比重的公式人教版八年级数学上《平方差公式》拓展练习

《平方差公式》拓展练习

一、选择题（ 本大题共5小题，共25.0分）
1．（5分）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那 么称该正整数为“和谐数”
如（8＝3
2
﹣1
2
，16＝5
2
﹣3
2
，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所
有的“和谐数”之和为（ ）
A．255054 B．255064 C．250554 D．255024
2．（5分）已知一个圆的半径为Rcm，若这个圆的半径增加2cm，则它的面积增加（ ）
A．4cm
2
B．（2R+4）cm
2
C．（4R+4）cm
2
D．以上都不对
3．（5分）下列运用平方差公式计算，错误的是（ ）
A．（b+a） （a﹣b）＝a
2
﹣b
2

C．（2﹣3x） （﹣3x﹣2）＝9x
2
﹣4
B．（m
2
+n
2
）（m
2
﹣n
2
）＝m
4
﹣n
4

D．（2x+1）（2x﹣1）＝2x
2
﹣1
4．（5分）若a
2
﹣b
2
＝，a+b＝，则a﹣b的值为（ ）
A．﹣ B． C．1 D．2
5．（5分）下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A．（2x+y）（2y+x）
C．（﹣x﹣y）（﹣x+y）
二、填空题（ 本大题共5小题，共25.0分）
6．（5分）阅读下文，寻找规律，并填空：
已知x≠1，计算：（1﹣x）（1+x）＝1﹣x
2

（1﹣x）（1+x+x
2
）＝1﹣x
3

（1﹣x）（1+x+x
2
+x
3
）＝1﹣x
4

（1﹣x）（1+x+x
2
+x
3
+x
4
）＝1﹣ x
5

观察上式，并猜想：（1﹣x）（1+x+x
2
+…+x
n
）＝ ．
7．（5分）计算：2008×2010﹣2009
2
＝ ．
8．（5分）若A＝（2+1）（2
2
+1）（2
4
+1）（2
16
+1）（2
32
+1），则A的个位数字是 ．
9．（5分）计算：
10．（5分）计算：（1）＝ ；
＝ ．
B．（x+1）（﹣x﹣1）
D．（3x﹣y）（﹣3x+y）

第1页（共12页）


（2）＝ ．
三、解答题（ 本大题共5小题，共50.0分）
11．（10分）观察探索：
①（x﹣1）（x+1）＝x
2
﹣1
②（x﹣1）（x
2
+x+1）＝x
3
﹣1
③（x﹣1）（x
3
+x
2
+x+1）＝x
4
﹣1
④（x﹣1）（x
4
+x
3
+x
2
+x+1）＝x
5
﹣1
…
（1）根据规律写出第⑤个等式： ；
（2 ）求2
7
+2
6
+2
5
+2
4
+2
3
+2
2
+2的值；
（3）请求出2
2018
+22017
+2
2016
+…+2
2
+2的个位数字．
12．（10分）通过计算我们知道：
（a﹣1）（a+1）＝a
2
﹣1
（a﹣1）（a
2
+a+1）＝a
3
﹣1
（a﹣1）（a
3
+a
2
+a+1）＝a
4
﹣1
（1）请根据以上计算规律填空：（a﹣1）（a
n
+a
n1
+…+ a
3
+a
2
+a+1）＝
﹣
（2）根据上述规 律，请你求出3
2018
+3
2017
+…+3
3
+32
+3+1的个位上的数字．
13．（10分）探索
（x﹣1）（x+1）＝x
2
﹣1
（x﹣1）（x
2
+x+1）＝x
3
﹣1
（x﹣1）（x
3
+x
2
+x+1）＝x
4
﹣1
（x﹣1）（x
4
+x
3
+x
2
+x+1）＝x< br>5
﹣1
（1）试写出第五个等式；
（2）试求2
6
+2< br>5
+2
4
+2
3
+2
2
+2+1的值； < br>（3）判断2
2017
+2
2016
+2
2015
+ …+2
2
+2+1的值的个位数字是几．
14．（10分）阅读下文件，寻找规律：
已知x≠1，计算：
（1﹣x）（1+x）＝1﹣x
2

