报价的公式[考研类试卷]考研数学二(一元函数的泰勒公式及其应用)模拟试卷2.doc

[考研类试卷]考研数学二（一元函数的泰勒公式及其应用）模拟试卷2

一、解答题
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1 求

2 求带皮亚诺余项的麦克劳林公式．
的带皮亚诺余项的三阶麦克劳林公式．

3 求arctanx带皮亚诺余项的5阶麦克劳林公式．

4 求极限ω=


5 确定常数a和b的值，使f(x)=x－(a+

6 设f(x)在x=0处n(n≥2)阶可导且
f
(n)
(0)．

7 设0＜x＜，证明
)sinx当x→0时是x的5阶无穷小量．
=e
4
，求f(0)，f'(0)，…，

8 设f(x)在[0， 1]二阶可导，｜f(0)｜≤a，｜f(1)｜≤a，｜f｜≤b，a，b为非负
数，求证：c∈(0 ，1)，有｜f'(c)｜≤2a+

9 设f(x)在[a，b]三次可微，证明：ξ∈(a，b)，使得


10 在x=0处展开下列函数至括号内的指定阶数： (Ⅰ)f(x)=tanx(x
3
)；
(Ⅱ)f(x)=sin(sinx)(x
3
)．


答案见麦多课文库
11 求下列函数f(x)在x=0处带拉格朗日余项的n阶泰勒公式：( Ⅰ)f(x)=
(Ⅱ)f(x)=e
x
sinx．

12 用泰勒公式求下列极限：


13 用泰勒公式确定下列无穷小量当x→0时关于x的无穷小阶数：
(Ⅰ)

； (Ⅱ)∫
0
x
(e
t
－1－t)
2
dt．
；
14 设f(x)在(0，+∞)三次可导，且当x∈(0，+∞)时｜f(x)｜≤M< br>0
，｜f｜≤M
3
，
其中M
0
，M
3
为非负常数，求证f在(0，+∞)上有界．

15 设函数f(x)在[0，1]二阶 可导，且f(0)=f'(0)=f'(1)=0，f(1)=1．求证：存在
ξ∈(0，1)，使｜f ξ)｜≥4．

16 设f(x)在(x
0
－δ，x
0
+ δ)有n阶连续导数，且f
(k)
(x
0
)=0，k=2，3，…，n－1；
f
(n)
(x
0
)≠0．当0＜｜h｜＜δ时，f(x
0< br>+h)－f(x
0
)=hf'(x
0
+θh)，(0＜θ＜1)．求证 ：
．

17 求下列函数的带皮亚诺余项至括号内所示阶数的麦克劳林公式：
(Ⅰ)f(x)=e
x
cosx(x
3
)； (Ⅱ)f(x)=(x
3
)． (Ⅲ)f(x)=，其中a＞0 (x
2
)．

18 求下列函数的带皮亚诺余项的麦克劳林公式： (Ⅰ)f(x)=sin
3
x； (Ⅱ)f(x)=xln(1－
x
2
)．

19 确定下列无穷小量当x→0时关于x的阶数：(Ⅰ)f(x)=e
x
－1－x－xsinx；
(Ⅱ)f(x)=(1+

)cosx－1．
答案见麦多课文库
20 求下列极限：


21 确定常数a和b的值，使得

22 设f(x)=x
2
sinx，求f
(n)
(0)．

23 设f(x)在x=0处二阶可导，又I==1，求f(0)，f'(0)，f．
=6．

24 设f(x)在x=a处n(n≥2)阶可导，且当x→a时f(x)是x－a的n阶 无穷小，求证：
f(x)的导函数f'(x)当x→a时是x－a的n－1阶无穷小．

25 设f(x)在x=a处四阶可导，且f'(a)=f，但f
(4)
(a)≠0， 求证：当f
(4)
(a)＞
0(＜0)时x=a是f(x)的极小(大)值点．

26 设f(x)，g(x)在x=x
0
某邻域有二阶连续导数，曲线y= f(x)和y=g(x)有相同的凹凸
性．求证：曲线y=f(x)和y=g(x)在点(x
0
，y
0
)处相交、相切且有相同曲率的充要条
件是：f(x)－g(x)=o ((x－x
0
)
2
)(x→x
0
)．

27 求f(x)=3
x
带拉格朗日余项的n阶泰勒公式．

28 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，证明：ξ∈(a，b)使得


29 设f(x)为n+1阶可导函数，求证：f(x)为n次多项式的充要条件是f
(n+1 )
(x)≡0，
f
(n)
(x)≠0．

30 设f( x)在(0，+∞)二阶可导且f(x)，f在(0，+∞)上有界，求证：f'(x)在(0，+∞)
上有界．

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31 设f(x)在[a，b]二阶可导，f(x)＞0，f＜0((x∈(a，b))，求证：


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