截面积公式考研高数-泰勒公式及其应用典型例题

泰勒公式及其应用

泰勒(Tayler)中值定理
若函数
时，
在含有的某个开区间内具有直到阶导数，则当
可以表示成

这里是与之间的某个值。
三、几个概念
1、
此式称为函数
或者称之为函数
当
按
在点
的幂次展开到
处的
阶的泰勒公式；

阶泰勒展开式。
时， 泰勒公式变为

这正是拉格朗日中值定理的形式。 因此，我们也称泰勒公式中的余项。
为拉格朗日余项。
2、对固定的，若
有
此式可用作误差界的估计。


故
表明： 误差
皮亚诺余项。
3、若，则
是当 时较 高阶无穷小， 这一余项表达式称之为
在 与 之间，它表示成形式 ，
泰勒公式有较简单的形式 —— 麦克劳林公式

近似公式

误差估计式



【例1】求
解：
的麦克劳林公式。

，
于是
有近似公式
其误差的界为
我们有函数 的一些近似表达式。

(1)、

【例2】求
(2)、 (3)、
的 阶麦克劳林公式。
解：

它们的值依次取四个数值 。

其中：
同样，我们也可给出曲线

的近似曲线如下，并用matlab作出它们的图象。


【例3】求

的麦克劳林展开式的前四项，并给出皮亚诺余项。
解：



于是：
利用泰勒展开式求函数的极限，可以说是求极限方法中的“终极武器”， 使用这一方
法可求许多其它方法难以处理的极限。
【例4】利用泰勒展开式再求极限 。
解：，


【注解】
现在，我们可以彻底地说清楚下述解法的错误之处
因为，从而

当



时，，应为