（1﹣x）（1+x+x
2
）＝1﹣x
3

第2页（共12页）


（1﹣x）（1+x+x
2
+x
3
）＝1﹣x
4

（1﹣x）（1+x+x
2
+x
3
+x
4
）＝1﹣ x
5

…
（1）观察上式猜想：（1﹣x）（1+x+x
2
+x
3
+…+x
n
）＝．
（2）根据你的猜想计算： ①1+2+2
2
+2
3
+2
4
+…+2
2018< br>②2
14
+2
15
+…+2
100
．
15．（10分）阅读下面的材料并填空：
①（1﹣）（1+）＝1﹣
②（1﹣）（ 1+）＝1﹣
③（1﹣）（1+）＝1﹣
，反过来，得1﹣
，反过来，得1﹣
，反过来，得1﹣
＝（1﹣）（1+）＝
＝（1﹣）（1+）＝ ×
＝ ＝
利用上面的材料中的方法和结论计算下题：
（1﹣）（1﹣）（1﹣）……（1﹣）（1﹣）（1﹣）
第3页（共12页）



《平方差公式》拓展练习

参考答案与试题解析

一、选择题（ 本大题共5小题，共25.0分）
1．（5分）如果一个正整数可以表示为两 个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”
如（8＝3
2
﹣1
2，16＝5
2
﹣3
2
，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017 的正整数中，所
有的“和谐数”之和为（ ）
A．255054 B．255064 C．250554 D．255024
【分析】由（2n+1）
2
﹣（2n﹣1）< br>2
＝8n≤2017，解得n≤252，可得在不超过2017的
正整数中，“和谐数” 共有252个，依此列式计算即可求解．
【解答】解：由（2n+1）
2
﹣（2n﹣ 1）
2
＝8n≤2017，解得n≤252，
则在不超过2017的正整数中，所有 的“和谐数”之和为3
2
﹣1
2
+5
2
﹣3
2+…+505
2
﹣503
2
＝505
2
﹣1
2
＝255024．
故选：D．
【点评】此题考查了平方差公式，弄清题中“和谐数”的定义是解本题的关键．
2．（5分）已知一个圆的半径为Rcm，若这个圆的半径增加2cm，则它的面积增加（ ）
A．4cm
2
B．（2R+4）cm
2
C．（4R+4）cm
2
D．以上都不对
【分析】半径为Rcm的圆的面积是S< br>1
＝πR
2
，若这个圆的半径增加2cm，则其面积是S
2
＝ π（R+2）
2
，用增加后的圆的面积减去增加前圆的面积，利用平方差公式计算即可． 【解答】解：∵S
2
﹣S
1
＝π（R+2）
2
﹣πR< br>2
，
＝π（R+2﹣R）（R+2+R），
＝4π（R+1），
∴它的面积增加4π（R+1）cm
2
．
故选：D．
【点评】本题考查了平方差公式，比较简单，关键是熟悉圆的面积公式．
3．（5分）下列运用平方差公式计算，错误的是（ ）
A．（b+a） （a﹣b）＝a
2
﹣b
2

C．（2﹣3x） （﹣3x﹣2）＝9x
2
﹣4
【分析】根据平方差公式，即可解答．
第4页（共12页）

B．（m
2
+n
2
）（m
2
﹣n
2
）＝m
4
﹣n
4

D．（2x+1）（2x﹣1）＝2x
2
﹣1

【解答】解：A． （b+a）（a﹣b）＝a
2
﹣b
2
，计算正确，故本选项不符合题意； < br>B．（m
2
+n
2
）（m
2
﹣n
2
）＝m
4
﹣n
4
，计算正确，故本选项不符合题意；
C．（2﹣3x）（﹣3x﹣2）＝9x
2
﹣4，计算正确，故本选项不符合题意；
D．（2x+1）（2x﹣1）＝4x
2
﹣1，故本选项错误；
故选：D．
【点评】本题考查了平方差公式，解决本题的关键是熟记平方差公式．
4．（5分）若a
2
﹣b
2
＝，a+b＝，则a﹣b的值为（ ）
A．﹣ B． C．1 D．2
【分析】根据a
2
﹣b
2
＝（a+b）（a﹣b）＝，a+b＝即可求得a﹣b的值．
【解答】解：∵a
2
﹣b
2
＝（a+b）（a﹣b）＝，a+b＝，
∴a﹣b＝÷＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式的结构特点．
5．（5分）下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A．（2x+y）（2y+x）
C．（﹣x﹣y）（﹣x+y）
B．（x+1）（﹣x﹣1）
D．（3x﹣y）（﹣3x+y）

