风量公式《扁锥几何学》与“万能体积计算公式”

《扁锥几何学》与
“万能体积计算公式”
（云南
省石屏县第二中学）

刘必德

关键词：扁锥几何学、扁锥、扁锥面、扁锥曲线、万能体积计算公式。

我经多年研究，在云南师范大学《成人教育》1994年第一期上发表《扁锥的提
出及其研究》论文，之后又于1998年以“内部资料”的形式出版了《扁锥几何学》一
书，全书约十万 余字，共10章。其中我主要提出并论证了“形变求积法”，“扁锥面”、
“扭面”、“螺旋面”、扁锥 体等概念。给出了“扁锥面”、“圆锥面”、“椭锥面”的统一
定义及方程，证明圆锥曲线仅是扁锥曲线 的特殊情形；导出“扭面”、“螺旋面”方程，
证明平面是扭面的特殊情形。而且我发现，扁锥曲线（椭 圆、扁锥抛物线、扁锥双
曲线，蛋形曲线）比圆锥曲线多了一种曲线，由于此种曲线的形状象鸡蛋的剖面 一
样，一端大，一端小，为此，
我把这种曲线称为“蛋形曲线”， 并证明“椭圆”是“蛋形曲线”的特殊情形。另外
我在书中还研究了类似“扁锥”的“矩扁锥”、“菱扁锥”以及对应的“矩扁锥面”、
“菱扁锥面”的许多几何性质和物理性质。更重要的是我经归纳总结，发现了一
个能计算数十种不同形状的体积计算公式——“万能体积计算公式”。
那么，什么是扁锥呢？
由于篇幅容量的限制，不能详尽的介绍，形像的说：扁锥就是如右
边第一个图所示的，形似“牙膏”形壮的，一头是圆的，一头是扁的柱
体。第二个图的形体我把它称为椭底扁锥。
为了让大家对《扁锥几何学》所研究的内容有一个初步的了解，下面我
绘出了几种柱体和锥体，供大家比较。在《扁锥几何学》中，笔者不仅研
究了“扁锥面”、“椭锥面”、“圆锥面”的关系，而且还研究了与扁锥面有
类似性质的“矩扁锥面”、“菱扁锥面”的几何性质。并研究了与之相关的
许多几何体的体积计算问题。






a
扁






扁

锥

面








我把常见的几何体分为三类：
（1）、横截面中含有椭圆或圆的几何体 称为“扁锥面系形体”。如：圆柱、圆
台、圆锥、椭柱、椭台、椭锥、扁锥、椭底扁锥等。
（2）、横截面中含有矩形或正方形的几何体称为“矩扁锥面系形体”。如：正
四棱台、正四棱锥、长方 体、矩扁锥等。
（3）、横截面中含有菱形或三角形的几何体称为“菱扁锥面系形体”。如 ：菱
柱、菱台、菱扁锥、菱锥、三棱柱、三棱台、三棱扁锥、三棱锥等。
下图中，第一列的四 种形体属扁锥面系形体；第二列的四种形体属矩扁锥面系
形体；第三列的四种形体属菱扁锥面系形体。













圆
锥
面

























仔细观察这些形体你会发现：每列的下面三种形体都可由最上面的图形 变化面得。
即分别令第一个图中的参数a、b、c、d为零而得。而这些形体，虽然形状各异，但
只用下面这个公式便可求出它们的体积，你不觉得很奇妙吗？

n
V = ——（2ab +2cd +ac +bd）h
m
（1）

上式中，对于扁锥面系n =
π
，m = 24 ；对于菱扁锥面系形体n =1，m = 12 ；对
于矩扁锥面系形体n = 1，m = 6 。a 、b，c、d分别表示所研究柱体的上下底面两条
互垂对称轴的长，h为柱体的高。例如，若要计算上图 中圆锥的体积，只要在令n =
1
π
，m = 24，a =b = 2R， c = d = 0代入（1）式便得
V
（2）

3
圆锥
= —
π
R
2
h
若要求上图中自封闭扁锥的体积，则只要令 n =
π
，m = 24，b = d = 0代入（1）式
便得
1
V
（3）
自封
24
闭扁锥
= — πach

事实上，（1） 式可计算的形体比上图中所给出的还要多得多，笔者曾把（1）式
可计算的形体绘成了一张图，编辑在《 扁锥几何学》中，并自称为“刘必德太极体
积图”。图中不仅给出了每种形体对应的体积计算公式，以及 这些公式与“万能体积
计算公式”的关系，而且从图中还可看出这些形体的互变关系。只可惜此图所需容
量大，不能在此向大家展示。
笔者狂言：我研究提出的《扁锥几何学》是继两千多年前，圆锥 曲线论的奠基
者阿波罗尼斯撰著的《圆锥曲线》论的发展和顶峰。只是笔者人微言轻，笔者的研
究一直得不到社会的重视，深感痛心：抡槌欲擂天鼓鸣，但见云膜振无声。科学已
感苦凄凉，何日光辉照 扁锥？别人为钱甩技俩，我却愁思拜佛神。神我拜了，香我
没烧，就其原因：一是我的香油极微，烧不起 ；二是平生不会烧香。以许《扁锥几
何学》只有等到我不在人世之后才能进入科学殿堂了，那以无耐，历 史上许多科学
发现巨匠不也是这样的吗！虽这样想，但我还是希望有不要香火的好神帮助，使《扁
锥几何学》这门奇妙的几何科学早享尊荣。今借《奇迹文库》介绍给大家，但求心
愿能了。






2005上10月15日