方差分解公式(完整版)利用平方差公式进行因式分解教学设计

利用平方差公式进行因式分解


教学目标：
知识与技能：
1.理解平方差公式的本质:结构的不变性,字母的可变性.
2.会用平方差公式进行因式分解.
3.使学生了解提公因式法是因式分解首先考虑的方法,再考虑用公式法分解.
过程与方法：
经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程,发展学生的逆向思维,渗透数学的互逆、
换元、 整体的思想,感受数学知识的完整性.
情感态度与价值观：
在探究的过程中培养学生独立思 考的习惯,在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己
的思维和想法,在解决问题的过程中让学生深刻感 受到数学的价值.
教学重点：
掌握运用平方差公式分解因式的方法.
教学难点：
用平方差公式分解因式;培养学生多步骤分解因式的能力.

教学过程
一、新课导入
导入一:
【问题】

填空.
(1)(x+5)(x-5)=

;
(2)(3x+y)(3x-y)=

;
(3)(3m+2n)(3m-2n)=

.
它们的结果有什么共同特征?
尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积:
(1)x
2
-25=

;
(2)9x
2
-y
2
=

;
(3)9m
2
-4n
2
=

.
[设计意图]

学生通过观察、对比,把整式乘法中的平方差公式进行逆向应用,发展 学生
的观察能力与逆向思维能力.
导入二:
在前两节课中我们学习了因式分解的定 义,即把一个多项式分解成几个整式的积的形式,
还学习了提公因式法分解因式,即如果一个多项式的各 项都含有公因式,那么就可以把这个公
因式提出来,从而将多项式化成几个因式乘积的形式.
如果一个多项式的各项不都含有相同的因式,是否就不能分解因式了呢?当然不是,只要
我们记住因式分 解是整式乘法的逆过程,就能利用这种关系找到新的因式分解的方法,本节课
我们就来学习另外一种因式 分解的方法——公式法.
[设计意图]

复习之前学过的知识后,提出疑问,直接引入新课,开门见山,激发学生的学
习兴趣.
二、新知构建
1、用平方差公式分解因式
请看乘法公式:
(a+b)(a-b)=a
2
-b
2
.

(1)
左边是整式乘法,右边是一个多项式,把这个等式反过来就是:
a
2
-b
2
=(a+b)(a-b).

(2)
左边是一个多项式,右边是整式的乘积.大家判断一下,第二个式子从左边到右边是否为
因式分 解?
符合因式分解的定义,因此是因式分解.
等式(1)是整式乘法中的平方差公式,等式(2)可以看做是因式分解中的平方差公式.
a
2
-b
2
是一个二项式,每项都可以化成整式的平方,整体来看是两个整式的 平方差.
如果一个二项式,它能够化成两个整式的平方差的形式,那么就可以用平方差公式分解因式,将多项式分解成两个整式的和与差的积.如:
x
2
-16=x
2< br>-4
2
=(x+4)(x-4);
9m
2
-4n
2
=(3m)
2
-(2n)
2
=(3m+2n)·(3m-2n).
[设计意图]

让学生通过自己的归纳找到因式分解中平方差公式的特征,并能利用相关
结论进行实例练习.
2、例题讲解

[过渡语] 同学们,前面我们学习了用平方差公式分解因式,下面我们通过几个例题来巩
固所学的知识.
(教材例1)把下列各式因式分解:
(1)25-16x
2
;

(2)9a
2
-b
2
.
解:(1)25-16x
2
=5
2
-(4x)
2
=(5+4x)(5-4x).
( 2)9a
2
-b
2
=(3a)
2
-=3a+b·3a-b.
(教材例2)把下列各式因式分解:
(1)9(m+n)
2
-(m-n)
2
;
(2)2x
3
-8x.
解:(1)9(m+n)
2
-(m-n)
2

=[3(m+n)]
2
-(m-n)
2

=[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]
=(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n)
=(4m+2n)(2m+4n)
=4(2m+n)(m+2n).
(2)2x
3
-8x=2x(x
2
-4)=2x(x+2)(x-2).
说明:教材例1是把一个多项式的两项都化成两个单 项式的平方,利用平方差公式分解因
式;教材例2的(1)是把一个二项式化成两个多项式的平方差,然 后用平方差公式分解因式,教
材例2的(2)是先提取公因式,然后再用平方差公式分解因式,由此可知 ,当一个题中既要用提
公因式法,又要用公式法分解因式时,首先要考虑提公因式法,再考虑公式法.
[设计意图]

教师讲解例题,明确思维方法,给出书写范例.
三、课堂小结
平方差公式:a
2
-b
2
=(a+b)(a-b).
我们 已学习过的因式分解的方法有提公因式法和平方差公式法.如果多项式各项含有公
因式,那么第一步是提 公因式,然后看是否符合平方差公式的结构特点,若符合则继续进行.
分解因式以后,若所含的多项式 还可以继续分解,则需要进一步分解因式,直到每个多项
式都不能分解为止.
四、检测反馈
1.下列因式分解正确的是 (

)
A.x
2
+y
2
=(x+y)(x-y)
B.x
2
-y
2
=(x+y)(x-y)
C.x
2
+y
2
=(x+y)
2

D.x
2
-y
2
=(x-y)
2

解析: x
2
+y
2
不能在有理数范围内因式分解,x
2
-y
2
=(x+y)(x-y).故选B.
2.分解因式:a
3
-4a=

.
解析:a3
-4a=a(a
2
-4)=a(a+2)(a-2).故填a(a+2)(a- 2).
3.(2015·恩施中考)因式分解:9bx
2
y-by
3
=

.
解析:原式=by(9x
2
-y
2)=by(3x+y)(3x-y).故填by(3x+y)(3x-y).
4.已知x
2
-y
2
=69,x+y=3,则x-y=

.
解析:因为x
2
-y
2
=69,所以(x+y)(x -y)=69,因为x+y=3,所以3(x-y)=69,所以x-y=23.故填23.
5.分解因式:(3a-2b)
2
-(2a+3b)
2
.
解:(3a-2b)
2
-(2a+3b)
2

=[(3a-2b)+(2a+3b)][(3a-2b)-(2a+3b)]
=(3a-2b+2a+3b)(3a-2b-2a-3b)
=(5a+b)(a-5b).
五、布置作业
【必做题】
教材第100页随堂练习的1,2题.
【选做题】
教材第100页习题4.4的1,2题.
六、板书设计
公式法（利用平方差公式进行因式分解）
一、用平方差公式分解因式
a
2
-b
2
=(a+b)(a-b)
二、例题讲解