【分析】能用平方差公式进行因式分解的式子的 特点是：两项平方项，符号相反，对各
选项分析判断后利用排除法．
【解答】解：A、（2x +y）（2y+x）不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式计算，故
本选项错误；
B、 （x+1）（﹣x﹣1）＝（﹣y+x）（﹣y﹣x），不符合平方差公式的特点，不能用平方差公
式计 算，故本选项错误；
C、（﹣x﹣y）（﹣x+y）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项正确；
D、（3x﹣y）（﹣3x+y）不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式进行计算，故本选
项错 误．
故选：C．
【点评】本题考查的是应用平方差公式进行计算的能力，掌握平方差公式的 结构特征是
正确解题的关键．
第5页（共12页）


二、填空题（ 本大题共5小题，共25.0分）
6．（5分）阅读下文，寻找规律，并填空：
已知x≠1，计算：（1﹣x）（1+x）＝1﹣x
2

（1﹣x）（1+x+x
2
）＝1﹣x
3

（1﹣x）（1+x+x
2
+x
3
）＝1﹣x
4

（1﹣x）（1+x+x
2
+x
3
+x
4
）＝1﹣ x
5

观察上式，并猜想：（1﹣x）（1+x+x
2
+…+x
n
）＝ 1﹣x
n+1
．
【分析】根据平方差公式和所给出的式子的特点，找出规律，写出答案即可．
【解答】解：（ 1﹣x）（1+x+x
2
+…+x
n
）＝1﹣x
n+1
；
故答案为：1﹣x
n+1
．
【点评】此题考查数字的变化规律，关键是根据平方差公式找出本题的规律，是一道基
础题．
7．（5分）计算：2008×2010﹣2009
2
＝ ﹣1 ．
【分析】先变形，再根据平方差公式进行计算，最后求出即可．
【解答】解：原式＝（2009﹣1）×（2009+1）﹣2009
2

＝2009
2
﹣1﹣2009
2

＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了平方差公式，能灵活运用平方差公式进行计算是解此题的关键．
8．（5 分）若A＝（2+1）（2
2
+1）（2
4
+1）（2
16
+1）（2
32
+1），则A的个位数字是 5 ．
【分析】将A进行化简，确定出个位数字即可．
【解答】解：A＝（2﹣1）（2+1）（2
2
+1）（2
4
+1）（2
16
+1）（2
32< br>+1）
＝（2
2
﹣1）（2
2
+1）（2
4
+1）（2
16
+1）（2
32
+1）
＝（2
4
﹣1）（2
4
+1）（2
16
+1）（2
32
+1）
＝（2
16
﹣1）（2
16
+1）（2
32
+1）
＝（2
32
﹣1）（2
32
+1）
＝2
64
﹣1，
∵2
1
＝2，2
2
＝4 ，2
3
＝8，2
4
＝16，
∴个位上数字以2，4，8，6循环，
∵64÷4＝16，
第6页（共12页）


∴个位上数字为6，
则A个位数字为5，
故答案为：5
【点评】此题考查了平方差公式，以及尾数特征，弄清题中的规律是解本题的关键．
9．（5分）计算：
【分析】在原式的前面添上2×
计算结果．
【解答】解 ：
＝2×
＝2×
＝2×
＝2×
＝2×
＝2×
＝2﹣
＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了平方差公式的运用，解决问题的关 键是在原式的前面添上2×
，便于运用平方差公式．
10．（5分）计算：（1）
（2）＝ 399 ．
＝ ﹣3 ；
+
+


+
+
+
+


＝ 2 ．
，即可连续运用平方差公式进行计算，进而得出
【分析】（1 ）先化成指数相同的幂相乘，再利用积的乘方的性质的逆用计算即可；
（2）先写成20与的和与差的积，再根据平方差公式进行计算．
【解答】解：（1）（）
100
×（﹣3）
101
，
第7页（共12页）


