曲线积分公式数学;15.5《几何体的体积》教案(3)(沪教版高三上)

15．5几何体的体积（3）
——圆锥和球的体积
上海市第二中学 闫滨

一、教学内容分析
本节课是柱体和棱锥体积公式推导思 想的继续应用，体积公式的理解和记忆是重点，公式的
推导过程中所蕴涵的思想方法同样是重点..
二、教学目标设计
1、理解圆锥、球的体积公式的推导过程；
2、体会等价转化、割补法、微分法的思想；
3、感受体积公式探究过程中所蕴含的辩证思想.
三、教学重点及难点
圆锥和球的体积公式及其推导过程.
四、教学用具准备
教具：底面半径和高都相等的圆锥、半球和圆柱，多媒体设备（宋体四号）
五、教学流程设计


复习总结柱
体体积公式，
棱锥体积公式

的推导方法。

巩固练习

六、教学过程设计
一、 引入
圆锥体积公式
的推导
球的体积公式
的推导
课堂小结 作业布置
复习总结柱体体积公式，棱锥体积公式的推导方法.
二、学习新课
1、圆锥体积公式的推导
问题：根据上述思想，如何求圆锥的体积？
1）．思路分析讨论
可以构造一个与圆锥等底面积等高的棱锥，或者将圆锥切割.
2）．推导过程
法一、构造等底面积等高的棱锥
采用课本方法证明等底面积等高的锥体体积 相等，过程见课本，师生共同分析思路后学生阅
读课本.
法二、微分法
将圆周n等 分，当n充分大时可把每段圆弧所对应的扇形近似为三角形，以这些三角形为底
面圆锥的顶点为顶点将圆 锥分为n个三棱锥，这些三棱锥体积之和就近似为圆锥体积，当n 趋
向于无穷大时，其极限就是圆锥体积.
2．球的体积公式的推导
1）提出问题
能否仿照圆锥体积公式的推导方法推导球的体积?
2）分析讨论
首先,球没有底面，所以无法找出与之对应的柱体或锥体，因此，可考虑采用切割法.
思路一：先求半球的体积，半球的底面看作球大圆；
思路二：微分法，把整个球面n等分
3）推导过程
法一：设半球半径为R，构造底面半径为R高为R的圆柱和圆锥，可知圆锥的体 积是圆柱体积
的三分之一，猜想半球的体积与它们是否有关系，有何关系.等学生稍作猜测后，教师拿出 事
先准备的底面半径和高都是R的圆柱、圆锥、和半球，圆柱内装满细沙，请一名学生将圆柱
内 的细沙依次装满半球和圆锥，验证学生的猜想.
学生看到结果后，自然提出问题：如何证明？
引导学生用祖暅原理进行论证.
法二：微分法：引导学生根据圆锥体积公式推导中的微分法的 思想，及生活经历中切西瓜的
情景，联想到球体的微分方法，把球面n等分，每一部分作为底面，球心作 为顶点，把球n
等分，当n充分大时，每一部分可近似为高为球的半径的棱锥，所以，球的体积就是表面 积
与半径乘积的三分之一.
4）体积公式的特点及记忆
提出问题：球的体积公式有何特点？如何记忆？
三、巩固练习
1、已知球的体积是S，1）若把表面积扩大一倍，求体积；
2）若圆锥的底面半径与球的半径相等，且体积与球相等，求圆锥的高.
四、课堂小结
1、圆锥与球的体积公式的记忆；
2、体积公式的推导方法.
五、作业布置
练习册，
七、教学设计说明
二期课改教材的一大特点是教师可以发挥更多的主动性 、创造性，本节教材比较简练，
圆锥体积有推导过程，而球的体积只是一句话带过.其中思路的探究过程 完全被掩盖了.我认
为数学教育决不是背公式、用公式，这些都可以由计算机完成.数学教育应当是数学 思维的教
育，通过问题的探究和解决锻炼学生的思维，提高学生的素养.而本节两个公式的推导恰恰蕴< br>涵了丰富的数学思想方法，使思维培养的绝好素材.两个公式的推导过程中包含了观察、类比、
猜 想、割补、构造、特殊化、微分极限等思想方法.所以我不惜用整节课时间引导学生采用上
述方法去发现 ，推导体积公式，从目前教育的现实角度来讲，除了套公式外，体积问题中的
主要解法也就是上述方法.
另外，推导过程中的微分法在这里的严密性会遭到质疑.教师可以向学生说明这种方法不作为
严 格证明，但是其思想还是让学生了解一些为好.