大四下学期还能考四级吗-现在分词的用法
高三年级一模考试
数学I
参考公式：1.柱体的体积公式：，其中是柱体的底面面积，是高.
2.圆锥的侧面积公式：，其中是圆锥底面的周长，是母线长.
一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置.
1.
已知集合，则
___________
．
【答案】
【解析】
集合
，
则
故答案为：
.
2.
已知复数
（
为虚数单位），则的模为
____．
【答案】
【解析】
，所以。
3.
函数的定义域为
____．
【答案】
【解析】
，解得定义域为。
4.
如图是一个算法的伪代码，运行后输出的值为
___________
．
1
【答案】13
【解析】
根据题意得到：
a=0,b=1,i=2
A=1,b=2,i=4,
A=3,b=5,i=6,
A=8,b=13,i=8
不满足条件，故得到此时输出的
b
值为
13.
故答案为：
13.
5.
某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行 分析，随机抽取了
150
分到
450
分之间的
1 000
名
学生的成绩，并根据这
1 000
名学生的成绩画出样本的频率分布 直方图
(
如图
)
，则成绩在
[250，400)
内的
学生共有
____
人．
学
.
科
.
网
. ..
学
.
科
.
网
...
学
.
科< br>.
网
...
学
.
科
.
网
...学
.
科
.
网
...
学
.
科
.
网
...
学
.
科
.
网
...
学< br>.
科
.
网
...
【答案】
750
【解析】
因为
所以
6.
在平面直角坐标系中，已知双曲线
。
的一条渐近线方程为，则该双曲线的
，得，
2
离心率为
____．
【答案】
【解析】
，所以，得离心率。
7.
连续
2
次抛掷一颗质地均匀的骰 子（六个面上分别标有数字
1，2，3，4，5，6
的正方体），观察向上
的点数，则 事件
“
点数之积是
3
的倍数
”
的概率为
____．
【答案】
【解析】
总事件数为，
目标事件：当第一颗骰子为
1,2,4,6
，具体事件有
，共
8
种；
当第一颗骰子为
3,6
，则第二颗骰子随便都 可以，则有
所以目标事件共
20
中，所以
8.
已知正四棱柱的底面边 长为
【答案】54
【解析】
Aa
设正四棱柱的高为
h
得到
故答案为：
54.
9.
若函数
值为
__________
．
【答案】4
【解析】
函数
周期为：，故得到
故答案为：
4.
10.
在平面直角坐标系中，曲线上任意一点到直线的距离的最小值为
__________
．
的图象与直线
的三个相邻交点的横坐标分别是，故得到函数的
的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是，则实数的
故得到正四棱柱的体积为
。
，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的体积是
_________
种；
3
【答案】
【解析】
，所以，得，由图象对称性，取点，
所以
11.
已知等差数列
【答案】11
【解析】
等差数列满足
。
满足，则的值为
___________
．
,
故答案为：
11.
点睛：这个题目考查的是等差数列的性质和应用；解 决等差或者等比数列的小题时，常见的思路是可以化
基本量，解方程；利用等差等比数列的性质解决题目 ；还有就是如果题目中涉及到的项较多时，可以观察
项和项之间的脚码间的关系，也可以通过这个发现规 律。
12.
在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于直线的对称点在圆
上，则 的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
设圆
得 到
上的点，这个点关于直线的对称点为，将
Q
点代入圆上
，联立两个圆的方程得到
故答案为：
13.
已知函数
.
，函数，则不等式的解集为
_______
.