＝（）
100
×（﹣3）
100
×（﹣3），
＝[×（﹣3）]
100
×（﹣3），
＝﹣3；

（2）原式＝（20+）（20﹣），
＝400﹣，
＝399．
【点评 】本题考查了积的乘方的性质的逆用和平方差公式，整理成性质和公式的形式是
解题的关键．
三、解答题（ 本大题共5小题，共50.0分）
11．（10分）观察探索：
①（x﹣1）（x+1）＝x
2
﹣1
②（x﹣1）（x
2
+x+1）＝x
3
﹣1
③（x﹣1）（x
3
+x
2
+x+1）＝x
4
﹣1
④（x﹣1）（x
4
+x
3
+x
2
+x+1）＝x
5
﹣1
…
（1）根据规律写出第⑤个等式： （x﹣1）（x
5
+x
4
+x
3
+x
2
+x+1）＝x
6< br>﹣1 ；
（2）求2
7
+2
6
+2
5
+2
4
+2
3
+2
2
+2的值；
（3）请求出22018
+2
2017
+2
2016
+…+2
2
+2的个位数字．
【分析】（1）根据探索材料规律写出第⑤个等式；
（2）把2
7
+2
6
+2
5
+2
4
+2
3
+2
2
+2变形为2×（2
6
+2
5
+2
4
+2
3
+2
2
+2+1），再根据探索材料规律
得到原式＝2×[ （2﹣1）×（2
6
+2
5
+2
4
+2
3
+2
2
+2+1）]，依此即可求解；
（3）把2
2018
+2< br>2017
+2
2016
+…+2
2
+2变形为2×（2
2017
+2
2016
+…+2
2
+2+1），再根据探索材料规律得到原式＝2×[（2﹣1）×（2
2017
+2
2016
+…+ 2
2
+2+1）]，得出原式＝2
2019
﹣2，研
究2
2 019
的末尾数字规律，进一步解决问题依此即可求解．
【解答】解：（1）第⑤个等式是： （x﹣1）（x
5
+x
4
+x
3
+x
2
+ x+1）＝x
6
﹣1；
（2）2
7
+2
6
+2< br>5
+2
4
+2
3
+2
2
+2
＝2 ×（2
2017
+2
2016
+…+2
2
+2+1）
第8页（共12页）


＝2×[（2﹣1）×（2
6
+ 2
5
+2
4
+2
3
+2
2
+2+1）]
＝2×（2
7
﹣1）
＝2
8
﹣2
＝254；
（3）2
2018
+2
2017
+2
2016
+… +2
2
+2
＝2×（2
2017
+2
2016
+ …+2
2
+2+1）
＝2×[（2﹣1）×（2
2017
+22016
+…+2
2
+2+1）]
＝2×[（2
2018
﹣1）
＝2
2019
﹣2， ∵2
1
的个位数字是2，2
2
的个位数字是4，2
3
的 个位数字是8，2
4
的个位数字是6，2
5
的
个位数字是2，…，
∴2
n
的个位数字是以2、4、8、6四个数字一循环．
2019÷4＝504…3，
所以2
2019
的个位数字是8，
2
2019
﹣2的个位数字是6．
故答案为：（x﹣1）（x
5< br>+x
4
+x
3
+x
2
+x+1）＝x
6﹣1．
【点评】此题考查了平方差公式，乘方的末位数字的规律，尾数特征，注意从简单情形入手，发现规律，解决问题．
12．（10分）通过计算我们知道：
（a﹣1）（a+1）＝a
2
﹣1
（a﹣1）（a
2
+a+1）＝a
3
﹣1
（a﹣1）（a
3
+a
2
+a+1）＝a
4
﹣1
（1）请根据以上计算规律填空：（a﹣1）（a
n
+a
n1
+…+ a
3
+a
2
+a+1）＝ a
n+1
﹣1
﹣< br>（2）根据上述规律，请你求出3
2018
+3
2017
+…+33
+3
2
+3+1的个位上的数字．
【分析】（1）通过计算先找到规律，根据规律得结论；
（2）先把3
2018+3
2017
+…+3
3
+3
2
+3+1乘以（3﹣1 ）变形为（1）中规律的形式，计算出
结果．再找到3
n
的个位数字变化规律，得结论 ．
【解答】解：（1）由以上计算规律可知：
（a﹣1）（a
n
+an1
+…+a
3
+a
2
+a+1）＝a
n+1
﹣1；
﹣
第9页（共12页）


故答案为：a
n+1
﹣1；
（2）3
2018
+3
2017
+…+3
3
+3
2
+3+1
＝（3﹣1）（3
2018
+3
2017
+…+3
3
+3
2
+3+1）
＝（3
2019
﹣1）
因为3
1
＝3，3< br>2
＝9，3
3
＝27，3
4
＝81，
3
5
的个位数字为3，3
6
的个位数字为9，3
7
的个位数字为7，3< br>8
的个位数字为1…
所以3
2019
的个位数字是7
所以原式的个位数字是3．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式，特殊数的个位数字特点． 题目难度较大．解决
本题的关键是把（2）变形为（1）的规律通项．
13．（10分）探索
（x﹣1）（x+1）＝x
2
﹣1
（x﹣1）（x
2
+x+1）＝x
3
﹣1
（x﹣1）（x
3
+x
2
+x+1）＝x
4
﹣1
（x﹣1）（x
4
+x
3
+x
2
+x+1）＝x< br>5
﹣1
（1）试写出第五个等式；
（2）试求2
6
+2< br>5
+2
4
+2
3
+2
2
+2+1的值； < br>（3）判断2
2017
+2
2016
+2
2015
+ …+2
2
+2+1的值的个位数字是几．
【分析】（1）利用规律得出第五个等式即可；
（2）原式变形后，利用得出的规律计算即可得到结果；
（3）原式变形后，利用得出的规律计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：（1）第五 个等式（x﹣1）（x
5
+x
4
+x
3
+x
2+x+1）＝x
6
﹣1；
（2）原式＝（2﹣1）（2
5
+2
5
+2
4
+2
3
+2
2
+2+1）
＝2
7
﹣1
＝127；
（3）原式＝（2﹣1）（2
2 017
+2
2016
+2
2015
+…+2
2
+2 +1）
＝2
2018
﹣1，
则个位上数字是4﹣1＝3．
【点 评】本题考查了多项式乘多项式，尾数特征，规律型：数字的变化类，熟练掌握运
第10页（共12页）


