郑州航空工业管理学院是几本-两个100年奋斗目标
妙用平方差公式巧解题
用平方差公式能迅速准确地算出复杂难算题的 答案，现用下列例题揭示利用平方差公式解答计算题的
方法和技巧，希望对大家能有所启发和帮助。
例
1
已知：
a+3b=-2,
求
a+2a-6b-9b
的值。
解：
a+2a-6b-9b
＝
a-9b+2a-6b
＝（
a-9b< br>）
+
（
2a-6b
）
＝（
a+3b)(a -3b)+2(a-3b)=(a-3b)(a+3b+2)=(a-3b)(-2+2)=0
。
如果在解题前不认真分析，不对算式进行科学组合，就很难找到用平方差公式和提取公因式解题的突
破口，可见：解题前的观察分析对解题非常重要。
例
2
计算。
解：分子＝
2001
－
22001
－
19 99
＝
2001
－
22001
－
2001+2
＝
2001
（
2001
－
2
）－（
2001
－
2
）＝（
2001
－
2
）（
2001
－
1
），
分母＝
2001+2001
－
2002< br>＝
2001+2001
－
2001
－
1
＝
2 001
（
2001+1
）－（
2001+1
）
＝（
2001+1
）（
2001
－
1
）。
所以就有：＝＝＝。
如果在解题前不对算式进行认真仔细地观察，就很难发现
“1999
＝
2001
－
2
，
2002
＝
2001+1”
，就更难
发现分子中的公因式是
“2001
－
2”
，分母中的公因式是
“2001+1”
，
“2001”
是分子和分母 中共同的公因式，
由于找到了分子和分母中的公因式，才利用提取公因式法和平方差公式顺利的得出了此 题的准确答案。
例
3
计算（
2+1
）（
2+1
）（
2+1
）（
2+1
）。
解法
1：（
2+1
）（
2+1
）（
2+1
）（
2+1
）＝（
2
－
1
）（
2+1
）（
2+1）（
2+1
）（
2+1
）（
2
－
1
）
＝（
2
－
1
）（
2+1
）（
2 +1
）（
2+1
）（
2
－
1
）＝（
2－
1
）（
2+1
）（
2+1
）（
2
－
1
）
＝（
2
－
1
）（
2+1< br>）（
2
－
1
）＝（
2
－
1
）（2
－
1
）＝
2
－
1
＝
65535，
因为：
2
＝
22
＝
256256
＝
65536
，
2
－
1
＝
65536
－< br>1
＝
65535
，
2
＝
44
＝< br>16
，
2
＝
22
＝
1616
＝
25 6
，
解法
2
：
2
＝
22
＝4
，
2
＝
2
- 1 -
所以（
2+1
）（
2+1
）（
2+1
）（
2+1
）＝
3517257
＝
65535
。
解法
1
的解题者，由于在解题前认真观察分析清楚了算式中的数据规律，先给算式乘以（
2
－
1
），后
给算式除以（
2
－
1
），虽然 没有改变算式的值，但乘在算式前面的（
2—1
）和（
2+1
）却构成了平方 差公式，
这样由前向后逐个处理，就可顺利得到命题者所要的准确结果
“2
－
1”
，在算式最后除以
“2
－
1”
，实质是
除以
1
，足见解法
1
中的解题者是多么的聪明。
解法
2
虽然一气呵成，直接算出了本题的准确答案。但却没有达到编者的意图，如果在计算过程中稍
有不慎，就 会得出错误的结果。其实本题命题者的本意是考查学生运用平方差公式解题的本领，只要解题
者解出“2
－
1”
就行，而并不是要求解题者能算出
“65535”
。 因为该题面向的是八年级学生。
例
4
计算
100
－99+98
－
97+96
－
95+…+6
－
5+4－
3+2
－
1
。
解：
100
－99
＝（
100+99
）（
100
－
99
）＝
199
，
98
－
97
＝（
98+97< br>）（
98
－
97
）＝
195
，
9 6
－
95
＝（
96+95
）（
96
－
95
）＝
191
，
94
－
93
＝（
94+93
）（
94
－
93
）＝
187
，
92
－
91
＝（
92+91
）（
92
－< br>91
）＝
183
，
10
－
9
＝（
10+9
）（
10
－
9
）＝
19
，
8
－
7
＝（
8+7
）（
8
－
7
）＝
15
，
6
－
5
＝（
6+ 5
）（
6
－
5
）＝
11
，
4< br>－
3
＝（
4+3
）（
4
－
3
）＝< br>7
，
2
－
1
＝（
2+1
）（2
－
1
）＝
3
。
观察上述用平方差公式算得 的结果可得，
199
－
4
＝
195
，
195
－
4
＝
191
，
191
－
4
＝
187
，
15
－
4
＝
11
，
11
－
4
＝
7
，
7
－
4
＝
3.
。这样就有：
100
－
99+98
－
97+96
－
95+…+6
－
5+4
－
3+2
－
1
＝
199+195+191+187+183+…+19+15+11+7+3
。
< br>观察
“199+195+194+187+183+…+19+15+11+7+3”
可 发现：
“199+3
＝
202
，
195+7
＝
20 2
，
191+11
＝
202
，
187+15
＝202
，
183+19
＝
202”
。只要能探究明白
“ 199+195+194+187+183+…+19+15+11+7+3”
中能加成多少
个
202
，问题就会很快解决。只好用下述列表的方法探究
“199+195+194+ 187+183+…+19+15+11+7+3”
中究
竟能加成多少个
202
：
- 2 -
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2
199 195 191 187 183 197 175 171 167 163 159 155 151 147 143 139 135 131 127 123 11
3 7 11 15 19 23 27 31 35 39 43 47 51 55 59 63 67 71 75 79 8
202 202 202 202 202 202 202 202 202 202 202 202 202 202 202 202 202 202 202 202 20
由上表可 以看出
“199+195+194+187+183+…+19+15+11+7+3”
中的数 据，共能加出
25
个
202
，
20225
＝
505 0
。
所以就有：
100
－
99+98
－
97+96
－
95+…+6
－
5+4
－
3+2< br>－
1
＝
199+195+191+187+183+…+19+15+11+7+3
＝
20225
＝
5050
。
您还有比上述算法更快捷准确的算法吗？请试试看！
一道难住初中物理教师的数学计算题
女儿向爸爸请教如下一道数学计算题，难住了给她教物理 的爸爸，她的爸爸只好向数学专家请教，最
终解决了问题，现共享于后，以求共同提高。
已知
6x
－
9x+mx+n
能被
6x-x+4
整除，求
m
和
n
的值。
解：这是一道初中学生还没有学的多项式相除问题，具体解法如下：
- 3 -
由上述计算结果可得：
（
m
－
4)x
－
x=0
，
m
－
4
－＝
0
，
m
－＝
0
，
m==
，
n
－（－）＝
0
，
n+
＝
0
，
n=
－
=
－，
您还有比这更妙的解法吗？请赐教！
- 4 -
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