期货 公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式的新证明

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带有佩亚诺型余项的泰勒公式的新证明

作者：姚海燕

来源：《教育教学论坛》2014年第20期

摘要：本文用数学归纳法给出了带有佩亚诺型余项的泰勒公式的新证明，证明过程简洁严
密，且便于学生 理解。
关键词：泰勒公式；数学归纳法；佩亚诺型余项
中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）20-0120-01
泰勒公式是一元 微积分学的一个重要内容，它是分析学中研究解析函数性质的基础，是大
学一年级理工科学生必需掌握的 内容。带有拉格朗日型余项的泰勒公式的证明有两种方法：一
种是多次引用柯西中值定理，可见文献[1 ]中的证明；另一种是用罗尔中值定理，可见文献[2]
中定理5.18的证明。关于泰勒公式的各种余 项可参见文献[3]中的讨论，在此不再赘述。文献
[4]中指出，如果f■（x）有界，当x→x0时 ，泰勒公式的拉格朗日型余项可换为佩亚诺型余项
这样就得到了带有佩亚诺型余项o（（x-x0）n） 的泰勒公式。此公式在文献[4]中未给出证
明，妨碍了它的使用；对数学专业学生讲解时，也需要补充 大量的细节才得以证明。在此，我
们给出它的新证明，说明只需要存在f■（x）即可。所用的证明方法 是学生熟悉的数学归纳
法。文献[3]中曾用此方法证明过该公式，但符号比较抽象，不便于学生理解， 很多教科书中
未采用。我们以定理的形式给出带有佩亚诺型余项的泰勒公式：
定理：设f■（x0）存在，则
f（x）=f（x0）+■■（x-x0）i+o（（x-x0）n），（x→x0）（1）
定理中没有出现f■（x），也就是对f■（x）的存在性及其性质均没有要求。实际上，当
n=1时， （1）式为有限增量公式，f（x）与无关，这更使我们坚信定理的正确性。
证：只要证
■■=0
成立即可。
用数学归纳法。设f'（x0）存在，则：
■■=f'（x0）
所以：