算法则是解本题的关键．
14．（10分）阅读下文件，寻找规律：
已知x≠1，计算：
（1﹣x）（1+x）＝1﹣x
2

（1﹣x）（1+x+x
2
）＝1﹣x
3

（1﹣x）（1+x+x
2
+x
3
）＝1﹣x
4

（1﹣x）（1+x+x
2
+x
3
+x
4
）＝1﹣ x
5

…
（1）观察上式猜想：（1﹣x）（1+x+x
2
+x
3
+…+x
n
）＝． 1﹣x
n+1

（ 2）根据你的猜想计算：①1+2+2
2
+2
3
+2
4
+… +2
2018
②2
14
+2
15
+…+2
100< br>．
【分析】（1）依据变化规律，即可得到（1﹣x）（1+x+x
2
+x< br>3
+…+x
n
）＝1﹣x
n+1
．
（2）①依据（ 1）中的规律，即可得到1+2+2
2
+2
3
+2
4
+…+ 2
2018
的值；
②将2
14
+2
15
+…+2
100
写成（1+2+2
2
+2
3
+2
4
+…+2
100
）﹣（1+2+2
2
+2
3
+2
4
+…+2
13
），即可
运用①中的方法得到结果．
【解答】解：（ 1）由题可得，（1﹣x）（1+x+x
2
+x
3
+…+x
n
）＝1﹣x
n+1
．
故答案为：1﹣x
n+1
；
（2 ）①1+2+2
2
+2
3
+2
4
+…+2
2018
．
＝﹣（1﹣2）（1+2+2
2
+2
3
+2
4
+…+2
2018
）
＝﹣（1﹣2
2019
）
＝2
2019
﹣1；
②2
14
+2
15
+…+2
100

＝（ 1+2+2
2
+2
3
+2
4
+…+2
100
）﹣（1+2+2
2
+2
3
+2
4
+…+2
13
）
＝﹣（1﹣2）（1+2+2
2
+2
3
+2
4
+…+2
100
）+（1﹣2）（1+2+2
2
+2
3+2
4
+…+2
13
）
＝﹣（1﹣2
101
）+（1﹣2
14
）
＝2
101
﹣2
14
．
【点评】此题考查了平方差公式， 认真观察、仔细思考，善用联想，弄清题中的规律是
解决这类问题的方法．
15．（10分）阅读下面的材料并填空：
①（1﹣）（1+）＝1﹣，反过来，得1﹣
第11页（共12页）

＝（1﹣）（1+）＝

②（1﹣）（1+）＝1﹣
③（1﹣）（1+）＝ 1﹣
，反过来，得1﹣
，反过来，得1﹣
＝（1﹣）（1+）＝ ×


＝ （1﹣）（1+） ＝
利用上面的材料中的方法和结论计算下题：
（1﹣）（1﹣）（1﹣）……（1﹣）（1﹣）（1﹣）
【分析】直接利用平方差公式计算进而结合已知规律得出答案．
【解答】解：①（1﹣）（1+）＝1﹣
，
②（1﹣）（1+）＝1﹣
③（ 1﹣）（1+）＝1﹣
，反过来，得1﹣
，反过来，得1﹣
＝（1﹣）（1+）＝×，
＝（1﹣）（1+）＝
，反过来，得1﹣＝（1﹣）（1+）＝
利用上面的材料中的方法和结论计算下题：
（1﹣）（1﹣）（1﹣）……（1﹣
×
）（1﹣）（1﹣）
＝××××…×
＝．
故答案为：，，（1﹣）（1+），．
【点评】此题主要考查了平方差公式，正确应用平方差公式是解题关键．
第12页（共12页）