椭圆公式-早上吃什么好
泰勒公式及其应用
泰勒(Tayler)中值定理
若函数
时,
在含有的某个开区间内具有直到阶导数,则当
可以表示成
这里是与之间的某个值。
三、几个概念
1、
此式称为函数
或者称之为函数
当
按
在点
的幂次展开到
处的
阶的泰勒公式;
阶泰勒展开式。
时, 泰勒公式变为
这正是拉格朗日中值定理的形式。 因此,我们也称泰勒公式中的余项。
为拉格朗日余项。
2、对固定的,若
有
此式可用作误差界的估计。
故
表明: 误差
皮亚诺余项。
3、若,则
是当 时较 高阶无穷小, 这一余项表达式称之为
在 与 之间,它表示成形式 ,
泰勒公式有较简单的形式 —— 麦克劳林公式
近似公式
误差估计式
【例1】求
解:
的麦克劳林公式。
,
于是
有近似公式
其误差的界为
我们有函数 的一些近似表达式。
(1)、
【例2】求
(2)、 (3)、
的 阶麦克劳林公式。
解:
它们的值依次取四个数值 。
其中:
同样,我们也可给出曲线
的近似曲线如下,并用matlab作出它们的图象。
【例3】求
的麦克劳林展开式的前四项,并给出皮亚诺余项。
解:
于是:
利用泰勒展开式求函数的极限,可以说是求极限方法中的“终极武器”, 使用这一方
法可求许多其它方法难以处理的极限。
【例4】利用泰勒展开式再求极限 。
解:,
【注解】
现在,我们可以彻底地说清楚下述解法的错误之处
因为,从而
当
时,,应为
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