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高考助手:泰勒公式详解
什么是泰勒公式?
数学中,泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。
如果函数足够平滑的话 ,在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下,
泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近 似函数在这一点的邻域
中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。
历史背景
泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。他在1712年的一封信里首次叙
述了这个公式,尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例。拉格朗日
在1797年之前, 最先提出了带有余项的现在形式的泰勒定理。
泰勒公式其实就是下面这一长串等式!
那么问题来了
等式两边真的相等吗?
需要验证一下
(搞不懂的,多看几遍)
为什么要用导数呢?
想想两函数相同不光要函数初始值相同,标化率也要相同,变化率的变化
率...都要相同。
假如有两辆车:一辆兰博基尼,一辆QQ,这两辆车同时停在起跑线上,跑
道是无限长的笔直公 路,准备比赛,提出一个问题,十秒后,他俩跑的距离是
一样的吗?
我们目前已知的条件只有 ,两车的初速度都是0,但是显然我们都知道兰
博基尼发动机可真强劲,不是qq能比的,发动机越强劲 ,那么加速度就越大,
显然我们就可以知道,这种情况下,十秒后,兰博基尼早把qq甩得没影了。 < br>于是qq车主发奋图强,改装发动机,让qq的加速度和兰博基尼一模一样,
那么由于他们加速度 一模一样,那么很显然十秒后,两车所跑得距离也是一样,
这很简单对吧。但是实际情况往往比较复杂, 复杂在哪里呢?
那就是,加速度他不是个常量,是个随时间变化的函数,也就是说,加速
度也 有个导数,那个导数就是加速度的变化,复杂的是,加速度的加速度也不
是个常数,他也在随时间变化, 于是加速度的加速度也有个导数,叫加速度的
加速度的加速度·······所以QQ想要真的在很长一 段时间之后和兰博基
尼跑的一样快,就需要很多很多次求导之后的值还一样。
不过有一点很关 键,这也是泰勒想到一个关键的点,那就是,只要两个事
物的初始的速度相同,初速度随时间变化的情况 相同,初速度随时间变化的变
化相同,初速度随时间变化的变化的变化相同······如果推到极限, 那
么这两者的运动轨迹就会无限相同。
泰勒公式怎么来的呢?
根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有:
(导数公式的变形)
所以在近似计算中往往不够精确,于是就需要一个能够足够精确的且能估
计出误差的多项式:
截止目前为止 我们得到了一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式,
以及这个多项式的系数的推导过程,这能帮助 我们更好的理解泰勒公式。
有没看懂!
学好数学最重要的就是要数形结合
文字没看懂没关系,咋们用图象说话
先来看一看泰勒公式近似效果(随着展开项的增多)
变成了有规律的“心电图”
多看几遍就懂了
最后,知识点+例题放上
泰勒公式是高等数学考的内容,高考是不会考的 ,同学们在这里只用做一个课
外的兴趣了解,有兴趣的同学可以多查阅有关的资料,做更深的学习,毕竟 多
学点东西总是没错的!
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