求导数的公式泰勒公式及其应用

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泰勒公式及其应用

作者：闫艳

来源：《教育界·上旬》2015年第04期

【摘 要】泰勒公式 是高等数学中的一个重要公式，它能将一些复杂的函数近似地表示成
简单的多项式函数。本文主要探讨了 泰勒公式在极限运算、近似计算、不等式的证明、级数敛
散性的判断等方面的应用。
【关键词】泰勒公式 极限 不等式 收敛性
一、泰勒公式
泰勒公式是一元微积分的一个重要内容，不仅在理论上占有重要地位，在近似计算、极限
计算、函数性质 的研究等方面都有着重要的应用。泰勒公式的一般形式为：
其中为拉格朗日余项或皮亚诺型余项。
若令，则泰勒公式变为麦克劳林公式，即：
二、泰勒公式的应用
1.利用泰勒公式求极限
为了简化极限运算，有时可用某项的泰勒展开式来代替该项，使得原来函数的极限转化为
类似多项式有理 分式的极限，就能简捷地求出。
例如求极限 ，此为型极限，若用罗比塔法则很麻烦。这时可将和分别用其泰勒展开式代
替，则可简化此比式，求得
==.
注：用泰勒公式计算极限的实质是利用等价无穷小的替代来计算极限。我们知道，当时，
等，这种等价 无穷小其实就是将函数用泰勒公式开至一次项，有些问题用泰勒公式和我们已经
熟知的等价无穷小法相结 合，问题又能进一步简化。
2. 利用泰勒公式判断函数的极值
讨论函数极值通用的方法是：当且（或）时，是的极小（大）值。但如果此时，此方法不
能判别 是否为极值点，可用泰勒公式。