4
【答案】
【解析】
函数
f
（
x
）
=
，
当﹣
1≤x≤1
时，
f
（
x
）
=1
﹣x
；
当
x
＜﹣
1
时，
f
（
x
）
=x+3
；
2
当
x
＞1
时，
f
（
x
）
=
（
x
﹣< br>1
）．
①
当
x
＞
1
，即﹣
x
＜﹣
1
，
22
可得
g
（
x
）
=
（
x
﹣
1
）
+3
﹣
x=x
﹣
3x+4
，
由
g
（
x
）
≤2
，解得
1
＜
x≤2
；
②
当
x
＜﹣
1
时，﹣
x
＞
1
，则
g
（
x
）
=x+3+
（
x+1
）
2
=x
2
+3x+4
，
由
g
（
x
）
≤2
，解得﹣
2≤x
＜﹣
1
；
③当﹣
1≤x≤1
时，﹣
1≤
﹣
x≤1
，
可得
g
（
x
）
=1
﹣
x+1+x=2
，
由
g
（
x
）
≤2
，解得﹣
1 ≤x≤1
，
综上可得，原不等式的解集为
[
﹣
2
，
2]
．
故答案为：
[
﹣
2
，
2]
．
1 4.
如图，在中，已知为边的中点.若，垂足为，则的
值为
____________
.
【答案】
【解析】
根据平面向量基本定理得到
设
EA=x,
，两边平方得到
AD
，在三角形
ABC
中用余弦定理得 到
BC=
，
在三角形
ACE
和
CDE
中分别应用勾 股定理，得到
x=
.
5
故答案为：
点睛： 这个题目考查的是向量基本定理的应用；向量的点积运算。解决向量的小题常用方法有：数形结合，
向量 的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和
方向 的向量为基底。
第Ⅱ卷（共90分）
二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题 卡指定区域作答，解答时应写出文字说
明、证明过程或计算步骤.
15.
在
（1）求
（2）若
中，角
的值；
，求的面积.
所对的边分别为，且.
【答案】（1）3（2）78
【解析】
试题分析：（
1
）由两角和差公式得到
，进而求 得数值；（
2
）由三角形的三个角的关系得到
故面积公式为
解析：
（1
）在
所以
所以
中，由
，
.
，得为锐角，所以
，
.
，由三角形中的数值关系得到
，再由正弦定理得到
b=15,
（2
）在三角形
所以
中
,
由
，
，
由
，
由正弦定理
,
得
，
6
所以的面积
中，
；
.
分别是的中点．
16.
如图，在直三棱柱
求证：（1）
（2）
平面
.
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
试题分析：（< br>1
）证明线面平行，可先证线线平行，构造平行四边形
（
2
）证明线线 垂直，可先证线面垂直，
故
解析：
（1
）证明：取
因为
所 以
在直三棱柱
又因为是
所以
所以四边形
所以
而
所以
平面
平面
分别是
且
的中点，连结
的中点
，
中，
的中点，
且
.
是平行四边形，
，
，
.
平面
，
，，
面，进而得到线线垂直
.
面，所以
得到
，即
，故平面；
，，又因为
7
（2
）证明：因为三棱柱
又因为
所以面
又因为
面
所以
又因为
所以
连结
所以
又因为
所以
而< br>所以
面
.
面
面
面
面
，即
，因为在平行四边形
，
，且
，
，
，
，
，
，
面
面
，所以
，
，
，
为直三棱柱，所以面
，
，
，
中
，，
面
，
17.
某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面 和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用
于艺术装饰，如图1.为了便于设计，可将该礼品看成是由圆及其 内接等腰三角形
在直线旋转180°而成，如图2.已知圆的半径为，设
绕底边上的高所
. ，圆锥的侧面积为
（1）求关于的函数关系式；
（2）为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积最大.求取得最大值时腰的长度.
8
【答案】（1）
【解析】
试
S
求导分析，得
试题解析：
题分析
，
在
：（
1
，
（2）侧面积取得最大值时
，
等腰三角形的腰的长度为
）由条件，
，
令，所以得
，
所以
；（2）
时取得极 大值，也是最大值。
，通过
（1
）设交
在
在
所 以S
于点，过作
中，
中，
，
，
，垂足为
，
，
，
（2
）要使侧面积最大，由（
1
）得：
令
由
，所以得
得：
，
9
当
所以
所以
所以当
时，
在区间
在
，当时，
上单调递减， 上单调递增，在区间
时取得极大值，也是最大值；
时，侧面积取得最大值，
此时等腰三角形的腰长
答：侧面积取得最大值时，等腰三角形的腰的长度为
．
18.
