本金公式[考研类试卷]考研数学二(一元函数的泰勒公式及其应用、常微分方程)模拟试卷1.doc

[考研类试卷]考研数学二（一元函数的泰勒公式及其应用、常微分方
程）模拟试卷1

一、解答题
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1 求的带皮亚诺余项的三阶麦克劳林公式．

2 求e
-x2
带皮亚诺余项的麦克劳林公式．

3 求arctanx带皮亚诺余项的5阶麦克劳林公式．

4 求极限

5 确定常数a和b的值，使f(x)=x-(a+be
x2
)sinx当x→0时是x的5阶无穷 小量．

6 设f(x)在x=0处n(n≥2)阶可导且
f
(n)
(0)．

7 设0＜x＜
=e
4
，求f(0)，f'(0)，…，

8 设f(x)在[0，1]二阶可导，｜f(0)｜≤a，｜f(1)｜≤a，｜f''(x)｜≤b ，a，b为非负
数，求证：

9 设f(x)在[a，b]三次可微，证明：
f(b)=f(a)+
∈(a，b)，使得
∈(0，1)，有 ｜f'(c)｜≤2a+b.
(b-a)
2
f'''(ξ)．

10 在x=0处展开下列函数至括号内的指定阶数： (Ⅰ)f(x)=tanx(x
3
)；
(Ⅱ)f(x)=sin(sinx)(x
3
)．
答案见麦多课文库

11 求下列函数f(x)在x=0处带拉格朗日余项的n阶泰勒公式：
(Ⅰ)f( x)=(Ⅱ)f(x)=e
x
sinx．

12 用泰勒公式求下列极限：


13 用泰勒公式确定下列无穷小量当x→0时关于x的无穷小阶数：
(Ⅰ)

14 设f(x)在(0，+∞)三次可导，且当∈(0，+∞)时 ｜f(x)｜≤M
0
，｜f'' '(x)｜≤M
3
，
其中M
0
，M
3
为非负常数， 求证F''(X)在(0，+∞)上有界．

15 设函数f(x)在[0，1]二阶可导 ，且f(0)=f'(0)=f'(1)=0，f(1)=1．求证：存在
ξ∈(0，1)，使｜f'' (ξ)｜≥4．

16 设f(x)在(x
0
-δ，x
0
+δ)有n阶连续导数，且f
(k)
(
0
)=0，k=2，3，…，n-1；
f
(n)
(x
0
)≠0．当0＜｜h｜＜δ时，f(x
0< br>+h)=f(x
0
)=hf'(x
0
+θh)，(0＜θ＜1)．求证 ：


17 求下列函数的带皮亚诺余项至括号内所示阶数的麦克劳林公式：
(Ⅰ)f(x)=e
x
cosx(x
3
)；(Ⅱ)f(x)=(x
3
)；(Ⅲ)f(x)=，其中a＜0 (x
2
)．
(Ⅱ)∫
0
x
(e
t
-1-t)
2
dt．

18 求下列函数的带皮亚诺余项的麦克劳林公式： (Ⅰ)f(x)=sin
3
x； (Ⅱ)f(x)=xln(1-
x
2
)．

19 确定下列无穷小 量当x→0时关于x的阶数：(Ⅰ)f(x)=e
x
-1-x-xsinx；
(Ⅱ)f (x)=

cosx-1．
答案见麦多课文库
20 求下列极限：


21 确定常数a和b的值，使得

22 设f(x)=x
2
sinx，求f
(n)
(0)

23 设f(x)在x=0处二阶可导，又I==1，求f(0)，f'(0)，f''(0)．


24 设f(x)在x=a处n(n≥2)阶可导，且当x→a时f(x)是x- a的n阶无穷小，求证：
f(x)的导函数f'(x)当→a时是x-a的a-1阶无穷小．

25 设f(x)在x=a处四阶可导，且f'(a)=f''(a)=f'''(a)=0，但f(4)
(a)≠0，求证：当f
(4)
(a)＞
0(＜0)时x=a是f (x)的极小(大)值点．

26 设f(x)，g(x)在x=x
0
某邻 域有二阶连续导数，曲线y=f(x)和y=g(x)有相同的凹凸
性．求证：曲线y=f(x)和y= g(x)在点(x
0
，y
0
)处相交、相切且有相同曲率的充要条
件 是：f(x)-g(x)=o((x-x
0
)
2
)(x→x
0
)．

答案见麦多课文库