都为正，乘积项的符号取决于原来两个数a、±b
的符号，同号得正，异号得负。”
师：同学们的发现都是对的。你有胆量运用乘法公式解决下列问题吗？
例1、计算：(1) (2m－3n)( 2m＋3n); (2) (－3＋2a)(―3―2a); (3) (－5＋2x)(－2x－5).
韩金轩同学分析道：“这三小题都可以用平方差公式进行计算，关键 是要正确确定公式
中的两个数分别是什么，它们分别是2m与3n、－3与2a、－5与2x，结果等于 它们的平方
差。”于是，解题过程如下：
解：（1）原式＝（2m）－（3n）＝4m－9n;
（2）原式＝（－3）－（2a）＝9－4a;
（3）原式＝（－5）－（2x）＝25－4x.
例2、计算：（1） (－
222
222
2222
34
222
m＋n); （2） (－2a－7b).
43
不太善于表达的陈博同学在较短时间内，把自己的解法呈现给大家：
解：（1） 方法一：原式＝（－
3344
22
m）＋2×（－m）×n＋（n）
4433
916
22
＝ m－2mn＋ n
169
43
2
34
方法二：原式＝(n－m) （把－m、n互换位置）
3443
4433
22
＝（n）－2×n×m＋（m）
3344
16
2
9
2
＝ n－2mn＋ m
916
2222
（2）方法一：原式＝（－2a）－2×（－2a）×7b＋(7b)

1
＝4a
4
＋28 a
2
b＋49 b
2

方法二：原式＝［－（2a
2
＋7b)］
2
＝（2a
2
＋7b)
2

＝（2a
2
）
2
＋2×2a
2
×7b＋(7b)
2

＝4a
4
＋28 a
2
b＋49 b
2

例3、计算：（a＋b－c）（a－b＋c）.
善于变通的任加林同学，沉默了一会儿，说： “这是三项式乘以三项式，第一项相同（都
是a），第二、三项＋b－c、－b＋c互为相反数，根据整 体思想，可以写成＋（b－c）、－（b
－c），这样就符合平方差公式。”于是，解题过程如下：
解：原式＝［a＋（b－c）］［a－（b－c）］
＝a －（b－c）
＝a－（b－2bc＋c）
＝a－b＋2bc－c
例4、你能用乘法公式计算(a＋9)(a＋1)吗？
爱动脑筋的祁金龙同学，一会儿皱着眉 头，一会儿动手疾书，终于想出了办法：“根据
平方差公式，因为（a＋b）＋（a－b）＝2a、（a ＋b）－（a－b）＝2b，所以(a＋9)＋(a＋1)
＝2a＋10＝2（a＋5）、(a＋9)－ (a＋1)＝8＝2×4，于是(a＋9)(a＋1)转化为［(a＋5)＋4］［(a
＋5)－4］， 利用平方差公式进行计算。”于是，解法如下：
解：原式＝［(a＋5)＋4］［(a＋5)－4］＝ (a＋5)－4＝a＋10a＋25－16＝a＋10a＋9.
例5、因式分解：（1）1－16a ;（2）49（a－b）
22
2222
222
222
22
－ 16（a＋b）.
222
2
解云云同学说：“这两小题都是平方差的形式，即1－（ 4a）、［7（a－b）］
（a＋b）］，所以都可以用平方差公式进行分解因式。”
解：（1）原式＝1－（4a）＝（1＋4a）（1－4a）；
（2）原式＝［7（a－b） ］
2
22
2
－［4
－［4（a＋b）］
2
＝［7（a－b）＋4（a＋b）］［7（a－b）－4（a＋b）］
＝（11a－3b）（3a－11b）
1
22
；（2）a－2a(b＋c)＋(b＋c).
4
11
2
1
22
解：（1）原式＝x＋2×x×＋（）＝（x＋）；
222例6、因式分解：（1）x＋x＋
2
（2）原式＝［a－(b＋c）］＝(a－b＋c).
22

2
评析：本题都是三项式，要验证是否符合完全平方公式，即确定平 方项与乘积项，看两
个平方项是否同号，乘积项是否是两个平方项底数乘积的2倍。
例7、因式分解：x
4
y
4
－8x
2
y
2
＋16.
解：原式＝（x
2
y
2
）
2
－2×x
2
y
2
×4＋4
2

＝（x
2
y
2
－4）
2

＝［（xy＋2）（xy－2）］
2

＝（xy＋2）
2
（xy－2）
2

注意：因式分解一定要分解到不能再分解为止。
师：同学们的表现很优秀，老师为有你们这样 的学生而感到自豪！下面我们一起来走进09
中考试题，感悟一下中考的氛围吧。
1、把x－2xy＋xy分解因式，结果正确的是（ ）（2009年北京市中考题）
A. x（x＋y）（x－y） B. x(x－2xy＋xy) C. x（x＋y） D. x（x－y）
2、在实数范围内因式分解x－4＝ （2009年杭州市中考题）
3、因式分解：（x＋y）－3（x＋y）＝ （2009年嘉兴市中考题）
4、分解因式：2x－8x＝ （2009年广东省中考题）
5、分解因式：27x＋18x＋3＝ （2009年潍坊市中考题）
2
2
3
2
4
2222
322
6、分解因式：ax－a＝ （2009年济宁市中考题）
7、因式分解：a－b－2b－1＝ （2009年安徽省中考题）
8、 先化简，再求值：
22
1
.（2009年温州市中考题）；
2
1
22
（2）（a＋b）（a－b）＋（a＋b）－2 a，其中a＝3，b＝－.（2009年长沙市中考题）
3
（1）（3＋m）（3－m）＋m(m－6)－7,其中m＝



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