如图，在平面直角坐标系
xOy
中，已知椭圆
焦点，
为椭圆上关于原点对称的两点，连接
的离心率为，且过点
分别交椭圆于两点
.
.
为椭圆的右
⑴求椭圆的标准方程；
⑵若
⑶设直线
，求
，
的值；
的斜率分别为
，
，是否存在实数，使得，若存在，求出的值；若不存在，
请说明理由
.
【答案】
（1）
【解析】
试题分析：（
1
）
（2） （3）
；（
2
）由椭 圆对称性，知，所以
，
此时直线方程为
，
故
． （3）
设，则
，
通过直线和椭圆方程，解得
10
，，
所以
，
即存在。
试题解析：
（1
）设椭圆方程为，由题意知：
解之得：，所以椭圆方程为：
（2
）若，由椭圆对称性，知，所以
，
此时直线方程为
，
由，得，解得
（
舍去），
故
．
（3
）设，则
，
直线的方程为，代入椭圆方程，得
，
因为是该方程的一个解，所以点的横坐标
，
又在直线上，所以
，
同理，点坐标为
，，
所以
，
11
即存在，使得
．
.
19.
已知函数
（1）当时，求函数的极值；
的图象都相切的直线，求实数的取值范围. （2）若存在与函数
【答案】（1）当
【解析】
时，函数取得极小值为，无极大值；（2）
试题分析：（
1
）对函数求导研 究单调性，进而得到极值；（
2
）问题转化为
有解求参数的范围，对函数求导研究函数 的单调性，进而得到函数的图像，从
而得到参数范围
.
解析：
（1
）函数
当
所以
所以当
所以函数
所以当
时，
在区间
时，函数
上点
，当
时，
时，
，
单调递增，
，无极大值；
上点处切线相同，
的定义域为
，
单调递减，在区间
取得极小值为
与函数
（2
）设函数< br>则
所以
所以，代入得：
12
设，则
不妨设
所以
代入
在区间
则当
上单调递减， 在区间
可得：
时，
，
当
上单调递增，
时，
设
所以
所以当
又当时
在区间
时
，则上单调递增，又
，即当时
对恒成立，
,
因此当
即存在
又由时，函数
使得函数
得：
上点
必有零点；即当
与函数上点
时，必存在使得
处切线相同．
成立；
所以单调递减，因此
．
所以实数的取值范围是
点睛：函数的零 点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以
e
为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：
(1)
确定函数零点 、图象交点及方程
根的个数问题；
(2)
应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况 ，求参数的值或取值范围问题．
20.
已知数列
（1）若
（2）若数列（3）若
是等比数列，求
，且
，其前项和为，满足
，求证：数列
的值；
是等差数列.
，其中
是等比数列；
，.
，求证：数列
【答案】（1）见解析（2）（3）见解析
13
【解析】
试题分析：（
1
）根据题意得到，即，所以
数列 ；（
2
）是等比数列，设其公比为，根据，
，可构造方程进而求得参数值；（
3
）先求得，由
，两式相减得：，化简得到
由迭代的方法得到数列进而证得数列是等差 数列
.
解析：
（1
）证明：若，则当
(),
所以
，
即
，
所以
，
又由
，，
得
，
，即
，
所以
，
故数列是等比数列．
（2
）若是等比数列，设其公比为
（ ），
当时，，即，得
， ①
当时，，即，得
， ②
当时，，即，得
， ③
②
?
①
?
，得
，
③
?
②
?
，得
，
解得
．
代入①式，得
．
此时
()，
所以
，
是公比为１的等比数列，
，故数列是等比
，
，得
，再
14
故
．
（3）
证明：若，由，得
，
又，解得
．
由
，， ，
，代入得
，
所以
，，
成等差数列，
由，得
，
两式相减得：
即
所以
相减得：
所以
所以
，
因为，所以
，
即数列是等差数列
.
15
16
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